一類帶參數(shù)的四階Neumann邊值問題解的存在性

黃永峰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

1 引言

近年來,高階邊值問題由于其在物理及工程學(xué)中應(yīng)用的廣闊性而得到了人們的廣泛關(guān)注.許多作者研究了高階邊值問題正解的存在性,得到了一些較好的結(jié)果, 見文[1,2,3]。他們大都利用錐拉伸或錐壓縮定理以及不動點指數(shù)理論在非線性項滿足超線性或次線性條件時獲得結(jié)論.也有許多作者利用臨界點理論及Morse理論研究了高階邊值問題解的存在性,見文[4,5,6,7].特別地,文[5]利用臨界點理論和Morse理論并結(jié)合局部環(huán)繞定理得到了四階帶參數(shù)Dirichlet邊值問題解的存在性.文[7]運用鞍點定理及臨界點理論得到了四階帶參數(shù)的Neumann邊值問題的解的存在性.基于以上的研究工作,本文考慮如下的問題

解的存在性,其中f∈C1([0,1]×R,R),η,ξ為參數(shù),且滿足條件：

為了證明的需要,本文作如下的幾個條件假設(shè)：

2 預(yù)備知識

由此知邊值問題在C4[0,1]中的解等價于下列方程

在C[0,1]中的解.

為了結(jié)論的證明需要,下面給出一些臨界點理論和Morse理論的基本定義和引理.

定義2.1[8]設(shè)D是實Banach空間E中的開集,泛函J:D→R1在D上是Frechet可微,若有u0∈D使得J'(u0)=0,則稱u0是泛函J的一個臨界點.

定義2.2[8]設(shè)E實Banach空間,J∈C1(E,R1).如果{un}?E,J(un)→c,J'(un)→θ,n→∞蘊涵{un}有收斂子列,則稱泛函J滿足(PS)c條件.如果對于所有的c均滿足(PS)c條件,則稱泛函J滿足PS條件.

定義2.3[9]設(shè)J(θ)=0,E=V⊕X,dimV<+∞,X為實Banach空間.如果存在ρ>0,使得

J(u)≤0,u∈V,‖u‖≤ρ;

J(u)>0,u∈X,0<‖u‖≤ρ,

那么稱J在θ點局部環(huán)繞.

定義2.4[9]設(shè)u0是泛函J的一個孤立臨界點,J(u0)=c,U是u0的一個鄰域且在U中J除u0外沒有其它臨界點.我們稱

Cq(J,u0)=Hq(Jc∩U,(Jc∩U){u0}),q=0,1,2…,

為J在u0的第q個臨界群,其中Hq(X,Y)為第q個奇異相對同調(diào)群,其系數(shù)為整數(shù)群.若至少有一個臨界群是非平凡的,則稱u0是J的一個同調(diào)非平凡臨界點.

引理2.2[4]如果泛函

有一個臨界點u∈L2[0,1],則邊值問題在C4[0,1]中有一個解.

引理2.3[9]假設(shè)J∈C1(E,R1)滿足PS條件且在θ點局部環(huán)繞,則θ為J的一個同調(diào)非平凡臨界點.

定義2.4[9]設(shè)p為J的一個孤立臨界點,J∈C2(E,R1).若J''(p)有有界逆,則稱p為J的一個非退化臨界點.我們稱相應(yīng)于J''(p)譜分解的負(fù)空間的維數(shù)為J在p點的Morse指數(shù),記為ind(J,p).

引理2.4[9]設(shè)J∈C2(E,R1),p為J的一個非退化臨界點,且其Morse指數(shù)為j,則Cq(J,p)=δqjZ.

3 主要結(jié)論及證明

定理3.1[7]設(shè)對k≥1,(H1) 和(H2)滿足,那么邊值問題至少有一個解.

引理3.1 如果(H3)滿足,那么Cq(J,p)=δqmZ.

此引理在文[5]中已有了詳細的證明,由于在本文中其證明和文[5]中完全類似,故在此省略其證明.

定理3.2 假設(shè)f(t,0)=0,對k≥1,(H1) 和(H2)滿足,且當(dāng)m≠k時,(H3)成立,那么邊值問題至少有一個非平凡解.

證明 設(shè)ω為定理3.1所得到的解,我們只需證明ω≠0.因為ω是由鞍點定理在k維子空間的情形下所得到的解,因此我們有Ck(J,ω)≠0.又當(dāng)條件(H3)滿足時,由引理3.1有Cq(J,p)=δqmZ,注意到m≠k,因此我們有ω≠0.證畢.

引理3.2 假設(shè)f(t,0)=0,對k>1,(H1) 和(H4)滿足,那么泛函J具有山路型結(jié)構(gòu),亦即J(θ)=0且滿足

(i)存在β,ρ>0,使得J(u)≥β,u∈L2[0,1],‖u‖=ρ;

(ii)存在e∈L2[0,1],使得‖e‖>ρ且J(e)<0.

證明 由(H4)知,存在δ>0,α>0,使得F(t,u)≤1/2·(ξ-δ)u2,|u|≤α.選取ρ=α/L1,其中L1為K1/2:L2[0,1]→C[0,1]的范數(shù),當(dāng)‖u‖<ρ時,我們有‖K1/2u‖C≤L1·‖u‖≤α,則有

由此知(i)滿足.

取e0為特征值λ0=1/ξ對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)向量我們知

定理3.3 假設(shè)f(t,0)=0,對k>1,(H1), (H2) 和(H4)滿足,那么邊值問題至少有兩個平凡解.

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