模糊魯棒控制器在結(jié)晶過程中的應(yīng)用

李 偉，劉朝英，李建增，邸樹綱

（1.軍械工程學(xué)院電氣工程系，河北石家莊 050003；2.河北科技大學(xué)理工學(xué)院，河北石家莊050018；3.河北省高速公路京秦管理處，河北秦皇島 066001）

結(jié)晶過程是化工及制藥行業(yè)的典型操作單元，它不僅是生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，也是影響產(chǎn)品產(chǎn)量和質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，結(jié)晶過程中晶核形成、生長(zhǎng)與結(jié)晶過程中的溫度、溫度變化率、液位、攪拌速度等有關(guān)［1］。然而結(jié)晶過程是一個(gè)具有時(shí)變性、不確定性并存在耦合的復(fù)雜過程，傳統(tǒng)的控制方法難以得到理想的控制效果，在對(duì)結(jié)晶工藝過程及控制要求具體分析的基礎(chǔ)上，筆者提出了基于T-S模糊模型的H∞魯棒控制算法應(yīng)用于結(jié)晶過程，并利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。

1 結(jié)晶過程

1.1 結(jié)晶原理

固體有機(jī)物在溶劑中的溶解度與溫度有關(guān)，一般隨著溫度的升高而增大。將固體粗產(chǎn)品在適當(dāng)?shù)娜軇┲屑訜崛芙?，使之飽和，再將此溶液冷卻，由于溶解度下降，溶液變成過飽和而析出較純的產(chǎn)品，這就是結(jié)晶過程。用結(jié)晶法進(jìn)行提純是基于產(chǎn)品和雜質(zhì)有著不同的溶解度。

1.2 青霉素結(jié)晶過程

目前中國(guó)青霉素純化多采用間歇式共沸結(jié)晶的方法，該方法是提純物質(zhì)的重要方法，對(duì)熱敏性的抗生素采用此方法結(jié)晶是提高產(chǎn)品質(zhì)量的有效方法。青霉素鉀（鈉）鹽均采用此法。青霉素鹽共沸結(jié)晶工藝原理為青霉素鹽丁醇稀釋液蒸餾時(shí)形成丁醇-水二元共沸物，利用丁醇-水二組分在較寬的液相組成范圍內(nèi)蒸餾溫度穩(wěn)定，溶液沸點(diǎn)下降等特點(diǎn)，在共沸蒸餾過程中以補(bǔ)加丁醇的方法將水分帶走，使溶液逐步達(dá)到過飽和狀態(tài)而析出結(jié)晶。其工藝結(jié)晶過程如圖1所示。

圖1 青霉素結(jié)晶過程Fig.1 Penicillin crystallization process

2 青霉素結(jié)晶過程數(shù)學(xué)描述

由結(jié)晶過程工藝要求可知，結(jié)晶罐溫度θ及溫度變化率˙θ的控制需要通過調(diào)節(jié)蒸汽流量Q1實(shí)現(xiàn)，結(jié)晶罐液位H的控制需要通過調(diào)整丁醇補(bǔ)充量Q2來實(shí)現(xiàn)。但蒸汽流量Q1改變不僅改變結(jié)晶罐溫度θ及溫度變化率˙θ，同時(shí)，蒸汽流量Q1的增加，會(huì)導(dǎo)致結(jié)晶罐液位H降低。丁醇補(bǔ)充量Q2的增加，會(huì)導(dǎo)致結(jié)晶罐溫度θ減少，但這種影響較小，與其他參數(shù)相比可以忽略不計(jì)，因此可得數(shù)學(xué)描述如下：

其中：K11為溫度變化對(duì)蒸汽流量的靜態(tài)增益；K21為液位對(duì)蒸汽流量的靜態(tài)增益；K22為液位對(duì)丁醇流量的靜態(tài)增益；T1，T2分別為蒸汽對(duì)夾套溫度的時(shí)間常數(shù)和夾套溫度對(duì)結(jié)晶罐內(nèi)液體溫度的時(shí)間常數(shù)［2］。

結(jié)晶過程中，結(jié)晶罐溫度控制和液位控制間存在一定的耦合，而且K11，K21，K22及T2均隨結(jié)晶罐內(nèi)液體成分的改變而改變；即該對(duì)象有一定的時(shí)變性，由此傳統(tǒng)控制難以得到良好的控制效果。

3 模糊魯棒控制器

筆者針對(duì)青霉素結(jié)晶過程機(jī)理復(fù)雜，系統(tǒng)具有非線性、時(shí)變性和較大的滯后性，難以建立被控對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，建立系統(tǒng)的T-S模糊模型，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋H∞控制器，以LMI為優(yōu)化工具，進(jìn)行仿真研究。

3.1 T-S模糊模型

T-S模糊模型是一種本質(zhì)非線性模型，易于表達(dá)復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，其主要思想是：每條模糊語句所表征的建模對(duì)象的局部動(dòng)態(tài)特性用線性模型作為后件來表達(dá)，然后通過模糊隸屬函數(shù)將這些線性模型綜合起來構(gòu)成全局模糊模型［4-10］。其典型的語言規(guī)則為

對(duì)于一個(gè)MIMO的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，如果T-S模糊模型后件采用狀態(tài)空間方程表示，則模糊規(guī)則可寫成

i為模糊規(guī)則數(shù)，Nij是模糊集合，θ（t）=［θ1（t），θ2（t），…，θg（t）］T是模糊規(guī)則的前件變量。

3.2 狀態(tài)反饋H∞控制

H∞魯棒控制理論是為具有模型攝動(dòng)且MIMO系統(tǒng)提供的一種設(shè)計(jì)魯棒控制器的新方法，是在H∞空間通過某些性能指標(biāo)的無窮范數(shù)解析優(yōu)化而獲得的魯棒控制器，它可以很好地解決LQG理論不適于模型攝動(dòng)情況及常規(guī)頻域理論不適于MIMO系統(tǒng)設(shè)計(jì)的情況。

對(duì)一個(gè)具體對(duì)象的數(shù)學(xué)模型來說，由于參數(shù)的不確定性與變化性，以及為了設(shè)計(jì)與計(jì)算的方便，就會(huì)簡(jiǎn)化對(duì)象模型，因此造成對(duì)象模型存在一定的誤差。H∞魯棒控制的目的就是：當(dāng)存在模型誤差時(shí)，如何利用對(duì)象模型來設(shè)計(jì)控制器，使得所設(shè)計(jì)的控制器在被控對(duì)象穩(wěn)定的同時(shí)使某一目標(biāo)函數(shù)T的H∞范數(shù)最小。

假設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的被控對(duì)象G（s）的狀態(tài)方程描述為

其中狀態(tài)x和干擾輸入w是可以直接測(cè)量的，則狀態(tài)反饋H∞控制就是要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器

使得閉環(huán)系統(tǒng)：

是漸近穩(wěn)定的，且其閉環(huán)傳遞函數(shù)‖Tzw（s）‖∞的H∞范數(shù)滿足：

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋H∞的方法如下。

定理1 對(duì)系統(tǒng)（3）來說，存在一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣X和矩陣W時(shí)，使得如下的矩陣不等式

成立。進(jìn)而，如果矩陣不等式（7）存在可行解X＊，W＊，則u=W＊（X＊）-1x是系統(tǒng)（4）的一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器［11-18］。

3.3 狀態(tài)反饋H∞控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)結(jié)晶的工藝過程，建立T-S模糊模型，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋H∞控制器。其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 狀態(tài)反饋H∞控制器Fig.2 H∞state feedback controller

首先將結(jié)晶過程的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程的形式，即：

由結(jié)晶工藝過程可知在結(jié)晶過程中結(jié)晶罐內(nèi)的溶液密度隨著溫度的變化而不斷變化，即丁醇和水分的含量是變化的。由相關(guān)書籍可知丁醇的沸點(diǎn)為35℃，因此研究對(duì)象溫度在20～40℃變化，根據(jù)結(jié)晶罐內(nèi)丁醇和水分的含量隨著溫度的變化而不斷變化，選取溫度θa作為模糊模型的前件，建立青霉素結(jié)晶過程溫度的T-S模糊模型。設(shè)θa=x1=x2，則溫度系統(tǒng)的T-S模糊模型可作如下描述。

其中：

采用定理1對(duì)結(jié)晶過程的溫度系統(tǒng)（8）設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋H∞控制器，利用MATLAB解矩陣不等式（7），得到使溫度系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)的狀態(tài)反饋矩陣為

4 仿真及分析

根據(jù)實(shí)際青霉素結(jié)晶的初始條件，對(duì)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真，其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，其中T1=13.2s，T2=189s，T3=53.1s，K11=0.18，K21=0.48，K22=1.01。

仿真結(jié)果如圖3—圖5所示。圖3為結(jié)晶過程溫度響應(yīng)曲線，圖4為溫度系統(tǒng)的參數(shù)K2發(fā)生變化時(shí)仿真曲線，圖5為溫度系統(tǒng)的參數(shù)t2發(fā)生變化時(shí)的響應(yīng)曲線，其中曲線1為狀態(tài)反饋H∞控制器作用下的溫度響應(yīng)，曲線2為傳統(tǒng)PID控制器作用下的溫度響應(yīng)。由圖3可看出，狀態(tài)反饋H∞控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，調(diào)節(jié)時(shí)間較短，控制效果較好，而PID控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)速度較慢，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)并存在一定的超調(diào)。由圖4、圖5可看出，當(dāng)溫度系統(tǒng)的參數(shù)K2，t2發(fā)生變化時(shí)，傳統(tǒng)PID控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)即曲線2因系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化，響應(yīng)速度變慢，調(diào)節(jié)時(shí)間變長(zhǎng)并存在一定的振蕩現(xiàn)象，不能達(dá)到較好的控制效果。而狀態(tài)反饋H∞控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)即曲線1并沒有因?yàn)橄到y(tǒng)參數(shù)的變化出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，系統(tǒng)響應(yīng)曲線仍然較平穩(wěn)，控制效果較好。由此可以看出相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制，狀態(tài)反饋H∞控制器作用下系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，調(diào)節(jié)時(shí)間較短，穩(wěn)定性較高，即使在系統(tǒng)受到干擾的情況下仍可以具有較好的控制效果，更好的提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖5 參數(shù)t2發(fā)生變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線Fig.5 System curve of parameter t2changes

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