中學(xué)數(shù)學(xué)中的美

郝艷存

中學(xué)數(shù)學(xué)中的美

郝艷存

數(shù)學(xué)美有別于繪畫(huà)、音樂(lè)等的藝術(shù)美，也不同于鮮花、彩虹等的自然美，是一種客觀存在的、內(nèi)在的、不張揚(yáng)的理性美，是現(xiàn)實(shí)美的反映。數(shù)學(xué)美是客觀存在的，但由于每個(gè)人審美觀和理解力的差異而又帶有強(qiáng)烈的主觀色彩，所以不是每個(gè)學(xué)生都能感受和體驗(yàn)到的，只有具備一定的數(shù)學(xué)修養(yǎng)才能領(lǐng)略其中滋味。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意挖掘和揭示數(shù)學(xué)中美的因素，培養(yǎng)學(xué)生的審美心理和數(shù)學(xué)美感，這不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，同時(shí)有助于陶冶學(xué)生高尚的情操。

1 數(shù)學(xué)概念、定義中的美

首先來(lái)看6種三角函數(shù)的定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離為這6種三角函數(shù)都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)相比，顯示了三角函數(shù)的特殊性——奇異美；這6種三角函數(shù)中有3對(duì)比值互成倒數(shù)關(guān)系，定義中又包含了均衡美；三角函數(shù)值均可用單位圓中的有向線段來(lái)表示，從而使人們能直觀感覺(jué)到函數(shù)值隨自變量變化而變化的情況，這又說(shuō)明三角函數(shù)的定義具有簡(jiǎn)潔美和形象美；三角函數(shù)以角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，它使三角與代數(shù)、三角與幾何內(nèi)容相互融合，定義本身隱含著和諧美。

2 數(shù)學(xué)公式中的美

三角函數(shù)中的公式多是一大特色，也是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的難點(diǎn)，可這些公式中蘊(yùn)含著豐富的美的規(guī)律。如同角三角函數(shù)的8個(gè)基本關(guān)系式，可以分為3組。1）倒 數(shù) 關(guān) 系 ： sinα? cscα =1； cosα ? secα =1；tanα? cot α=1。2） 商 數(shù) 關(guān) 系 ：tan α =；cotα =。3）平方關(guān)系： sin2α+ cos2α=1；1 +tan2α=sec2α；1 +cot2α=csc2α。這8種 關(guān) 系把6種不同的三角函數(shù)直接或間接地聯(lián)系起來(lái)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。其中個(gè)別關(guān)系式，如平方關(guān)系式1 +tan2α=sec2α，1 +cot2α=csc2α，讀起來(lái)“正對(duì)正，余對(duì)余”，給人一種韻律美。

3 數(shù)學(xué)圖象中的美

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，這些都是對(duì)稱(chēng)美的體現(xiàn)。正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù) y=cos x 的圖象形似起伏的波浪，周而復(fù)始地伸向遠(yuǎn)方。正切函數(shù)y=tanx、余切函數(shù)y=cotx的圖像均以原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們分別是被互相平行的直線隔開(kāi)的無(wú)窮多支相同的曲線所組成，它們形似飛流的瀑布，上下立地頂天。

橢圓、雙曲線、拋物線不僅圖像具有對(duì)稱(chēng)美，而且還有很好的光學(xué)、聲學(xué)性質(zhì)。如從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線（聲波），經(jīng)過(guò)橢圓的反射，都聚到另一個(gè)焦點(diǎn)上，電影放映機(jī)上的聚光燈的反射鏡面就是利用了橢圓的這一性質(zhì)；從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線（聲波），經(jīng)過(guò)雙曲線的反射，就像從另一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的一樣。拋物線更是獨(dú)特，從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線的反射會(huì)變成一束平行光線；反之，一束平行光線經(jīng)拋物線的反射，會(huì)聚到一點(diǎn)（即焦點(diǎn)上）。探照燈和汽車(chē)的前燈等都是利用拋物線的第一個(gè)性質(zhì)，太陽(yáng)能是利用了拋物線的第二個(gè)性質(zhì)。這正是數(shù)學(xué)的奇異之美。

4 數(shù)學(xué)語(yǔ)言中的美

數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要是指數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的顯著特征，數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)練、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)。如立體幾何中兩平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都和第二個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)語(yǔ)言表示即為：若a?α，b?α，a∩ b ，且a//β,b//β,則α//β。其圖形語(yǔ)言為圖1。3種語(yǔ)言之間的互譯體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美與和諧的統(tǒng)一美。

另外，數(shù)學(xué)語(yǔ)言還具有豐富的內(nèi)涵，具有多維性。如“平行線”，其文字語(yǔ)言為“在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)”；其符號(hào)語(yǔ)言為“∥”；其圖形語(yǔ)言為圖2；其集合語(yǔ) 言 為 l1∩ l2=φ ；其 解 析 幾 何 語(yǔ)言 為 k1= k2,且 b1≠b2；其 方 程 語(yǔ) 言 為無(wú)解。這些體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有豐富的內(nèi)涵，具有多維性的美。

圖1

圖2

總之，正是數(shù)學(xué)所蘊(yùn)含的無(wú)限奧妙和美感，誘使眾多的人去探索、遨游。如果教師加以合理的啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生去感受它所呈現(xiàn)出的數(shù)學(xué)美，相信學(xué)生能夠從中有所感悟。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是個(gè)五彩繽紛的美的世界時(shí)，就可以改變對(duì)數(shù)學(xué)的成見(jiàn)，極大地提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。教師在教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持不懈地挖掘與揭示數(shù)學(xué)美，從而去征服學(xué)生，影響他們對(duì)數(shù)學(xué)情感的體驗(yàn)，進(jìn)而改變他們對(duì)數(shù)學(xué)的態(tài)度，以此激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美觀，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)全面和諧發(fā)展。

（作者單位：河北省涉縣職教中心）