6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)在單目標(biāo)優(yōu)化問題中的仿真應(yīng)用

周 峰，張學(xué)良，賈庭芳，溫淑花，吳 量

（太原科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，太原 030024）

在機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，與產(chǎn)品相關(guān)的確定性因素和不確定因素常因?yàn)闀r(shí)間和環(huán)境的變化而發(fā)生細(xì)微變化，隨之影響了產(chǎn)品的質(zhì)量，降低了產(chǎn)品的可靠性及使用壽命［1］。常規(guī)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用了概率理論，將影響產(chǎn)品質(zhì)量的確定性因素和不確定因素處理成不等式概率約束，以此保證其設(shè)計(jì)要求的可靠度。然而，常規(guī)的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)并未能有效地反映出當(dāng)產(chǎn)品的某些因素在制造和使用的過程中發(fā)生變化時(shí)，其質(zhì)量的可靠度也受到了影響。本文在可靠性理論和容差技術(shù)的基礎(chǔ)上引入6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論，用以彌補(bǔ)前者的不足之處，在保證要求的可靠度的前提下，使其可靠性對(duì)這些因素的微變不十分敏感，提高產(chǎn)品性能的穩(wěn)健性。

1 6σ的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理念

1.1 6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)概念

穩(wěn)健設(shè)計(jì)法又稱三次設(shè)計(jì)法［2］，是使設(shè)計(jì)的產(chǎn)品在制造和使用過程中，當(dāng)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)有關(guān)參數(shù)發(fā)生變化，或者在規(guī)定的使用期內(nèi)其結(jié)構(gòu)發(fā)生老化和變質(zhì)時(shí)均能保持產(chǎn)品功能穩(wěn)定的一種工程設(shè)計(jì)方法?；诖?，摩托羅拉公司為提高產(chǎn)品質(zhì)量，引入了一種現(xiàn)代質(zhì)量管理方法——6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)［3］。σ即為概率論中的標(biāo)準(zhǔn)差，用以描述結(jié)構(gòu)參數(shù)偏離程度。6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)結(jié)合了可靠性理論和容差模型設(shè)計(jì)方法，它將產(chǎn)品質(zhì)量均值的波動(dòng)限制在6σ范圍內(nèi)，在滿足各設(shè)計(jì)要求的情況下，能使得產(chǎn)品的可靠度達(dá)到99.9999998%.實(shí)質(zhì)是在優(yōu)化過程中，由于結(jié)合了可靠性理論和容差設(shè)計(jì)模型，使得響應(yīng)均值遠(yuǎn)離了約束，響應(yīng)偏差減小。該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法考慮了隨機(jī)變量的微變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的過程中，能夠?qū)⒂绊懏a(chǎn)品質(zhì)量的相關(guān)因素控制在許可的范圍內(nèi)。不同σ水平對(duì)應(yīng)不同的可靠度［4］和每百萬件產(chǎn)品缺陷數(shù)，見表1.

表1 各σ水平對(duì)應(yīng)的可靠性和每百萬件產(chǎn)品缺陷數(shù)Tab.1 Sigma level corresponding with the reliability and product defects per million

1.2.1 可靠性概率常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

式中:F（x1，x2，x3，…，xn）—— 常規(guī)目標(biāo)函數(shù)；

P{·}——約束條件的概率表達(dá)；

g（x）——不等式約束函數(shù)；

h（x）——等式約束函數(shù)；

ε—— 微量，ε ＞ 0；

Rg，Rh——不同約束條件的可靠度；

XL，i，XU，i—— 隨機(jī)變量 x 的上下限。

1.2.2 6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

式中:m——約束條件數(shù)；

n——σ 水平；

w1，w2—— 權(quán)因子；

XL，i，XU，i—— 隨機(jī)變量 xi的上下限；

μxi—— 隨機(jī)變量 xi的均值；

μy——目標(biāo)函數(shù)y的均值；

μgi——不同約束條件的均值；

σxi——隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差；

σy——目標(biāo)函數(shù)y的標(biāo)準(zhǔn)差；

σgj——不同約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)n=6時(shí)，即為6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)。與常規(guī)確定性優(yōu)化方法相比，6σ穩(wěn)健設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，加入了目標(biāo)和約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。該方法不但能尋找到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解，而且還使得目標(biāo)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)變得不敏感。對(duì)于各約束，加入約束函數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可使得最優(yōu)點(diǎn)在搜索的過程中遠(yuǎn)離約束邊界，提升為6σ水平，以有效地增大可靠度，然而，設(shè)計(jì)參數(shù)的可行域也隨之而減小范圍。因此，要適當(dāng)擴(kuò)大設(shè)計(jì)參數(shù)可行域，就有必要在目標(biāo)函數(shù)中加入約束條件的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2.3 均值和方差的近似計(jì)算

當(dāng)確定性因素xi～N（）和不確定性因素～N（）彼此獨(dú)立時(shí)，將設(shè)計(jì)函數(shù)在均值處展開，取二次項(xiàng)可得目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)均值和方差的計(jì)算公式［2］:

2 PSO粒子群優(yōu)化算法

無論何種優(yōu)化設(shè)計(jì)模型都必須采用合適的優(yōu)化算法來獲取最佳的參數(shù)值以達(dá)到模型設(shè)計(jì)的最初目的。文獻(xiàn)［5］表明，如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件的非線性程度高些，現(xiàn)有的一些數(shù)值優(yōu)化軟件（如MATLAB）很難求得最優(yōu)解。很多優(yōu)化設(shè)計(jì)研究者也都是自行編制適于具體問題的算法來求搜索最優(yōu)解。因此，本文中將采用粒子群算法來搜索最優(yōu)解。

粒子群算法［6］按照個(gè)體（粒子）的適應(yīng)度函數(shù)的大小進(jìn)行調(diào)整，并利用“群體”和“進(jìn)化”的概念［7］，讓每個(gè)粒子在n維搜索空間中以一定的速度飛行，使每個(gè)粒子的位置不斷發(fā)生變化，其飛行速度通過粒子本身飛行過的最好位置和群體中粒子的最好位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)的調(diào)整。

設(shè)Xi=（xi1xi2…xin）為粒子i的在搜索空間中的位置，Vi=（νi1νi2…νin）為粒子 i的飛行速度，Pi=（pi1pi2…pin）為粒子i曾經(jīng)的最好適應(yīng)值位置，即粒子在其飛行歷史中的最佳位置。

粒子飛行速度及其空間位置迭代方程可表示為:

式中，pij（t）為群體的最佳位置。下標(biāo)“j”表示粒子的第“j”維；“i”表示粒子i；t表示第 t代；c1，c2加速常數(shù)，一般取值0 ～ 2，r1～ U（0，1），r2～ U（0，1）為彼此獨(dú)立的隨機(jī)函數(shù)。

PSO粒子群算法初始化步驟:

（1）給出粒子群的數(shù)量N；

（2）在［-xmax，xmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的粒子位置xij；

（3）在［-νmax，νmax］范圍里各粒子依照均勻分布產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的粒子飛行速度νij；

（4）對(duì)任意 i，設(shè) yi=xi.

算法流程:

（1）根據(jù)上述過程，對(duì)粒子群的空間位置和飛行速度進(jìn)行隨機(jī)的初始化；

（2）計(jì)算各粒子的適應(yīng)函數(shù)值的大??；

（3）將各個(gè)粒子的適應(yīng)值與其歷史中的最佳位置的適應(yīng)值做比較。如果較好，即對(duì)單目標(biāo)優(yōu)化而言，使目標(biāo)值較小，且符合約束函數(shù)，則將該粒子作為當(dāng)前的最佳位置；

（4）將各粒子的適應(yīng)值與群體的最佳位置的適應(yīng)值做比較。同（3），如果較好，則將其作為當(dāng)前群體的最佳位置；

（5）據(jù)式（5），式（6）對(duì)粒子的飛行速度和空間位置進(jìn)行迭代調(diào)整；

（6）群體中最佳位置的最優(yōu)值若沒有達(dá)到預(yù)計(jì)中的目標(biāo)最小值，則返回（2）。

3 實(shí)例研究及結(jié)果分析

圖1 圓柱螺旋壓縮彈簧的工作圖Fig.1 The working diagram of cylindrical helical compression spring

3.1 算例

設(shè)計(jì)一圓柱螺旋壓縮彈簧［7］（見圖1），要求其質(zhì)量最小。彈簧材料為65 Mn，最大工作載荷Pmax為40 N，最小工作載荷為0 N，載荷變換頻率fr為20 Hz，彈簧壽命為104h，彈簧鋼絲直徑d的取值范圍為小于4 mm大于1 mm，中徑D的取值范圍為小于30 mm大于10 mm，工作圈數(shù)n不小于4.5圈，彈簧旋繞比不應(yīng)小于4，彈簧兩端固定。工作溫度為50℃，彈簧變形量不小于10 mm.

3.2 常規(guī)優(yōu)化模型的建立

3.2.1 確定設(shè)計(jì)變量

影響彈簧質(zhì)量參數(shù)有彈簧鋼絲直徑d，彈簧中徑D和彈簧有效圈數(shù)n.它們都是彼此獨(dú)立的參數(shù)，故取這三個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，按連續(xù)設(shè)計(jì)變量處理:

3.2.2 建立目標(biāo)函數(shù)

要優(yōu)化的單目標(biāo)是彈簧重量，要求其最小，圓柱螺旋彈簧的重量可表示為:

式中，r——彈簧材料密度，對(duì)于鋼材r=7.8×10-6kg/mm3

n1—— 死圈數(shù)，常數(shù) n1=1.5 ～ 2.5，現(xiàn)取 n1=2.

將已知參數(shù)代入公式，整理得目標(biāo)函數(shù)為:

3.2.3 約束條件

（1）彈簧的最大切應(yīng)力發(fā)生在彈簧內(nèi)側(cè)，因此，強(qiáng)度條件約束可表示為:

（2）一般彈簧在確定載荷下會(huì)產(chǎn)生一些形變，因此，它需要滿足的剛度條件為:

其中，kF——彈簧剛度。

（3）穩(wěn)定性條件約束［8］

為避免發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，可采取控制高徑比。對(duì)兩端固定的彈簧，一般穩(wěn)定性指標(biāo)b≤5.3，用公式表示為:

其中，H=540d4/D2+1.5d

（4）兩端固定的彈簧不共振條件約束為:

其中，fb—— 自振頻率，fb=3.356 × 105d/nD2

（5）彈簧旋繞比C=D/d，故約束條件為:

其中，依據(jù)題目取C=4.0.

（6）對(duì) d，n，D 的限制

由dmin≤d≤dmax，nmin≤n≤nmax，Dmin≤D≤Dmax，可得約束條件:

3.3 6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型的建立

在常規(guī)模型的基礎(chǔ)上，可以很方便建立6σ穩(wěn)健優(yōu)化模型，根據(jù)式（7）確定變量如下:

因此，建立穩(wěn)健優(yōu)化模型如式（16）所示。其中，w1，w2據(jù)實(shí)例情況分別取為0.35，0.65.

表2 圓柱螺旋彈簧優(yōu)化計(jì)算結(jié)果Tab.2 Experimental results of cylindrical helical spring optimization

3.4 優(yōu)化方法及結(jié)果分析

根據(jù)建立的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型及6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，采用粒子群智能優(yōu)化方法進(jìn)行尋優(yōu)，并利用Isight集成MATLAB平臺(tái)進(jìn)行可靠度分析。表2給出了常規(guī)優(yōu)化方法和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的對(duì)比。

4 結(jié)論

6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)是融合了可靠性理論和基于容差模型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)理論，充分考慮了有關(guān)產(chǎn)品的確定性和不確定因素對(duì)產(chǎn)品性能的影響，將設(shè)計(jì)提高到了6σ水平，使其可靠度達(dá)到了近100%，提升了產(chǎn)品性能在這些因素發(fā)生變化時(shí)的不敏感性。將該方法應(yīng)用于圓柱螺旋彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到了很好的設(shè)計(jì)結(jié)果。與常規(guī)優(yōu)化方法結(jié)果相比，彈簧的可靠性和穩(wěn)健性都得到了較大的提高。

［1］張義民，賀向東，劉巧伶，等.任意分布參數(shù)的機(jī)械零件的可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)（一）:理論部分［J］.工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2004，11（5）:233-237.

［2］陳立周.穩(wěn)健設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

［3］李玉強(qiáng)，崔振山，阮雪榆，等.6σ概率設(shè)計(jì)優(yōu)化方法及其應(yīng)用［J］.中國工程機(jī)械，2004，15（21）:1916-1919.

［4］P N KOCH，R J YANG，L GU.Design for six sigma through robust Optimization［J］.Struct Multidisc Optim，2004，26（10）:235-248.

［5］COLOMI A，DORIGO M，MANIEZZO V.Distributed optimization by ant colonies［C］//Proc 1st European Conf Artificial Life Plans，F(xiàn)rance:Elsevier，1991:134-142.

［6］彭喜元，彭宇，戴毓豐.群智能理論及應(yīng)用［J］.電子學(xué)報(bào)，2003，31（12）:1982-1988.

［7］蘇金明，阮沈勇.MATLAB實(shí)用教程［M］.2版.北京:電子工業(yè)出版社，2008.

［8］濮良貴，紀(jì)名剛.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.7版.北京:高等教育出版社，2005.