中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中高次不定方程的初等求法

劉 敬 華中農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬學(xué)校

中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中高次不定方程的初等求法

劉 敬 華中農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬學(xué)校

了解解二次（或高次）不定方程的基本方法與技巧，不但可以提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)思維的靈活性，對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生參加中學(xué)數(shù)學(xué)競賽也有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。常用的探討二次（或高次）不定方程有無整數(shù)解的初等解法有分解法、奇偶分析法、配方法、判別式法等方法。

數(shù)學(xué)競賽；高次不定方程；初等解法

在各類中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，二次（或高次）不定方程總占有一定的比例，因而了解解二次（或高次）不定方程的基本方法與技巧，不但可以提高解題能力，培養(yǎng)思維的靈活性，對(duì)于指導(dǎo)學(xué)生參加中學(xué)數(shù)學(xué)競賽也有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。但是二次（或高次）不定方程所涉及的領(lǐng)域十分廣闊，且具有相當(dāng)?shù)纳疃龋纫淮尾欢ǚ匠虖?fù)雜得多，因而在此只研究其簡單和特殊的情形，通過一些常用的初等解法來探討它們有無整數(shù)解。

一、分解法

它適用于一邊可以分解，另一邊為常數(shù)的不定方程，如果常數(shù)非零，則將其作質(zhì)因數(shù)分解。

二、奇偶分析法

利用整數(shù)的奇偶性質(zhì)求解。

例2.若正整數(shù)x,y滿足x2+y2=1997，則x+y=_____。

解：因1997是奇數(shù)，故x、y奇偶性不同。不妨設(shè)x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，因?yàn)閤2+y2的個(gè)位數(shù)字是7，因此x2，y2的個(gè)位數(shù)字必是1，6；x、y的個(gè)位數(shù)字必是1，4或1，6或9，4或9，6，又1997≡1（mod4），則x、y除以4的余數(shù)必為1，0，由x2<1997知x<45，因此x的可能值為1，9，21，29，41，經(jīng)檢驗(yàn)，僅當(dāng)x=29時(shí)，有y=34，使292+342=1997，故x+y=29+34=63。

三、配方法

將方程巧妙地變形與組合，配方后再開方或由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解的方法。

四、判別式法

對(duì)于二次不定方程，也可以把它視作關(guān)于某一未知數(shù)的一元二次方程，因?yàn)樵撐粗獢?shù)的值為整數(shù)，所以要求判別式的值是完全平方數(shù)，針對(duì)這一情況，可以對(duì)其判別式的值進(jìn)行分析。

例4.設(shè)a與b為任意給定的整數(shù)，試證明方程x2+10ax+5b+3=0和x2+10ax+5b-3=0都沒有整數(shù)根。

五、利用韋達(dá)定理的方法

例5. 象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分方法是勝一盤得1分，和一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

將方程看成關(guān)于n的二次方程，它的兩根為n1、n2，則由韋達(dá)定理得，n1-n2=-14,n1+n2=-(3-2k),因人數(shù)是正整數(shù)，3-2k為整數(shù)，所以人數(shù)只能是1，2，7，14，又因?yàn)槿藬?shù)是奇數(shù)，所以n=1或7，但當(dāng)n=1時(shí)k<0矛盾，所以n=7，這時(shí)n+2=9，即共有9人參賽。

六、求根法

例6. k是哪些整數(shù)時(shí)，二次方程

(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的兩個(gè)根都是正整數(shù)？

解：解二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0，得

七、分離整數(shù)法

此法適用于用分式形式表示整數(shù)的情況。例7. 求方程2x+y=2xy的正整數(shù)解。

因?yàn)閤、y均為正整數(shù)，所以2x-1是1的正約數(shù)，由此，得到2x-1=1，即x=1，從而，原不定方程的正整數(shù)解為x=1,y=2。

八、余數(shù)分析法

對(duì)不定方程的兩邊作關(guān)于某一整數(shù)的余數(shù)分析，以此來求解方程，此法常適用于當(dāng)方程一邊為常數(shù)，另一邊不能分解時(shí)。

定理：若a、b是兩個(gè)整數(shù)，且b≠0，則可唯一確定整數(shù)q、r，使得a=qb+r（o≤r<|b|）

例8. 試證：當(dāng)n=2891時(shí)，方程x3-3xy2+y3=n無整數(shù)解。

證：假設(shè)有整數(shù)x,y，使得

但（3）式左邊≡8(mod9)，右邊≡2（mod9），矛盾。

同理，若x=3k+1,x=3k+2都會(huì)導(dǎo)致矛盾，故方程（1）無整數(shù)解。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.005.079