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    賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間的平均寬度

    2011-10-09 07:49:54韓永杰陳廣貴
    關(guān)鍵詞:維空間上界維數(shù)

    韓永杰,陳廣貴,李 超

    (西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 成都 610039)

    賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間的平均寬度

    韓永杰,陳廣貴,李 超

    (西華大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 成都 610039)

    本文討論了賦予標(biāo)準(zhǔn)高斯測(cè)度的有限維空間Rm在lmq空間上的p-平均Kolmogorov n寬度,并得到了其精確階.

    平均寬度;高斯測(cè)度;有限維空間

    1 引言

    設(shè)X是賦范線性空間,W是X的子集,如果L是X的子空間,則稱

    為集合W到L的偏差,其中

    是x到集合L的距離.對(duì)于自然數(shù)n,我們稱

    為集合W在空間X中的Kolmogorov n-寬度,其中Fn是取遍空間X中所有維數(shù)不超過(guò)n的子空間.關(guān)于Kolmogorov n-寬度的有關(guān)詳細(xì)信息,可見(jiàn)文獻(xiàn)[1].

    假設(shè)W中所有的開(kāi)集構(gòu)成一個(gè)Borel域B,并賦予B一個(gè)概率測(cè)度μ,即:μ是定義在B上的c-可加非負(fù)的集函數(shù),且μ(W)=1.令ζ∈[0,1],n=1,2,……,0<P<∝,則分別稱

    為Kolmogorov(n,ζ)-寬度和p-平均Kolmogorov n-寬度.其中Gδ取遍B中所有測(cè)度不超過(guò)ζ的集合,而Fn是取遍空間X中所有維數(shù)不超過(guò)n的子空間.

    Maiorov在[2]中討論了有限維空間Kolmogorov (n,ζ)-寬度.本文繼續(xù)Maiorov的工作,討論賦予標(biāo)準(zhǔn)Gaussian測(cè)度的有限維空間的p-平均Kolmogorov n-寬度.為了敘述我們的結(jié)果,我們首先介紹一些概念和記號(hào).

    對(duì)于1:q:∝,在Rm上賦予范數(shù)

    則它是個(gè)Banach空間,記為lmq.我們用v=vm表示空間Rm上的標(biāo)準(zhǔn)Gaussian測(cè)度,其定義如下:

    其中G是Rm中的Borel集,并且滿足v(Rm)=1.

    定理A([2])當(dāng)1≤q≤2時(shí),對(duì)m≥2n和δ∈(0,1/2],有

    且上界估計(jì)只需要條件m≥n.

    定理B([2])對(duì)m≥n和δ∈(0,1/2],有

    定理C([3])當(dāng)2≤q<∞時(shí),對(duì)m≥n和δ∈(0,1/2],有

    2 主要結(jié)果

    在本文中,我們用ci表示和q有關(guān)的正的常數(shù),i=1,2,…….對(duì)正函數(shù)a(y)和b(y),y∈D,當(dāng)存在正的常數(shù)c1,c2,使得c1:a(y)/b(y):c2,我們記做a(y)≈b (y);當(dāng)存在正的常數(shù)c1,使得a(y):c1b(y),我們記做a (y)≤b(y).本文的主要結(jié)果如下:

    定理11<P<∝,m≥n

    (1)若1:q:2,m≥2n,則

    (2)若2:q<∝,則

    (3)若q=∝,則

    證 先證(1).首先,我們給出dn(a)(Rm,v,lmq)p,1≤q≤2的上界估計(jì)的證明.根據(jù)Kolmogorov n-寬度的定義和定理A,對(duì)任意δ∈(0,1/2],存在集合Gδ?Rm以及l(fā)mq中一個(gè)維數(shù)不超過(guò)n的線性空間L,滿足v(Gδ)≤δ,且

    我們得到了定理1中結(jié)論(1)的上界估計(jì).

    下面我們給出定理1中結(jié)論(1)的下界估計(jì).當(dāng)1≤q≤2,m≥2n時(shí),根據(jù)Kolmogorov n-寬度的定義和定理A,對(duì)lmq空間中任意維數(shù)不超過(guò)n的子空間l,一定存在子集G?Rm,且v(G)≥1/2,使得對(duì)?x∈G有

    這樣我們就得到了定理1中結(jié)論(1)的下界估計(jì).

    利用定理B和定理C,仿照結(jié)論(1)上方估計(jì)的證明,可以證明結(jié)論(2)和(3).定理1證畢.

    〔1〕Allan pinkus,n-widths in approximation theory, Springer-Verlag,Berlin,1985.

    〔2〕V.E.Maiorov,Kolmogorv's-widthsofthe spaces of the smooth functions,Russian Acad. Sci.Sb.Math.79(1994):265-279.

    〔3〕Chen Guanggui and Fang Gensun,Probabilistic and average widthsofmultivariate Sobolev spaceswithmixed derivativeequipped with the Gaussian measure,J.Complexity 20(2004): 858-875.

    O114

    A

    1673-260X(2011)05-0004-02

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