用時域分析法求解沖激響應的方法

汪 建

(華中科技大學電氣與電子工程學院，湖北武漢430074)

0引 言

在“電路原理”課程暫態(tài)分析教學中，沖激響應的求解是一個重點內(nèi)容，也是難點之一。當采用時域分析法時，沖激響應的求解通常可應用下述三種方法［1-3]:①由階躍響應求解，即階躍響應對時間變量的導數(shù)為沖激響應;②將沖激響應化為零輸入響應求解，即先求出沖激激勵所建立的電路初始狀態(tài)uC(0+)和iL(0+)，再求零輸入響應便獲得沖激響應。③還可用比較系數(shù)法，即通過比較描述沖激響應的微分方程兩邊奇異函數(shù)的系數(shù)來求得沖激響應。

但當電路中含有電流源—電感割集、電壓源—電容回路或電壓源—電感回路、電流源—電感回路時，應用上述某種方法求解時可能會遇到困難。本文通過一些較典型例題的分析來說明這些方法的運用，用以幫助學生建立正確思維方式，增強其靈活運用所學概念和方法分析電路問題的能力，提高講解沖激響應求解方法的教學效果。

1 由階躍響應求沖激響應

電路中某一變量的階躍響應通常用S(t)表示，沖激響應用h(t)表示。沖激響應和階躍響應的關系是h(t)=dS(t)/dt。

［例1] 求圖1所示電路的沖激響應uC(t)。

圖1 例1電路

解:先求電路階躍響應。令電源電壓為ε(t)，uC(0－)=0。一階電路可用三要素法求解

則階躍響應為

于是，所求沖激響應為

2 將沖激響應化為零輸入響應求解

沖激電源的作用可視為在其施加于電路時建立初始狀態(tài)，即使uC(t)和iL在t=0時發(fā)生跳變。沖激電源在t=0時作用于電路，在t＞0后沖激電源的輸出為零，則電路的響應可視為由沖激電源所建立的初始狀態(tài)引起的零輸入響應。

對于沖激電源所建立的電路初始狀態(tài)uC(0+)和iL(0+)可用兩種方法求得:①由沖激電源作用時(0－～0+)的等效電路求出通過電容的電流iC(t)和電感的端電壓uL(t)，再由兩種動態(tài)元件的伏安關系式求得uC(0+)和iL(0－)。因uC(0－)及iL(0－)=0，則在沖激電源作用時，電容等效于短路，電感等效于開路;②由電路的微分方程求出。

［例2] 電路仍如圖1所示。試用化為零輸入響應求解的方法求其沖激響應uC(t)。

解:先求沖激電源所建立的初始狀態(tài)uC(0+)。在沖激電源作用時，電容相當于短路，作出等效電路如圖2(a)所示，求得iC(t)=δ(t)/3+2i(t)，于是有

我們可建立電路的微分方程再求出uC(0+)。對圖2(b)所示電路，依據(jù)KCL和KVL可建立電路的微分方程為

對方程兩邊同時從0－～0+積分，可求得

t＞0后的電路為零輸入電路，如圖2(c)所示。其中uC(0+)=0.5V，τ=1s。于是電路的沖激響應為

圖2 例2計算用圖

［例3] 如圖3(a)所示電路中，已知:L1=1H，L2=0.5H，R=1Ω，試求沖激響應i1(t)和i2(t)。

解:此題若用第一種方法先求階躍響應，再求沖激響應的方法，會遇到困難。原因是此電路中有一電壓源—電感回路，當階躍電源作用，用三要素法求穩(wěn)態(tài)值時，兩個電感相當于短路將電源短接而無法求出電感電流的穩(wěn)態(tài)值。這里采用化為零輸入響應的方法進行求解。作出δ(t)作用(t=0)時的等效電路如圖2(b)所示，可得

u1(t)=δ(t)，u2(t)=0

于是求出初始狀態(tài)為

t＞0后為零輸入電路，如圖3(c)所示。因該電路有兩個電感并聯(lián)，在動態(tài)過程結束后，兩電感中的電流均不為零。

圖3 例3計算用圖

為此先求響應u(t)，有

其中，i(0+)=i1(0+)－i2(0+)=i1(0+)=1A，τ=Leq/R=(L1//L2)/R=1/3s，于是有

則求得沖激響應為

3 比較系數(shù)法求沖激響應

一個n階網(wǎng)絡的微分方程，其一般形式為

若x(t)=δ(t)且電路的原始狀態(tài)為零狀態(tài)，則響應y(t)為沖激響應。

根據(jù)微分方程的具體形式，沖激響應h(t)的表達式可分為兩種情況。

1)若n＞m，則h(t)中不含有沖激函數(shù)及其各階導數(shù)，其一般表達式為

式中，yh(t)是齊次微分方程的解。

在確定了h(t)表達式的形式后，將其代入到微分方程中進行系數(shù)比較，從而獲得沖激響應。

［例4] 某電路的微分方程為dy(t)/dt+4y(t)=2d2x(t)/dt2+3x(t)，試求該電路沖激響應h(t)。

解:由于n=1，m=2，故由式(3)得沖激響應的表達式為

而dh(t)/dt=-4e－4tε(t)+Kδ(t)+K0δ'(t)+K1δn(t)

將dh(t)/dt和h(t)代入原微分方程，可得

比較等式兩邊各項系數(shù)，解得

則所求沖激響應為

［例5] 用比較系數(shù)法求圖1所示電路的沖激響應。

解:列出該電路的微分方程為

因n＞m，且該微分方程的齊次解形式為ke－t，

則由(2)式，知沖激響應的表達式為

將上式代入微分方程后進行系數(shù)比較，可求得k=0.5，則所求沖激響應為

［例6] 電路如圖4所示，試求其沖激響應i(t)。

圖4 例6電路

解:此電路的求解若用第二種方法化為零輸入響應的方法會遇到困難，原因是電路中存在電流源-電感割集。當沖激電源作用時，兩個電感相當于開路而難以求出此時兩個電感兩端的電壓因而不能求得沖激電源所建立的初始狀態(tài)。為此用比較系數(shù)法求解。對圖4所示電路右邊回路列寫KVL方程，有

整理后得到電路的微分方程為

因n=m，由式(3)知響應的表達式為

將上式代入微分方程，經(jīng)系數(shù)比較，可得K=－3，K0=6。

則所求沖激響應為

4 結語

本文用一些較典型的例子從教學的角度討論說明了在時域中求解沖激響應的方法，以提高這一內(nèi)容的教學效果，幫助學生正確地理解和掌握沖激響應的概念，特別是沖激響應的各種求解方法。由此達到開拓思路和正確地運用所學知識分析各種電路問題的能力。

［1] 邱關源，羅先覺.電路(第五版)［M] .北京:高等教育出版社，2006

［2] 周守昌主編.電路原理［M] .北京:高等教育出版社，2004

［3] 李翰遜主編.電路分析基礎(第三版)［M] .北京:高等教育出版社，1993