因果代數(shù)及其在物理學中的應用*

黃永暢 何 斌 黃昌宇 楊士林 宋加民

1)(北京工業(yè)大學理論物理研究所，北京 100124)

2)(北京工業(yè)大學應用數(shù)學研究所，北京 100124)

3)(北京大學物理學院，北京 100871)

因果代數(shù)及其在物理學中的應用*

黃永暢何 斌1)2)黃昌宇3)楊士林2)宋加民1)

1)(北京工業(yè)大學理論物理研究所，北京 100124)

2)(北京工業(yè)大學應用數(shù)學研究所，北京 100124)

3)(北京大學物理學院，北京 100871)

(2009年2月2日收到;2010年5月18日收到修改稿)

依據(jù)定量因果原理，給出了物理學中的一個因果代數(shù)的應用，當滿足定量因果原理的互逆可消條件且又滿足消去律的解時，得到因果分解代數(shù);由因果分解代數(shù)導出了結合律和單位元，進而導出了因果分解代數(shù)又具有群的結構特征，同時給出了這新代數(shù)系統(tǒng)在高能物理學中的應用.嚴格地給出了在高能物理中既不是群又不是環(huán)的反應，發(fā)現(xiàn)因果代數(shù)和因果分解代數(shù)是嚴格描述粒子物理反應的基本工具，得到了所有各種相加性、相乘性物理量和各種粒子反應都必須滿足的統(tǒng)一恒等式，給出了因果代數(shù)和因果分解代數(shù)對高能物理的具體應用.利用因果代數(shù)的表示和超對稱的R數(shù)，得到了含有超對稱粒子反應中相乘性的超對稱的PR=(-1)R對稱性.還得到了一個關于電子自旋角動量的任意分量間的一個對稱關系式，利用這對稱關系式，可以化簡多電子相互作用的計算.利用互逆可消條件定義了一般的逆元，可重新定義群，使群的公理減少一個，消除了重復定義.

對稱性，群論，因果原理，粒子物理

PACS:02.10.De，02.20.-a，13.30.-a

1.引 言

人們在研究自然現(xiàn)象中，從不同程度，不同方面都發(fā)現(xiàn)了不同特征的對稱性，對稱性在物理研究中起著重要作用.例如，四種相互作用的規(guī)范場理論的建立和基本粒子的發(fā)現(xiàn).這些對稱性都能用群［1］來描述.物理上，為什么物質(zhì)結構和物質(zhì)運動中會出現(xiàn)如此多的對稱性?這會不會有其更一般的原因在支配?文獻［2］一般性地利用定量因果原理給出了不同積分型變分原理的統(tǒng)一，克服了變分原理與相互作用的局域性因果原理不能統(tǒng)一的困難，得到了變分原理和相互作用的局域性因果原理的統(tǒng)一理論，并顯示了任一體系中物質(zhì)轉(zhuǎn)化過程中的不失不得的定量因果原理(簡稱為定量因果原理).牛頓力學具有絕對時空中的因果關系，量子力學具有統(tǒng)計性的因態(tài)演化所致的統(tǒng)計性的因果關系.因果性表示有因果關系事件間一種必然的聯(lián)系性，而偶然性意味著不確定性.因果的決定性指的是條件與結果之間確定的對應關系.統(tǒng)計力學中出現(xiàn)的隨機性一方面是由于我們的認識的不完備造成的;另一方面量子力學揭示出了微觀粒子的“內(nèi)稟”概率特性，而且一些學者認為量子力學中的隨機性部分地也是由于我們知識的不完備(如隱參數(shù)理論)造成的.

宇宙中各種事物的演化發(fā)展的規(guī)律，須滿足一定的因果關系，且其因果關系必須是定量的.滿足定量因果原理是現(xiàn)代宇宙學及一切其他科學的基本出發(fā)點.文獻［3］給出了定量因果原理對宇宙演化方程的應用，文獻［4］依據(jù)定量因果關系原理，利用一般的物質(zhì)流形，給出了理想態(tài)、參考態(tài)和變形態(tài)的統(tǒng)一描述，獲得了彎曲空間中應變張量一般表示.更一般地說，而且不同的物理過程也是滿足定量因果原理的過程［5］.

對半群、群、環(huán)、域和模而言，不同性質(zhì)的單位元對它們有不同的影響，對這些代數(shù)結構的研究，人們?nèi)栽诓粩嗟靥剿?，并獲得了許多重要的結論［6—8］，本文是從一個新的角度來推廣研究，以使上述不同代數(shù)系統(tǒng)有相應的發(fā)展.

人們已知群論中元素滿足4個相互獨立的公理的集合形成群，而我們發(fā)現(xiàn)這4個公理可從這定量因果原理導出.

人們通常依據(jù)嚴格的數(shù)學的邏輯演繹體系，先歸納出基本原理(或稱公理)，并由這些原理導出若干引理和定理，再由這若干引理和定理導出一個邏輯的演繹體系，最后再將所得演繹體系用到實際中去，從而形成一個實用的理論體系.本文依據(jù)嚴格的數(shù)學的邏輯演繹體系，先歸納出一個基本原理，并由這些原理導出若干引理和定理，再由這若干引理和定理導出一個邏輯的演繹體系，最后再將所得演繹體系用到物理實際中去，從而形成一個實用的理論體系.

2.定量因果原理對因果代數(shù)系統(tǒng)的描述

滿足因果原理是一切科學的基本要求.因為從物質(zhì)間相互作用的因果關系來看，其間必有物質(zhì)傳遞和轉(zhuǎn)換，其傳遞的物質(zhì)或物質(zhì)的轉(zhuǎn)換不會憑空增加或減少，而這正是宇宙中得失相等的定量因果關系原理或稱為定量的因果轉(zhuǎn)換關系原理的一種表述，則有定量因果關系原理的一個數(shù)學表示為［2，3］

式中S為一個表征體系特征量的集合，D，C可為不同算子函數(shù)的集合.(1)式的意義是:任意一類算子函數(shù)D對集合S作用，其所能出現(xiàn)的真實的物理結果必導致體系對應的某一類特征量C的出現(xiàn)，使其在定量上滿足D(S)=CS(D(S)表示算子函數(shù)D對S求一般的算子作用函數(shù)D(S)，其一個簡單的情況是D(S)=DS)，整個過程滿足任意一些量的定量作用(因)，必導致相應等量因的果，也就是滿足不失不得的定量因果關系原理［2，3］.C由(1)式確定，可由不同方式得到.由定量因果原理可給出某些代數(shù)或幾何系統(tǒng)的有效描述.這也因群、環(huán)、域自然地包含在模中［9］，而模是(1)式的特例［9，10］，線性空間是模的特例［9］，微分流形局域是同胚于線性的歐氏空間［11］，纖維叢是微分底流形上賦有纖維空間的推廣［12，13］，表征物理學中基本相互作用規(guī)律的規(guī)范場正是主纖維叢的聯(lián)絡［12，13］，其聯(lián)絡的獲得正是(1)式中D為聯(lián)絡算子，S為截面，C=ω為聯(lián)絡的特例［13］，而粒子物理學中的各種基本相互作用恰是通過各種規(guī)范場的作用來實現(xiàn)的，故定量因果原理的作用對粒子物理學的研究而言是相當重要的.對 Hopf代數(shù)、量子群等的研究，文獻［14，15］所給出的代數(shù)也是滿足因果關系的代數(shù).由于我們在此要考慮的是群的概念的推廣，故在數(shù)學上(1)式中的D，C，S可被簡化為一個集合中的不同元素，如可定義為群的元素.事實上，一種代數(shù)正是滿足某些邏輯和定量運算規(guī)則的一些元素的一種集合［6，9］，如群就是一些元素滿足一種群運算規(guī)則的一種代數(shù)，之所以要推廣群到一般代數(shù)是因為有大量的物理系統(tǒng)沒有群的對稱性，有比群更小的對稱性(如半群).故研究這些更小的對稱性就具有重要的物理意義.

在定量因果原理表達式(1)中，當D=S為一個非空集合，當C為單位算符，則DS=S，所以，(1)式恰為封閉性.因此，我們一般地導出封閉性定理如下，

此式相當于對Aj(或Ai)作定量Ai(或Aj)的左(或右)傳遞作用到Am.又由(2a)式的封閉性總有

我們可從(1)式一般地導出(或定義)存在廣義逆元Am，即:Aj(或Am)與Ak(∈S)左作用，然后是Ai與Am(或與Aj)左作用，再與已得的(Aj*Ak) (或(Am*Ak))左作用，得D對S操作，數(shù)學上表示對S求一般的函數(shù)D(S)={(Ai*Am)*(Aj* Ak)}(由于 Ai，Aj，Am，Ak∈S)(或={(Ai*Aj)* (Am*Ak)})，且當C=S，即CS={Ai*Ak}，我們獲得如下定理:

或

即這定理一般地定義了滿足(3a)或(3b)式的廣義逆元Am.(其中(ⅳ′)不是按照出現(xiàn)的次序標記，而是按照群論通常意義公理的習慣標記，下同)事實上，從(3a)和(3b)式可以看出Am和Aj互為逆元，因而它們是相關的.又由于(3a)和(3b)式是一般的，即對任意的Ai，Ak∈S，(3a)和(3b)式都成立.

在方程(3a)中取Aj為Am，則相關的原Am要記為(Am)-1，故得(Ai*(Am)-1)*(Am*Ak)=Ai*Ak(3a′)，這里記號(Am)-1是表示與Am有關的S中的某個元素.如果這互逆可消條件是次序無關的，則這系統(tǒng)對(3a)和(3b)同時滿足，如果還滿足消去律，則由(3a)和(3b)可得(Am)-1=Aj;反之亦然.因此，Am為廣義逆元A-1j.

所以，由(3)式可得

進一步由(3)，(4)式可得

定理(ⅲ′)

由Ai和Aj的任意性，利用(2b)，(3)和(4)式得:Aj，A-1

j，Ak，Al，

即

即

其中 Ij分別為左、右關聯(lián)單位元，因此，我們自然地得到了左、右關聯(lián)單位元，它們滿足一種新單位元的二元運算性質(zhì).這是所推導出有意義的新結果之一.

定理(ⅳ′)的另一個直觀的意義是(Ai*Aj)和中分別有Aj和A-1j的作用，則(3)式中Aj和的正反互逆作用可抵消.

由于以上討論形成一個一般的代數(shù)系統(tǒng)，并且所導出的(2)和(3)式滿足定量因果原理，故稱滿足(2)和(3)式的代數(shù)為因果代數(shù)，而(4)—(6)式只是(2)和(3)式的推論.

3.因果分解代數(shù)系統(tǒng)和群的關系

在因果代數(shù)中，當滿足具有一般特性的消去律時，也就是可分解時，即(3a)可簡化為

或

要特別說明的是:對(1)式而言，D(S)=(Ai*Aj)*為一個一般情況，此時D(S)=DS=［(Ai為一個簡化情況.事實上，(7)或 (8)式分別是互逆可消條件的一個消去條件，則可得簡化的互逆可消條件

定理(ⅳ″)

由于定理(ⅳ″)是在消去條件存在從而可分解(3)式下成立的解，故因果代數(shù)此時轉(zhuǎn)變，可稱為因果分解代數(shù).

現(xiàn)證由(ⅰ)，(ⅳ′)和(ⅳ″)定理條件可導出結合定理(或僅從群論講叫結合律).

用Am左乘(10)式，同時把(2a)式代入，并利用(3)式，得一個重要的公式

用(2a)和(2b)式代入(11)式，得結合律定理(ⅳ)

即可由定理(ⅰ)，(ⅳ′)和(ⅳ″)導出結合律，其命題得證.也就是說對因果分解代數(shù)而言，自然包含結合律，而由因果代數(shù)不能導出結合律.

下面可證明在因果分解代數(shù)中 A-1i為Ai的更直接意義下的逆元，并且可證 Ai*A-1i為S中的單位元.由于現(xiàn)在是在因果分解代數(shù)中討論，故可利用導出的結合律，則(9)式可寫為

可見(13)式比(3)式有更直接意義的逆元表示.

一方面利用(13)式的第二個等式可得

另一方面利用(13)式的第一個等式又可得

因此得

可見在因果分解代數(shù)中Ii=I-1i.

利用(13)和(16)式，可得

另一方面利用(13)式，可得

定理(ⅱ)

則(13)式變?yōu)?/p>

由導出的(19)和(20)式可知，A-1i為Ai的逆元(ⅱ)，Ⅰ為單位元(ⅲ).由定理(ⅰ)，(ⅳ)，(19)和(20)式得此時 S為群.可見因果分解代數(shù)與群等價，故綜合以上討論可發(fā)現(xiàn)事實上對稱性來源于定量因果原理.特別是以上的研究使我們更深刻地理解了單位元的內(nèi)部結構和作用.另一方面，顯然由群推不出因果代數(shù)，但模仿本文的討論又可推出這新的因果分解代數(shù)，因而本文發(fā)現(xiàn)了群具有新的因果分解代數(shù)的性質(zhì)，那么關于群在粒子物理學中的所有應用［16］，因果分解代數(shù)可有對應的應用.因此，我們發(fā)現(xiàn)了比群的對稱性更小的對稱性和相關的數(shù)學結構，這是過去沒有得到過的所推導出有意義的新結果之一.

4.因果代數(shù)和因果分解代數(shù)與粒子物理學關系的研究

從以上的討論可見，因果代數(shù)的典型特征是滿足定理(或僅從群論講叫公理)(2)(封閉性)和定理(或僅從群論講叫公理)(3)(互逆可消條件)，公式(4)—(6)只是定理(2)和(3)的推論，而且特別要強調(diào)的是在因果代數(shù)中不包含結合律，故在因果代數(shù)中不能作結合律的運算，但是在因果分解代數(shù)中可作結合律的運算.因果代數(shù)中的封閉性可表特征系統(tǒng)元素的作用具有可傳遞性，而互逆可消條件在此時表征這傳遞一旦產(chǎn)生，可由相應的逆作用來抵消.

如考慮Aj為繞某一軸的轉(zhuǎn)角，而A-1j則為對應的反轉(zhuǎn)角，Ai和Ak也為繞同一軸的不同轉(zhuǎn)角，其運算符*此時表征對應轉(zhuǎn)角的相加，則其封閉性和互逆可消條件成立.

通過對粒子物理學中對稱性的認識，可進一步理解物理規(guī)律的起源，而且對稱性總是和某種變換聯(lián)系在一起的，并且任何一個封閉物理系統(tǒng)或足夠大的物理系統(tǒng)的變化都必須是滿足定量因果原理的.物理系統(tǒng)在某個連續(xù)對稱群的變換下保持不變，由Noether定理可以導出系統(tǒng)具有對應的守恒量.而以上所有這些對稱性都是滿足定量因果原理的，而且本文由定量因果原理導出了群，特別是定量因果原理可以是邏輯上的定量因果原理，更一般的是絕大多數(shù)物理規(guī)律總可以由一些方程來表示，方程中一些量變化(因)，必須引起另一些量的變化(果)，以使方程右邊保持為零的，即不失不得，因此正是定量因果原理的一種數(shù)學表示形式，所以定量因果原理是一般的原理.

在高能物理中，雖然弱作用中的宇稱和弱作用中的同位旋不守恒，但它們也是滿足某個群的對稱性的選擇定則的［1，16］，并且相關量的組合(如電荷共軛宇稱反演和時間反演(CPT))操作于系統(tǒng)還是滿足因果分解代數(shù)的，即滿足某個群的對稱性.而且對高能物理反應中粒子的因果分解代數(shù)物理量變化的選擇定則所對應的反應，它們是滿足群的對稱性選擇定則的反應，而本文的因果分解代數(shù)具有群的性質(zhì)，上一節(jié)已證明對稱性來源于定量因果原理.所以，所有關于群對因果分解代數(shù)物理量變化的選擇定則的反應的應用，同樣可以用因果分解代數(shù)來進行，即直接可以用群論來研究，這里不再贅述，可參見文獻［1］.

利用這電荷共軛宇稱反演(CP)部分地破壞程度(定量的原因)可以嚴格地計算宇宙是如何定量地演化成現(xiàn)在這樣以正物質(zhì)為主宇宙的(定量的結果)［17，18］，即同樣是滿足定量因果原理.對于弱相互作用中宇稱不守恒的反應，依據(jù)量子力學，必定存在相應的 Hamilton小量 H′使得躍遷矩陣元不為零，其中和為歸一化的初、末態(tài)，則由量子力學，對任意的算符H′必有，即此式滿足(1)式，其中這是因為初態(tài)不為零，則可得同樣滿足定量因果原理的表示(1)，只是這時的是一般的復合表示.對于其他的不守恒的相互作用也可作類似的討論，不再重復.分立操作對應的守恒量是相乘性守恒量.

5.因果代數(shù)和因果分解代數(shù)的應用

下面研究因果代數(shù)和因果分解代數(shù)在高能物理的粒子反應及粒子碰撞等方面的應用.

由封閉性可導出高能物理中相互作用粒子的一般反應恒等式.由于這些反應都必須滿足定量因果原理，所以必定有如下滿足定量因果原理的封閉性表示的反應恒等式

(21)式表示在任意兩個高能粒子的相互作用所產(chǎn)生的一個粒子的反應中，反應前一個粒子的物理量與另一個粒子的相對應的物理量的“*”作用所得到的量，等于反應后所形成粒子相對應的物理量，即反應前后得到的所對應的總量不變.

由因果代數(shù)可導出超對稱粒子反應中的物理量必須滿足的恒等式.因為超對稱粒子間的反應必須滿足定量因果原理，所以必定有如下滿足定量因果原理的物理量的統(tǒng)一的一般恒等式

其中Zq，Zqs和Z珓g分別為夸克、超夸克和膠微子的對應一般物理量，如 Z可以分別是電荷、色荷、角動量、宇稱、能量和動量等一般量子數(shù)，也就是Zq，Zqs和Z珓g可分別記為Ai，Aj和Am，從而滿足從定量因果原理導出的(2a)式.當所有因果物理量的守恒量方程(22)都滿足時，就可以有如下的超對稱粒子的反應能發(fā)生［19，20］其中q，qs和分別為夸克、超夸克和膠微子.

對于反應式(23)，利用方程(22)和超對稱的R數(shù)，即R=3B+L+2S，其中B，L和S分別為粒子的重子數(shù)、輕子數(shù)和自旋，我們可得到超對稱粒子的PR對稱，即得到反應式(23)中相乘性的超對稱的PR=(-1)R對稱性，也就是方程(22)的左右兩邊粒子的超對稱PR的對稱性不變，這是可驗證的.

例如，考慮反應(23)的PR對稱，q，qs和的重子數(shù)B、輕子數(shù)L和自旋S分別為q(1/3，0，1/2)，qs(-1/3，0，0)和(0，0，1/2)，則我們得到PR(q)PR(qs)=PR()=-1.即此方程中左右兩邊粒子的相乘性的超對稱 PR的對稱性不變.故超對稱粒子間的反應(23)中具有的物理量必須滿足定量因果原理，亦滿足定量因果原理所導出的因果代數(shù)的表示(21).所以，最后得到了給出所有各種相加性、相乘性物理量和超對稱粒子反應式(23)的具體表示都分別必須滿足的統(tǒng)一恒等式(22).對其他含有超對稱粒子的反應，也可進行相似的討論，因為含超對稱粒子的反應式(21)是一般的，故不再重復.

進一步當存在l和m，使

成立時，則可存在反應

此時Zk為相互作用粒子的物理量所對應反應的中間態(tài)，在一些情況下這中間態(tài)可稱為共振態(tài)，而且(25)式也可直接簡記為

(26)式表示在任意兩個高能粒子的相互作用所產(chǎn)生的兩個粒子的反應中，反應前一個粒子的物理量與另一個粒子的相對應物理量的“*”作用所得到的量，等于反應后所形成一個粒子的相對應的物理量與另一個粒子的相對應物理量的“*”作用所得到的量，即反應前后“*”作用所得到的物理量不變.

例如，對于(26)式，它可對應于質(zhì)子和π-介子相互碰撞的反應，由于它們必須滿足定量因果原理，所以同樣有如下滿足定量因果原理的恒等式

其中Zp，Zπ-，Zn和 Zπ0為質(zhì)子，π-介子、中子和 π0介子的具有一般特性的物理量，也就是 Zp，Zπ-，Zn和Zπ0可分別記為Ai，Aj，Al和Am，從而滿足(26)式，如Z可以分別是電荷、重子數(shù)、宇稱、G宇稱、角動量、能量和動量等.故(26)式給出了它們所有物理量必須滿足的統(tǒng)一恒等式，而且對所有的這些物理量，只有當它們相關物理量的恒等式都滿足時，才可以有所對應的粒子反應

發(fā)生，(28)式中相互作用粒子的物理量所對應的反應是可逆的，這也是由于高能物理中兩體系統(tǒng)的微觀粒子的相互作用是可逆過程.故其中封閉性條件的(24)中初、末態(tài)可分別由質(zhì)子和π-介子與中子和π0介子構成，而且利用封閉性的表示(24)，可以發(fā)現(xiàn)這類反應中，它們有對應于Zk的中間態(tài).(28)式表示質(zhì)子和中子相互碰撞可生成右邊的產(chǎn)物，由右邊也可生成左邊的產(chǎn)物，即表征了反應前后對應的各種物理量的轉(zhuǎn)換是得失相等守恒的.所以我們最后得到了給出所有各種相加性、相乘性物理量和反應式(28)的具體表示都分別必須滿足的統(tǒng)一恒等式.故這是一種最直接的與粒子物理學相關的因果代數(shù)表示.特別是在高能粒子反應中，存在大量的類似于(26)的反應，不存在左右對稱的單位元，卻又有特殊相關的逆元(如π-介子)，這樣使(28)或(26)—(28)式既不是群(因為在因果代數(shù)中沒有定義結合律，也導不出結合律)，又不是環(huán)，即使到目前為止，世界上還沒有一個代數(shù)可恰好直接并嚴格地描述它們，而本文提出的因果代數(shù)正好是嚴格、自然和直接地描述它們真實存在的粒子物理反應的重要工具.而且因果代數(shù)在粒子物理學中還有大量的應用，例如在高能粒子族射中，存在大量的這類反應［16］.進一步可利用(24)式中的 Zk作為(26)式中的Zm，則可得多粒子的反應表示式Zi*Zj=Zl*(Zi′*Zm′)，如此多次操作可得更多粒子的一般反應表示式，如Zi*Zj=Zl*(Zi′*(Zi″*Zm″)).

而且互逆可消條件同樣也可導出高能物理中物理量必須滿足的恒等式.如兩粒子的相互碰撞的反應中，由于它們必須滿足定量因果原理，所以同樣有如下滿足定量因果原理的恒等式

當所考慮的代數(shù)為因果分解代數(shù)時，則可得

又因為因果分解代數(shù)有結合律，則又可有

例如在質(zhì)子和中子相互碰撞的反應中，由于它們必須滿足定量因果原理，所以同樣有如下滿足定量因果原理的恒等式

當碰撞的能量更高時，有如下反應:

其中Zp，Ze-(Zπ-)，Ze+(Zπ+)和Zn分別為質(zhì)子、電子(π-介子)、反電子(π+介子)和中子的具有一般特性的物理量，也就是 Zp，Ze-(Zπ-)，Ze+(Zπ+)和Zn可分別記為 Ai，A-1j，Aj和Am，從而滿足(3a)式，如Z可以分別是電荷、輕子數(shù)、重子數(shù)、角動量、宇稱、能量和動量等.故(31)和(32)式給出了它們所有物理量必須滿足的統(tǒng)一恒等式，而且對所有的這些物理量，只有當它們相關物理量的恒等式都滿足時，才可以有所對應的粒子反應

發(fā)生，故其中互逆可消條件的 Ai，A-1j，Aj和Ak可分別記為質(zhì)子、電子(π-介子)、反電子(π+介子)和中子，(33)式表示質(zhì)子和中子相互碰撞可生成右邊的產(chǎn)物，由右邊也可生成左邊的產(chǎn)物，即表征了反應前后對應的物理量的轉(zhuǎn)換是得失相等守恒的.所以我們最后得到了給出所有各種相加性、相乘性物理量和反應式(33)的具體表示都分別必須滿足的統(tǒng)一恒等式.這是所推導出有物理意義的結果之一.

特別是點粒子的相互作用可以用超弦理論中具有更高維的粒子——弦來更一般地描述，故(ⅰ)，(7)和(8)式可以用來作為更一般地判斷超弦理論中不同弦間的反應能否發(fā)生的判據(jù).因為在超弦理論中，粒子的存在形式是其弦的不同的振動的模式［21］，當選Ai為超弦的不同的振動的模式時，(i)，(7)，(8)，(25)和(26)式可以用來描述不同弦間的反應，即用來作為判斷不同弦間連接和斷裂反應過程中所對應物理量的量子數(shù)是否守恒，從而可以用來作為判斷它們的反應能否發(fā)生的判據(jù).

有關因果代數(shù)的更多的應用，以及考慮互逆可消條件(3)式不具有互逆元素次序的出現(xiàn)先后無關的對稱，這時可定義具有左右不同單位元的新代數(shù)系統(tǒng)，并且這新的代數(shù)可用于代數(shù)拓撲和超弦場論的拓撲等的研究和應用，因為這次序和超弦的等價類的區(qū)分相關［22］，限于篇幅，將另文討論.

6.討 論

現(xiàn)進一步討論因果代數(shù)的特性，我們先給出群公理的簡化.

可見事實上單位元定理(ⅲ)的導出是滿足封閉性的結果.故由單位元(34)式可知單位元定理(ⅲ)可不作為公理專門提出.所以，現(xiàn)在可以把通常群的公理中單位元除去，因為存在逆元又滿足封閉性，必導出存在單位元.可見到目前為止所有的書和論文關于群定義中都有重復的部分.可能有一種觀點會認為沒有單位元就沒法定義逆元，而這樣增加定義了單位元，在考慮逆元和封閉性時單位元又可導出，這種重復違反了數(shù)學公理最簡原則.事實上，利用互逆可消條件可以定義一般的逆元，進一步利用存在消去律，也可導出單位元.因此可直接采用定理(ⅰ)，(ⅳ)和(34)式來定義群.所以，現(xiàn)在群的公理減少了一個，消除了重復定義，而且封閉性(34)式可看作互為逆元定理(ⅱ)所需滿足條件的定義，以上討論揭示了群公理間的內(nèi)在結構關系.

另一方面，當將定理(ⅳ′)用于Pauli矩陣時，經(jīng)過計算可得

即Pauli矩陣滿足定理(ⅳ′)，這是可直接應用的對稱關系.利用逆矩陣的定義計算 Pauli矩陣的逆矩陣，可得，則利用(35)式可得

當進一步考慮電子的自旋時，對任意分量的電子自旋角動量，有關系式，將此式代入(35)式，我們得到任意分量電子自旋角動量間的對稱關系如下:

由于這互逆可消條件(3)式具有互逆元素次序的出現(xiàn)先后無關的對稱，所以可以導出(35)和(37)式，利用(35)—(38)式，不但可以得到新的對稱性，而且可以化簡多電子相互作用的計算.

因為由群推不出因果代數(shù)，但可推出因果分解代數(shù)，又由于本文發(fā)現(xiàn)了群具有因果分解代數(shù)的性質(zhì)，那么關于群在粒子物理學中的所有應用［1］，因果分解代數(shù)就有對應的應用.

由于加法或乘法分別滿足定理(ⅰ)—(ⅳ)條件的集合分別稱為加法或乘法群，并且系統(tǒng)在任意嚴格運算操作過程中必須滿足定量因果原理，則由定理(ⅱ)，(34)式和定理(ⅲ)的討論可見，定理(ⅱ)和(ⅲ)是定量因果原理導出的表達式定理(ⅰ)中元素取特殊值的情況，即不會有憑空的增加或減少的情況，而由定理(ⅰ)，(ⅱ)這兩個條件和滿足定量因果原理的互逆可消條件定理(ⅳ′)與(ⅳ″)可導出結合律，故定量因果原理把這4個條件有機地統(tǒng)一聯(lián)系起來了.

本質(zhì)上講，一種代數(shù)正是滿足某些邏輯和定量運算規(guī)則的一些元素的一種集合［6，9］，即一種代數(shù)正是一些元素的一種集合，這些元素滿足某些邏輯運算規(guī)則，并且元素的運算滿足定量規(guī)則，其定量規(guī)則正是滿足定量因果關系的規(guī)則，因為對一個系統(tǒng)而言元素的量運算轉(zhuǎn)換不會憑空的增加或減少，在一處減少多少必定在一處增加多少，也就是滿足確定的定量因果關系.如在數(shù)學上，(1)式中的D，C，S可以是一個集合中的不同元素，例如可定義為群的元素，群元素的運算滿足群的4個定量的邏輯運算規(guī)則，而群元素在物理上可有廣泛的對應.例如對任意一個物理系統(tǒng)而言，D，C，S可代表該系統(tǒng)的滿足群對稱操作不變性的所有物理量，如:D，C，S可以是轉(zhuǎn)動不變系統(tǒng)的不同的轉(zhuǎn)動角，空間平移不變系統(tǒng)的不同的平移量.以弦理論為例，D，C，S可以是開弦兩端的不同的電荷［21］，以及弦理論中滿足不同不變性的群元素［22］.因為群元素正是本文討論的元素，只是這些元素間滿足不同的運算規(guī)則就得到不同的代數(shù).如前面已經(jīng)強調(diào)群就是一些元素滿足一些群運算規(guī)則的一種代數(shù)，而半群就是沒有關于逆元素的運算規(guī)則的一種代數(shù).之所以要研究超出群的一般代數(shù)是因為有大量的物理系統(tǒng)沒有群的對稱性，而有比群更小的對稱性.故研究這些更小的對稱性就具有重要的物理意義和實用價值.由于本文所研究的代數(shù)滿足形成不同代數(shù)的這些條件，依據(jù)現(xiàn)代代數(shù)理論［9］，我們的研究不但與現(xiàn)代代數(shù)理論自洽，而且可在不同粒子物理系統(tǒng)找到實際的應用［16］.對于具有李群連續(xù)對稱性的許多物理系統(tǒng)，如文獻［23—28］，本文的研究也可給出相關的討論.故本文的研究不但有理論意義而且有現(xiàn)實的實用價值.

7.結 論

本文不但給出了因果代數(shù)，而且還給出了在物理學中的應用.本文依據(jù)定量因果原理，給出了一個新的代數(shù)系統(tǒng)，并且其公理滿足定量因果原理，故稱其代數(shù)為因果代數(shù)，而其余的命題和結論都是其公理的推論.在因果代數(shù)中，當進一步在消去律存在下(3)式有解時，因果代數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬纸獯鷶?shù)，即，對于因果代數(shù)，當滿足定量因果原理的互逆可消條件有滿足消去律的解時，得到因果分解代數(shù).由因果分解代數(shù)導出了結合律和單位元，故因果分解代數(shù)又具有群的結構特征，從而進一步給出了這新代數(shù)系統(tǒng)在高能物理學中的應用.發(fā)現(xiàn)其對稱性來源于定量因果原理，一般地給出了在高能粒子反應中，存在大量的類似于(21)或(25)式的反應，得出了因果代數(shù)是描述大量真實存在的粒子物理反應的基本工具的結論.得到了給出所有各種相加性、相乘性物理量和不同反應式的具體表示都必須分別滿足的統(tǒng)一恒等式，并給出了因果代數(shù)和因果分解代數(shù)對高能物理的具體應用.特別是當選因果代數(shù)的元素Ai為超弦的不同的振動的模式時，定理(ⅰ)，(7)，(8)，(25)和(26)式可以用來作為描述不同的超弦間的反應能否發(fā)生的判據(jù)，而且超弦理論是統(tǒng)一所有基本相互作用的最有希望的理論，故從以上的討論可見本文的理論是有一般物理意義的.利用封閉性的表示(25)，可以發(fā)現(xiàn)這類反應中，它們有對應于Zk的共同的中間態(tài).還得到了所有各種相加性和相乘性物理量的具體表示都分別必須滿足的統(tǒng)一恒等式.利用因果代數(shù)的定理(ⅰ)和(ⅳ′)，給出了所有物理量必須滿足的恒等式，得到了一個過去不曾得到的關于電子自旋角動量的任意分量間的一個新的對稱關系式，利用這新的對稱關系式，可以化簡多電子相互作用的計算.

利用因果代數(shù)的守恒方程(22)和超對稱的R數(shù)(R=3B+L+2S)，我們得到反應式(23)中相乘性的超對稱的PR=(-1)R對稱性，即方程(22)的左右兩邊粒子的超對稱 PR的對稱性不變，并且可推廣到一般的反應.

本文利用定量因果原理，克服了沒有單位元就沒法定義逆元的困難，利用互逆可消條件定義了一般的逆元.并且得出可直接采用定理(ⅰ)，(ⅳ)和(34)來定義群.所以，現(xiàn)在群的公理減少了一個，消除了重復定義，而且封閉性(34)式也可看作互為逆元定理(ⅱ)所需滿足條件的定義，以上討論揭示了群公理間的內(nèi)在結構關系.

本文依據(jù)定量因果原理不但給出了因果代數(shù)，而且給出了因果分解代數(shù)，并給出了因果分解代數(shù)是與原群公理等價的具有更明晰對稱性的新公理系統(tǒng)，有利于對環(huán)、群等相關理論的研究和應用.而且因果代數(shù)和因果分解代數(shù)有不同的數(shù)學結構，具有這些代數(shù)結構的物理系統(tǒng)非常多.采用定理(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅳ′)和(ⅳ″)的因果分解代數(shù)與群公理系統(tǒng)等價，可使人們更好地理解因果分解代數(shù)和群中的本文所揭示的內(nèi)稟結構特性，并有利于因果代數(shù)和因果分解代數(shù)在相關領域的應用等.

感謝李子平和揚安洲教授對本文工作所提出的有益的意見.

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PACS:02.10.De，02.20.-a，13.30.-a

Causal algebra and its applications to physics*

Huang Yong-ChangHe Bin1)2)Huang Chang-Yu3)Yang Shi-Lin2)Song Jia-Min1)
1)(Institute of Theoretical Physics，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)
2)(Institute of Applied Mathematics，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)
3)(College of Physics，Peking University，Beijing 100871，China)

2 February 2009;revised manuscript

18 May 2010)

A causal algebra and its application to high energy physics is proposed.Firstly on the basis of quantitative causal principle，we propose both a causal algebra and a causal decomposition algebra.Using the causal decomposition algebra，the associative law and the identity are deduced，and it is inferred that the causal decomposition algebra naturally contains the structures of group.Furthermore，the applications of the new algebraic systems are given in high energy physics.We find that the reactions of particles of high energy belonging neither to the group nor to the ring，and the causal algebra and the causal decomposition algebra are rigorous tools exactly describing real reactions of particle physics.A general unified expression(with multiplicative or additive property)of different quantities of interactions between different particles is obtained.Using the representation of the causal algebra and supersymmetric R number，the supersymmetric PR=(-1)Rinvariance of multiplying property in the reactions of containing supersymmetric particles is obtained.Furthermore，a symmetric relation between any components of electronic spin is obtained，with the help of which one can simplify the calculation of interactions of many electrons.The reciprocal eliminable condition to define general inverse elements is used，which may renew the definition of the group and make the number of axioms of group reduced to three by eliminating a superabundant definition.

symmetry，group theory，causal principle，particle physics

*國家自然科學基金(批準號:10875009，11072007)和北京市自然科學基金(批準號:1072005，1082002)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.10875009，11072007)and the Natural Science Foundation of Beijing，China(Grant Nos.1072005，1082002).