區(qū)間數(shù)序列處理方法新探

彭作軍，陳煜紅

（1.重慶大學(xué)建設(shè)管理與房地產(chǎn)學(xué)院，重慶400045；2.重慶市空港新城管委會(huì)，重慶401120）

區(qū)間數(shù)序列處理方法新探

彭作軍1，陳煜紅2

（1.重慶大學(xué)建設(shè)管理與房地產(chǎn)學(xué)院，重慶400045；2.重慶市空港新城管委會(huì)，重慶401120）

區(qū)間估計(jì)是專(zhuān)家評(píng)價(jià)中的一種重要方法，目前對(duì)給定為區(qū)間數(shù)的決策方法研究較多，而對(duì)區(qū)間數(shù)的處理大多基于均勻分布或正態(tài)分布。文章針對(duì)這種對(duì)區(qū)間數(shù)序列的分析和處理方法研究的不足，提出了一種新的基于β分布的處理方法。該方法通過(guò)用β分布對(duì)區(qū)間數(shù)序列分布進(jìn)行擬合，從而解決了對(duì)區(qū)間數(shù)序列難以進(jìn)行分析和處理這一難點(diǎn)，并通過(guò)案例驗(yàn)證了該方法。結(jié)果表明，該方法原理正確，簡(jiǎn)便可靠，在決策管理中具有廣泛的應(yīng)用前景和普適性。

區(qū)間數(shù)；β分布；參數(shù)

0 引言

近二十多年來(lái)，多指標(biāo)決策問(wèn)題的決策理論、方法的研究取得了很大的發(fā)展，已成為決策科學(xué)、系統(tǒng)工程、管理科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科研究中十分活躍的一個(gè)課題[1～5]。在實(shí)際問(wèn)題決策過(guò)程中，對(duì)某一問(wèn)題或目標(biāo)的評(píng)價(jià)往往涉及很多指標(biāo)。有些指標(biāo)直接與數(shù)值有關(guān)，屬于定量指標(biāo)；有些指標(biāo)不直接與數(shù)值有關(guān)，屬于定性指標(biāo)。評(píng)價(jià)原則一般要求定性分析與定量分析相結(jié)合，并且以定量分析為主。目前，對(duì)定量指標(biāo)的分析方法已經(jīng)相當(dāng)成熟，而對(duì)定性指標(biāo)分析的方法和處理，集中采取專(zhuān)家打分法對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)給出相應(yīng)的評(píng)價(jià)數(shù)值。在專(zhuān)家評(píng)價(jià)中，專(zhuān)家憑借自己的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)和預(yù)感進(jìn)行評(píng)價(jià)或估計(jì)，其中運(yùn)用較多并較典型的就是點(diǎn)估計(jì)[6～8]。該方法優(yōu)點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單，不足之處是精度不高，估計(jì)誤差較大，所包含的信息量少，有時(shí)因?yàn)閷?zhuān)家意見(jiàn)不一致，會(huì)與實(shí)際情況有較大出入。針對(duì)點(diǎn)估計(jì)的不足，目前較流行的處理方法是區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于貼近實(shí)際，并符合人們認(rèn)識(shí)事物的思維和判斷習(xí)慣，適用范圍廣、精度高，包含相當(dāng)豐富的信息，尤其對(duì)部分難以定量化的指標(biāo)，給出適當(dāng)?shù)膮^(qū)間估計(jì)已經(jīng)得到了專(zhuān)家們的高度認(rèn)可。文獻(xiàn)[9]、[10]將灰色關(guān)聯(lián)分析方法推廣到區(qū)間數(shù)環(huán)境，給出了區(qū)間數(shù)多屬性決策的灰色關(guān)聯(lián)分析法；文獻(xiàn)[11]、[12]基于可能度法對(duì)區(qū)間數(shù)多屬性決策進(jìn)行排序；文獻(xiàn)[13]提出了誤差分析法；文獻(xiàn)[14]提出了線性規(guī)劃方法,文獻(xiàn)[15]提出了層次分析法(AHP)等。上述文獻(xiàn)分別從不同的角度對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)取值為區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策問(wèn)題進(jìn)行了研究，其研究主要是針對(duì)指標(biāo)為區(qū)間數(shù)的決策方法。對(duì)區(qū)間數(shù)序列的處理目前大多是假定方案綜合值的區(qū)間數(shù)服從均勻分布或正態(tài)分布的假定條件下給出的決策方法[11,12,16～19]，很顯然，這不符合一般的情況，因?yàn)榇蠖嗲闆r下眾多專(zhuān)家對(duì)某一指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)一般不會(huì)服從均勻分布或正態(tài)分布，而恰恰是一種“偏峰”的情形。針對(duì)當(dāng)前對(duì)區(qū)間數(shù)沒(méi)有進(jìn)行處理或?qū)^(qū)間數(shù)的處理方法簡(jiǎn)單且所包含的信息量較少這一弊端。本文擬提出一種新的基于β分布的區(qū)間數(shù)序列處理方法，該方法將運(yùn)用β分布覆蓋從均勻分布到近似正態(tài)分布和各種不對(duì)稱(chēng)分布以及β分布隨機(jī)變量的取值范圍為有限閉區(qū)間等性質(zhì)，通過(guò)X～β(a,b)的分布來(lái)擬合區(qū)間數(shù)序列分布；然后根據(jù)β分布的數(shù)字特征，最終得到反映大多數(shù)專(zhuān)家意見(jiàn)的眾數(shù)。

1 區(qū)間數(shù)序列分析

設(shè)第i（i=1,2,…,n）個(gè)專(zhuān)家對(duì)某一指標(biāo)給出的評(píng)價(jià)區(qū)間記為[則n個(gè)專(zhuān)家可得n個(gè)區(qū)間數(shù)，從而形成一個(gè)區(qū)間數(shù)序列[20]則n個(gè)區(qū)間序列疊加在一起形成覆蓋在評(píng)價(jià)軸x上的一種分布，如圖1所示。

從圖1中可知，n個(gè)專(zhuān)家憑借自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和預(yù)感分別對(duì)某一指標(biāo)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)打分，雖然n次打分的結(jié)果可能不會(huì)都落在某一區(qū)間，但大多數(shù)專(zhuān)家會(huì)相對(duì)集中在某一范圍內(nèi)，于是區(qū)間序列分布圖中就會(huì)出現(xiàn)“單峰”，一般都是“偏峰”的情況。而β分布恰好對(duì)“偏峰”具有很強(qiáng)的擬合能力，因?yàn)樗鼛缀醺采w了從均勻分布到近似正態(tài)分布和各種不對(duì)稱(chēng)分布，且β分布隨機(jī)變量的取值范圍為有限閉區(qū)間，故本文通過(guò)X～β(a,b)的分布來(lái)擬合區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)。

2 β分布及其特點(diǎn)

2.1 β分布的定義

若隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為：

2.2 β分布的特點(diǎn)

對(duì)于X～β(a,b)，其密度函數(shù)的形狀可由參數(shù)a和b來(lái)控制，當(dāng)a=b時(shí)，形狀對(duì)稱(chēng)于均值x=0.5；當(dāng)a≠b時(shí)，形狀不對(duì)稱(chēng)，若ab，形狀右偏；當(dāng)a=b=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于均勻分布。其分布的形狀如圖2所示[21]。其眾數(shù)為：

3 分布參數(shù)的確定

從β分布的特點(diǎn)可知，它對(duì)區(qū)間數(shù)序列數(shù)據(jù)具有很強(qiáng)的建模能力，特別是對(duì)“偏鋒”分布的情形，而眾多專(zhuān)家區(qū)間估計(jì)大多數(shù)是這種“偏鋒”分布情況。為了通過(guò)已有的區(qū)間數(shù)數(shù)據(jù)擬合β分布，則求解參數(shù)a和b就成為了問(wèn)題的關(guān)鍵，筆者通過(guò)迭代方法來(lái)確定參數(shù)a和b，其迭代步驟如下[22]：

(1)計(jì)算樣本均值和方差

令：Y1=z1(min)，Y2n=z2(max)，Y1≤Y2≤…≤Y2n。

式中：

(4)計(jì)算a，b的初始值

(5)計(jì)算d的新估計(jì)值d贊

4 β分布參數(shù)a、b的檢驗(yàn)

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得參數(shù)a、b后，需要檢驗(yàn)樣本是否服從Z～β(a,b)，現(xiàn)運(yùn)用擬合優(yōu)度檢定法來(lái)檢驗(yàn)隨機(jī)變量Z是否服從β分布，該方法是用來(lái)檢驗(yàn)事件出現(xiàn)的理論頻數(shù)同經(jīng)驗(yàn)頻數(shù)之間差異顯著程度的一個(gè)方法。若統(tǒng)計(jì)量[24]：

則認(rèn)為隨機(jī)變量Z服從β(a,b)分布。其中為實(shí)際頻數(shù)，有：

5 算例

取ε=1x10-6,經(jīng)過(guò)迭代計(jì)算，在求得甲、乙各指標(biāo)β分布參數(shù)a、b后,通過(guò)式（2）檢驗(yàn)，所有指標(biāo)均服從β分布，按式（1）求得其眾數(shù)。各指標(biāo)最終計(jì)算結(jié)果如表2所示。

根據(jù)F=wixPi計(jì)算可得甲、乙綜合評(píng)價(jià)值分別為0.796和0.815，于是開(kāi)發(fā)商選擇乙設(shè)計(jì)院的設(shè)計(jì)方案。

表1 甲、乙各定性指標(biāo)原始評(píng)分表

表2 甲、乙各指標(biāo)計(jì)算結(jié)果表

6 結(jié)論

區(qū)間估計(jì)是專(zhuān)家評(píng)價(jià)中的一種重要方法，本文運(yùn)用β分布諸多優(yōu)良性質(zhì)對(duì)區(qū)間序列分布進(jìn)行擬合，例如，β分布覆蓋了從近似均勻分布到各種不對(duì)稱(chēng)分布、尤其對(duì)于“偏鋒”分布具有很強(qiáng)的建模能力以及隨機(jī)變量的取值范圍為有限閉區(qū)間等性質(zhì)，從而解決了對(duì)區(qū)間數(shù)序列難以進(jìn)行分析和處理這一難點(diǎn)。在決策過(guò)程中，只需要根據(jù)區(qū)間樣本序列計(jì)算出β分布的形狀參數(shù)a和b，則可以根據(jù)β分布的數(shù)字特征求得決策所需要的綜合評(píng)價(jià)值。本文給出的方法對(duì)指標(biāo)的取值可以為精確實(shí)數(shù),也可以為區(qū)間數(shù)；對(duì)權(quán)重的取值可以為精確實(shí)數(shù)，也可以為區(qū)間數(shù)，甚至適用于部分指標(biāo)取值為區(qū)間數(shù)。部分指標(biāo)取值為確定值的混合多指標(biāo)決策問(wèn)題。因此，該方法在實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用前景和普適性。

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（責(zé)任編輯/亦民）

C934

A

1002－6487（2011）06－0038-03

彭作軍（1971-），男，重慶人，博士，研究方向：建筑經(jīng)濟(jì)與房地產(chǎn)。

陳煜紅（1979-），男，貴州人，博士，研究方向：城市規(guī)劃系統(tǒng)工程。