灰色PERT算法在項目工期中的研究與應用

符長虹，吳順祥，王文淵

（1.廈門大學自動化系，福建廈門361005；2.中國中鐵四局集團有限公司，合肥230023）

灰色PERT算法在項目工期中的研究與應用

符長虹1，吳順祥1，王文淵2

（1.廈門大學自動化系，福建廈門361005；2.中國中鐵四局集團有限公司，合肥230023）

為提高PERT網(wǎng)絡中關鍵路線與關鍵工序決策的可靠性，減少求解的復雜性，文章根據(jù)工序時間不確定的特點，結合灰色系統(tǒng)理論，提出了工序時間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡，并且根據(jù)實際工序時間概率分布的特點，提出了工序時間的正態(tài)分布模型，該方法避免了決策中片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評價的局限性，更好地體現(xiàn)了工序“最可能時間”、“最悲觀時間”與“最樂觀時間”三者概率分布的特點。另外，考慮到工程計劃能否在規(guī)定工期內(nèi)順利完成這一隨機現(xiàn)象，提出了相應的灰色PERT算法。最后，通過實例分析，說明該灰色PERT算法能夠有效避免片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)的局限性，且計算出項目工程在規(guī)定工期內(nèi)完成的可能概率，更加符合實際項目工期的決策，具有較好的可行性和高效性，拓展了這一領域的研究與應用。

PERT網(wǎng)絡；灰色理論；均值白化值；正態(tài)分布；標準差；關鍵路線

0 引言

考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡中工序完成時間受許多內(nèi)、外諸因素影響，導致其具體數(shù)值無法確定，只能通過估計最樂觀時間a、最可能時間m與最悲觀時間b來進行關鍵路線與關鍵工序的決策，然而本文結合灰色系統(tǒng)理論，基于工序完成時間在區(qū)間[a,b]內(nèi)變化的特點，提出了工序完成時間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡。但是根據(jù)經(jīng)典PERT網(wǎng)絡中三種估計時間概率分布的特點，文獻[1]等的工序完成時間片面采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)來描述模糊評價的方法則會產(chǎn)生嚴重的失真，因此本文針對這個局限性，考慮到三種估計時間近似服從正態(tài)分布的特點，提出了工序完成時間服從正態(tài)分布的分布模型。文獻[2]等的PERT網(wǎng)絡中忽略了每一條路線在規(guī)定項目工期內(nèi)實際完成該項目的“可能性”這一隨機現(xiàn)象，因此本文為更全面、更科學、更有效地研究PERT網(wǎng)絡，提出了相應的灰色PERT算法，該算法通過求出每項工序完成時間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值以及標準差，接著求出每條線路上所有工序完成時間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和以及標準差，進而求出每條線路上所有工序完成時間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對應的概率系數(shù)以及在規(guī)定工期內(nèi)完成項目的概率，最后根據(jù)概率的大小決策關鍵線路與關鍵工序，通過實例分析，說明該灰色PERT算法具有較好的可行性和高效性，減少了信息失真與決策失誤。

1 基本理論

2 灰色PERT網(wǎng)絡及其關鍵線路與關鍵工序的確定

2.1 灰色PERT網(wǎng)絡及工序時間概率模型的研究

考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡通過三種估計時間，即最樂觀時間a、最可能時間m與最悲觀時間b，來決策關鍵線路與關鍵工序，結合灰色系統(tǒng)理論以及工序完成時間在最樂觀時間與最悲觀時間之間變化，即在[a,b]之間變化，本文介紹工序完成時間為區(qū)間灰數(shù)的灰色PERT網(wǎng)絡，如圖1所示，其中對應的工序時間灰數(shù)為hi(茚)∈

本文又考慮到經(jīng)典PERT網(wǎng)絡中三種估計時間的概率分布情況，根據(jù)實際情況，工序完成時間區(qū)間灰數(shù)不可能片面認為服從均勻分布，這會造成決策的嚴重失真，因此提出了基于正態(tài)分布的工序完成時間，如圖2所示[3][4]。

由圖3可知，本文可以確定正態(tài)分布的參數(shù)，其中正態(tài)分布的數(shù)學期望根據(jù)正態(tài)分布3σ的原則，即p (x∈[ai,bi])=0.997，可得方差

2.2 關鍵線路與關鍵工序的確定

在灰色PERT網(wǎng)絡中,考慮到項目計劃能否在規(guī)定工期內(nèi)完成項目這一隨機現(xiàn)象，本文結合灰色理論，利用各條線路上所有工序完成時間區(qū)間灰數(shù)的均值白化值之和所對應的概率，來進行關鍵路線以及關鍵工序的決策，具體的灰色PERT網(wǎng)絡算法步驟如下：

步驟1在灰色PERT網(wǎng)絡中，找出所有的路線，記為xi(i=1,2,…,n)，以及第xi條線路上的工序，其時間灰數(shù)分別記為(j=1,2,…,m)，其中hij(茚)表示第xi條線路上第j道工序的時間灰數(shù)；

步驟2計算出灰色PERT網(wǎng)絡中各個工序時間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對應的方差σi，并分別計算出第xi條線路上所有工序時間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和以及標準差：

其中，σxi表示第xi條線路上項目完成時間的標準差；

步驟3根據(jù)規(guī)定的項目計劃總工期T，分別計算出每條路線上所有工序時間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和的概率系數(shù)：

步驟4根據(jù)公式（3）計算出的概率系數(shù)分別計算每條線路在所有工序時間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)之和下完成該項目的概率：

步驟5對公式（4）求得的概率進行排序，其中概率最小所對應的路線則為關鍵路線，其上的工序則為關鍵工序。

3 實例分析

某實際項目中共有9道工序，每項工序的持續(xù)時間如表1所示[1][2]。

表1 各工序的持續(xù)時間

表1所對應的灰色PERT網(wǎng)絡如圖3所示。

步驟1該灰色PERT網(wǎng)絡中共有5條線路，分別如下：

第x1條：1→3→5→6，共3項工序：h3(茚)、h5(茚)和h6(茚)，分別記為h11(茚)、h12(茚)和h13(茚)；

第x2條：1→3→4→5→6，共4項工序：h3(茚)、h4(茚)、h7(茚)和h6(茚)，分別記為h21(茚)、h22(茚)、h23(茚)和h24(茚)；

第x3條：1→3→4→6，共3項工序：h3(茚)、h4(茚)和h8(茚)，分別記為h31(茚)、h32(茚)和h33(茚)；

第x4條：1→2→3→4→6，共4項工序：h1(茚)、h2(茚)、h4(茚)和h8(茚)，分別記為h41(茚)、h42(茚)、h43(茚)和h44(茚)；

第x5條：1→2→4→6，共3項工序：h1(茚)、h9(茚)和h8(茚)，分別記為h51(茚)、h52(茚)和h53(茚)。

步驟2計算各個工序時間灰數(shù)的均值白化值hi(茚軜)以及對應服從正態(tài)分布的方差σi：工序1→2：其工序持續(xù)時間區(qū)間灰數(shù)為h1(茚)∈[1,3]，

同理，其余工序持續(xù)時間，期望以及方差如表2所示。

表2 其余各個工序持續(xù)時間灰數(shù)的均值白化值以及方差

根據(jù)公式（1）計算出各條線路上所有工序時間灰數(shù)的均值白化值hi()之和（見表3）。

表3 各線路上所有工序時間灰數(shù)的均值白化值之和

根據(jù)公式（2）計算每條線路上項目完成時間的標準差如下：

同理可以求得其余線路的標準離差：

σx2=0.782,σx3=0.866,σx4=0.928,σx5=0.782

步驟3根據(jù)公式（3）計算在規(guī)定項目計劃總工期為T= 20的情況下各條線路所對應的概率系數(shù)：

同理可求得其余路線上所對應的概率系數(shù)（見表4）。

表4 其余路線所對應的概率系數(shù)

表5 其余線路所對應的概率

步驟4根據(jù)公式（4）求得各條路線上所有工序時間灰數(shù)的均值hi()白化值之和的概率：

同理可求得其余路線上所對應的概率：

步驟5根據(jù)步驟4求得的各路線對應概率進行排序，其中概率最小對應的路線即為所求關鍵路線：故有關鍵路線為x3：1→3→4→6，如圖3中粗線所示。

4 結論

本文針對決策中采用均勻分布區(qū)間灰數(shù)描述模糊評價值的局限性，考慮到正態(tài)分布模型能夠更準確、更有效表示工序完成時間的概率分布特點，以及項目計劃是否能在規(guī)定工期內(nèi)完成項目的可能性這一隨機現(xiàn)象，提出了應用正態(tài)分布區(qū)間灰數(shù)來決策灰色PERT網(wǎng)絡中關鍵路線與關鍵工作的算法。通過實例證明，該方法具有較好的可行性和高效性，為這一領域提供了關鍵路線以及關鍵工序決策的新方法，可供從事PERT網(wǎng)絡的技術人員與管理人員參考。

[1]崔邯龍，李萬慶，孟文清.張艷杰，灰色網(wǎng)絡計劃中的關鍵線路確定方法研究[J].數(shù)學的實踐與認識，2009，38(8).

[2]楊應玖，楊毅，楊念.論灰色網(wǎng)絡計劃技術[J].武漢水利電力大學學報，1998,31(3).

[3]謝乃明，劉思峰.考慮概率分布的灰數(shù)排序方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29(4).

[4]劉琳，陳云翔，葛志浩，基于正態(tài)分布區(qū)間數(shù)的概率測度及多屬性決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2008,30(4).

[5]Chao-Chin Chung,Ho-Hsien Chen,Pao-Chuan Hsieh.Optimization of the Monascus Purpureus Fermentation Process Based on Multiple Performance Characteristics[J].Journal of Grey System,2008, 11(2).

[6]Wen-Fang Hsieh,Kun-Li Wen.A New Approach of Grey Decision-Making[J].Journal of Grey System,2009,12(2).

[7]Guo-Dong Li,Daisuke Yamaguchi,Masatake Nagai,Masatoshi Kitaoka.A Research on Grey Model by Grey Interval Analysis[J]. Journal of Grey System,2006,9(2).

[8]Ping-Yi Hu.Using A Grey Multipurpose Decision System for Car Purchasing[J].Journal of Grey System,2004,7(1).

[9]Long-qing Shen,Jian-feng Yu,Hai-wei Yang.Research on Algorithms for Critical Path of PERT Network with Lowering Conditions[J].Application Research of Computers,2006,(1).

[10]劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京：科學出版社，2004.

（責任編輯/易永生）

F224

A

1002－6487（2011）05－0152-03

國家自然科學基金資助項目（60704042）；國家“十一五”科技支撐計劃項目（2007BAK34B04）

符長虹(1986-)，男，湖南岳陽人，碩士，研究方向：不完備系統(tǒng)與數(shù)據(jù)挖掘。

吳順祥（1966-），男，湖南邵陽人，博士，教授，研究方向：不完備系統(tǒng)。

王文淵（1985-），女，河南雞西人，助理工程師，研究方向：工程設計。