頻譜分析中的微分法與微分方程法

薄 華，任 蕾，陳紅亮，金欣磊，楊忠根

(上海海事大學(xué)電子工程系，上海200135)

正如許多“信號(hào)與系統(tǒng)”教材［1-5]指出的那樣，用微分法可計(jì)算非周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換(FT)。其過(guò)程是，首先可根據(jù)FT的微分性質(zhì)得出f'(t)=g(t)的FT:jωF(jω)=G(jω)，由它得出f(t)的FT:F(jω)=G(jω)/(jω)。實(shí)際上，如果不注意上述過(guò)程中隱含的假設(shè)而直接引用，有時(shí)會(huì)給出錯(cuò)誤的結(jié)果。

例如，讓我們看一下用FT的微分性質(zhì)求解三個(gè)典型信號(hào)u(t)、u(-t)和sgn(t)的FT的結(jié)果，如

表1所示。表中也示出了正確結(jié)果用作比較。

表1 用FT的微分性質(zhì)求解FT的結(jié)果

從表1可見(jiàn)，此法給出了一次正確計(jì)算結(jié)果和兩次錯(cuò)誤計(jì)算結(jié)果。我們不禁要問(wèn)，為什么會(huì)給出這樣的計(jì)算結(jié)果?能否對(duì)它進(jìn)行必要的修正來(lái)給出正確的計(jì)算結(jié)果?究竟在哪些場(chǎng)合能使用微分法?什么時(shí)候不需要修正?什么時(shí)候需要怎樣的修正?這些就是本文首先要回答的問(wèn)題。

1 微積分性質(zhì)的隱含假設(shè)及其修正

為了拓廣其用于計(jì)算含有非零直流分量的信號(hào)的FT，我們僅需在得到j(luò)ωF(jω)=G(jω)之后改由F(jω)=+G(jω)/(jω)給出f(t)的FT即可。這就是修正微分法。

值得注意的是，文獻(xiàn)［3] 在指出FT的積分性質(zhì)隱含的假設(shè)后，便給出了用修正積分法計(jì)算f(t)的公式:F(jω)=此公式與這兒的修正微分法給出的公式一致，因?yàn)?f(-∞)+0.5G(0)。

表2給出了微分法和修正微分法求解FT的結(jié)果，與表1給出的正確結(jié)果比較后可見(jiàn)，與微分法僅對(duì)的信號(hào)能給出正確的結(jié)果不同，修正微分法能對(duì)所有情況都給出正確的結(jié)果。

2 微分方程法與生成系統(tǒng)模型

本節(jié)對(duì)修正微分法進(jìn)行推廣。有許多信號(hào)可表示為微分方程的輸出。這就是頻譜分析中的微分方程法。實(shí)現(xiàn)該微分方程的系統(tǒng)就是信號(hào)的生成系統(tǒng)。需要指出的是，隨機(jī)信號(hào)功率譜分析中使用的生成系統(tǒng)模型法是這兒的生成系統(tǒng)模型法的推廣。此處用單位功率的白噪聲取代這兒的沖激信號(hào)來(lái)激勵(lì)生成系統(tǒng)。

2.1 不含正弦分量時(shí)的微分方程法

［例1] 因果指數(shù)衰減信號(hào)e－αtu(t)，α＞0

對(duì)該信號(hào)求導(dǎo)后，易知它滿足微分方程f'(t)+αf(t)=e(t)，其中輸入e(t)=δ(t)。因此，它的FT就是此微分方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù)F(jω)=H(jω)=1/(α+jω)，此系統(tǒng)可視為該信號(hào)的生成系統(tǒng)。在此例中，珓f=0，而且信號(hào)不含正弦分量，故無(wú)需進(jìn)行修正。

［例2] 雙邊指數(shù)衰減信號(hào)e－α|t|，α＞0

對(duì)它求二階導(dǎo)數(shù)并利用|t|'=sgn(t)后，易知它滿足微分方程f″(t)+α2f(t)=2αe(t)，其中輸入信號(hào)e(t)=δ(t)。因此，它的FT就是此微分方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù)F(jω)=H(jω)=2α/(α2－ω2)，此系統(tǒng)可視為該信號(hào)的生成系統(tǒng)。在此例中，而且信號(hào)不含正弦分量，故也無(wú)需修正。

2.2 含正弦分量時(shí)的微分方程法

［例3] 因果復(fù)正弦信號(hào)ejω0tu(t)

對(duì)該信號(hào)求導(dǎo)后，易知它滿足微分方程f'(t)－jω0f(t)=e(t)，其中輸入e(t)=δ(t)。因此，它的FT就是此微分方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù)。在此例中，故無(wú)需進(jìn)行因直流分量引起的修正。但信號(hào)里含正弦分量，由于(ω－ω0)在算子j(ω－ω0)的零空間中，故需進(jìn)行因正弦分量引起的修正。與前述的修正微分法相似，首先計(jì)算因果復(fù)正弦信號(hào)含有的復(fù)正弦分量kejω0t，其中:

然后，利用復(fù)正弦信號(hào)ejω0t的FT對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行修正得到:F(jω)=H(jω)=δ(ω－ω0)+1/［j(ω－ω0)] 。此修正從本質(zhì)上解釋了當(dāng)信號(hào)的拉普拉斯變換LT含有虛軸上的極點(diǎn)時(shí)，從LT求解FT需進(jìn)行修正的原因。

［例4] 復(fù)正弦信號(hào)ejω0t

對(duì)它求導(dǎo)之后滿足微分方程f'(t)=-jω0f(t)=0，對(duì)它進(jìn)行FT，有j(ω－ω0)F(jω)=0，此時(shí)k=1，所以F(jω)=2πδ(ω－ω0)。此分析過(guò)程表明，復(fù)正弦信號(hào)生成系統(tǒng)是個(gè)無(wú)輸入的自激振蕩器。

2.3 用于FIR信號(hào)的微分方程法

由于FIR信號(hào)既不含直流分量，也不含任何正弦分量，因此，可無(wú)需任何修正地使用微分性質(zhì)和微分方程法。

［例6] 梯形脈沖信號(hào)r(t+3)－r(t+1)－r(t－1)+(t－3)。

對(duì)它求二階導(dǎo)數(shù)后，易知它的生成系統(tǒng)微分方程f″(t)=e(t+3)－e(t+1)－e(t－1)+e(t－3)是它的微分方程，其中輸入e(t)=δ(t)。因此，它的FT就是此微分方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù):F(jω)=H(jω)=(4/ω2)sinωsin2ω。

3 結(jié)語(yǔ)

從本文的討論可以看出，F(xiàn)T的微分性質(zhì)隱含地假設(shè)了信號(hào)不含有直流分量，這使得它的應(yīng)用范圍受到限制。為解決此問(wèn)題，我們對(duì)它進(jìn)行了簡(jiǎn)單有效的修正，使它能在不滿足隱含假設(shè)的場(chǎng)合給出正確的結(jié)果。然后，我們推導(dǎo)了作為信號(hào)生成系統(tǒng)的微分方程描述，使信號(hào)譜成為其生成系統(tǒng)的頻率傳遞函數(shù);同時(shí)指出微分方程法也隱含地假設(shè)了信號(hào)不含直流分量和正弦分量，并給出了當(dāng)信號(hào)違反此假設(shè)時(shí)進(jìn)行修正的方法。此修正方法從本質(zhì)上解釋了當(dāng)信號(hào)的拉普拉斯變換LT含有虛軸上的極點(diǎn)時(shí)，從LT求解FT需進(jìn)行修正的原因。

［1] 鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M] .北京:高等教育出版社，2000年

［2] 管致中，夏恭恪，孟橋.信號(hào)與線性系統(tǒng)(上冊(cè))(第4版)［M] .北京:高等教育出版社，2004年1月

［3] 吳大正主編，楊林耀，張永瑞編.信號(hào)與系統(tǒng)(第三版)［M] .北京:高等教育出版社，1998年

［4] 劉樹(shù)棠譯，A.V.Oppenheim，A.S.Willsky，W.S.H.Nawab著.信號(hào)與系統(tǒng)(第二版)［M] .西安:西安交通大學(xué)出版社，1998年

［5] 楊忠根，任蕾，陳紅亮.信號(hào)與系統(tǒng)［M] .北京:電子工業(yè)出版社，2009年6月出版