圓錐桿斜侵徹水泥靶時應(yīng)力波傳播特性研究

王運葉，趙子龍

（太原科技大學(xué)，太原 030024）

目前，軍事上許多工事已由地表轉(zhuǎn)移到地下，相應(yīng)地對侵徹彈提出了新的要求，深層侵徹彈的研究與應(yīng)用由此而生。怎樣才能發(fā)揮侵徹彈的最大作用效果，這是國內(nèi)外急需解決的問題。

對于高速撞擊和動力侵徹問題，已進(jìn)行了大量的研究。文獻(xiàn)［1］對垂直侵徹時的撞擊力進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［2］研究了垂直侵徹時縱向應(yīng)力波傳播；文獻(xiàn)［3］明確了經(jīng)驗公式的適用范圍；文獻(xiàn)［4］給出了柱形空腔膨脹條件下卵形彈體侵徹靶體深度的理論計算公式；文獻(xiàn)［5］給出彈體減速度時間歷程解析解的法向膨脹理論；文獻(xiàn)［6］討論了初始旋轉(zhuǎn)角速度對長桿彈垂直侵徹時的撞擊力和侵入位移的影響。但這些研究均未考慮斜侵徹時縱向應(yīng)力波和橫向應(yīng)力波同時存在的應(yīng)力波傳播。在文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］研究的基礎(chǔ)上，研究了撞擊速度在1000 m/s～2000 m/s間的圓錐桿對半無限厚水泥靶的傾斜侵徹過程及其應(yīng)力波傳播特性。以比例系數(shù)的形式考慮了其它能耗對撞擊力的影響。得出了與文獻(xiàn)［7］實驗基本相符的重要結(jié)論:初始侵徹角度對軸向撞擊力影響非常小。

1 基本假設(shè)

為了簡化圓錐桿傾斜侵徹半無限厚水泥靶板問題，先做如下基本假設(shè):

（1）將圓錐桿侵徹過程分析與圓錐桿中應(yīng)力波傳播分析分開。

（2）在研究撞擊的過程中，將圓錐桿視為剛體（圓錐桿相對水泥靶較硬）；而在研究應(yīng)力波傳播的過程中，將圓錐桿的塑性動力學(xué)本構(gòu)關(guān)系取為線性硬化關(guān)系且應(yīng)力只是應(yīng)變的單值函數(shù)。

（3）水泥靶響應(yīng)區(qū)介質(zhì)只沿圓錐桿撞擊表面的法向運動，響應(yīng)區(qū)介質(zhì)獲得與圓錐桿接觸表面法向相同的速度（基于水泥靶材料性質(zhì)用流體作近似處理）。

2 侵徹過程

建立圓錐桿與水泥靶斜侵徹的空間幾何關(guān)系及兩組坐標(biāo)系如圖1所示。一組是定坐標(biāo)系Oxyz，O點與初始撞擊點重合；另一組是動坐標(biāo)系Cr*βz*，C為圓錐桿的質(zhì)心。在討論圓錐桿與水泥靶侵徹時，從圓錐桿與水泥靶接觸開始計時。

圖1 侵徹過程示意圖Fig.1 The scheme of penetration

2.1 受力分析

在圓錐桿與水泥靶接觸表面任一點A處取一微元dS，作用于圓錐桿微元上的法向撞擊力為dF。在水泥靶微元上作用有等值反向的撞擊力為-dF。水泥靶對圓錐桿的反作用力等于靜抗力（強(qiáng)度效應(yīng)引起）-σcdS和動抗力（慣性效應(yīng)引起）-dFd的迭加，其中σc為水泥靶介質(zhì)的擠壓強(qiáng)度。

圖2 水泥靶板微元的受力分析Fig.2 Force analysis of targer element

如圖2所示的微柱，當(dāng)作用于水泥靶微元dS上的dFd沿其方向運動dl時，所做的功為dFddl，同時微段AA'獲得動能增量ρdSdnv2n/2，其中ρ為水泥靶介質(zhì)密度，dn為微柱的法向擴(kuò)展量。vn為微柱介質(zhì)的法向速度。

由動能定律得到:

其中ct為微柱介質(zhì)的法向擴(kuò)散速度。則:

2.2 水泥靶板響應(yīng)區(qū)域擴(kuò)散速度ct的分析

因水泥及混凝土等材料的擠壓傳播速度較小，同時又具有可壓縮性。因此響應(yīng)區(qū)域的擴(kuò)散速度是由未響應(yīng)區(qū)域的質(zhì)量密度ρ變成響應(yīng)區(qū)的質(zhì)量密度ρ*的擴(kuò)散速度，由質(zhì)量守恒定律得:

2.3 圓錐桿的動力學(xué)方程

設(shè)圓錐桿的質(zhì)量為 mp，圓錐桿繞過其質(zhì)心C（xc，yc）且與z軸平行的zc軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jp，由剛體平面運動微分方程得:

式中α為圓錐桿繞zc的轉(zhuǎn)角，SA為圓錐桿侵入水泥靶表面面積。侵徹表面微元的法向速度vn可表示為:

2.4 圓錐桿與水泥靶侵徹過程的幾何關(guān)系

在動坐標(biāo)系Cr*βz*下圓錐桿表面的幾何方程為:

在圖1中ψ可寫成:

圖3 侵徹過程的空間幾何關(guān)系Fig.3 The spatial geometry relation of penetration process

在動坐標(biāo)系Cr*βz*下，水泥靶界面的幾何方程為:

進(jìn)而得出式（8）-式（10）的曲面積分:

其中R1（β）和R2（β）是方程

的兩個正實根，且 R2（β）≥ R1（β）.β0是使式（16）r*取重根時的β.

2.5 數(shù)值計算

動力學(xué)方程（8）-方程（10）均是二階微分方程，可采用中心差分法和高斯6點積分求解。

由此可求得沿x和y方向的作用力fx，fy的數(shù)值解。利用力的投影規(guī)則可求得沿r*（β=0），z*方向的作用力fr和fz.

3 應(yīng)力波傳播

3.1 波動方程的推導(dǎo)

建立如圖4所示坐標(biāo)系，原點O1位于圓錐桿的頂部，O1x1軸與圓錐桿的軸線重合，隨其一起運動。設(shè)圓錐桿任一點在縱向（x1方向）和橫向（y1方向）的變形分別為u（x，t）和v（x，t），任意截面的轉(zhuǎn)角為φ（x，t）.

圖4 圓錐桿受力分析示意圖Fig.4 Force analysis of concial rod

連續(xù)方程:

其中V為質(zhì)點速度，ε為應(yīng)變。

運動方程:

取微元體dx1，其受力情況如圖5所示。

圖5 圓錐桿受力分析示意圖Fig.5 Force analysis of concial rod

由∑Fx1=mü得:

由∑Fy1=mv¨得:

由∑Mc1=Jφ¨得:

其中N、Q和M分別表示x1處的軸力、剪力和彎矩；ρ為材料密度；A為x1處的橫截面面積，其值為:A=2πhx1tgθ；J為微元體轉(zhuǎn)動慣量，J= ρIdA；I為截面的慣性矩，I= πhtg3θ·；θ為圓錐桿半頂角；qx1、qy1分別表示微元體單位長度沿x1、y1方向上的慣性力，它們可表示為:

其中l(wèi)1表示O1到圓錐桿質(zhì)心的距離。

根據(jù)文獻(xiàn)［8］由方程（18）-方程（20）可導(dǎo)出:

其中 C2=E/ρ，=Gk/ρ，C2=2C1/tgθ，E、G為材料常數(shù)，k為與截面幾何形狀有關(guān)的剪切常數(shù)。

3.2 初始條件和邊界條件

（1）初始條件

（2）邊界條件

在初始條件（24）-條件（26）中，位移和速度都是相對于動坐標(biāo)系O1x1y1.

3.3 波動方程的數(shù)值計算

波動方程為非線性偏微分方程組，這里采用中心差分格式進(jìn)行數(shù)值計算。求得一系列位移值即波動方程的數(shù)值解。

在求得位移的數(shù)值解后，依據(jù)應(yīng)力和位移的關(guān)系，利用上述差分格式可求得應(yīng)力的一系列數(shù)值解。進(jìn)而得到應(yīng)力的時程曲線和分布曲線，分析和研究應(yīng)力波在圓錐桿中的傳播特性和規(guī)律。

4 計算實例和結(jié)果分析

對圓錐桿傾斜侵徹半無限厚水泥靶的撞擊力和應(yīng)力波傳播進(jìn)行了計算與分析。取水泥的密度ρ=2.13×103kg·m-3，極限密度ρ*=2.20 ×103kg·m-3，擠壓極限為σc=80 MPa，圓錐桿的質(zhì)量為mp=34.5 kg，圓錐桿的幾何參數(shù)分別為 R=0.050 m，θ=8°，l=0.356 m，L=1.068 m，φ =0.300 m，圓錐桿的硬化模量為E=1.26 GPa，G=E/［2（1+ μ）］，μ =0.3，剪切常數(shù)k=10/9，這里假定圓錐桿的初始動能只有十分之一用于產(chǎn)生撞擊力。由圖6可以看出，初始侵徹角度對軸向撞擊力影響非常小，這與文獻(xiàn)［7］的實驗結(jié)論基本相符。如圖7所示，初始侵徹角度對橫向撞擊力的影響非常大，這與實際情況相同。在計算波動方程時，初始侵徹速度為v=1 km·s-1，初始侵徹角度為α0=75°，其它參數(shù)同前。應(yīng)力的時程曲線如圖8-圖11所示，正應(yīng)力的傳播以軸向力產(chǎn)生的正應(yīng)力為主；應(yīng)力分布曲線分別如圖12-圖15所示，正應(yīng)力的分布也以軸向力產(chǎn)生的正應(yīng)力為主。因此合成正應(yīng)力以軸向力產(chǎn)生的正應(yīng)力為主。

圖6 軸向撞擊力時程曲線Fig.6 The history curve of axial force

圖7 橫向撞擊力時程曲線Fig.7 The history curve of lateral force

圖8 正應(yīng)力時程曲線（軸向力）Fig.8 The history curve of normal stress（axial force）

圖9 正應(yīng)力時程曲線（橫向力）Fig.9 The history curve of normal stress（lateral force）

圖10 剪應(yīng)力時程曲線Fig.10 The history curve of shear stress

圖11 合成正應(yīng)力時程曲線Fig.11 The history curve of resultant normal stress

圖12 正應(yīng)力分布曲線（軸向力）Fig.12 The distribution curve of normal stress（axial force）

圖13 正應(yīng)力分布曲線（橫向力）Fig.13 The distribution curve of normal stress（lateral force）

圖14 剪應(yīng)力分布曲線Fig.14 The distribution curve of shear stress

圖15 合成正應(yīng)力分布曲線Fig.15 The distribution curve of resultant normal stress

5 結(jié)論

（1）初始侵徹角度對軸向撞擊力影響非常小，但對橫向撞擊力的影響非常大。

（2）當(dāng)初始侵徹角較大時，合成正應(yīng)力主要是以軸向力產(chǎn)生的正應(yīng)力的幅值和波形進(jìn)行傳播。

（3）在討論過程中，僅以比例系數(shù)的形式考慮了其它能耗對撞擊力的影響，更加合理處理的方式有待進(jìn)一步的研究。

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