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    MATLAB優(yōu)化工具箱在蝸桿傳動優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

    2011-09-27 13:53:52苗君明
    關(guān)鍵詞:蝸桿傳動齒數(shù)齒圈

    苗君明

    (遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110161)

    蝸桿傳動是在空間交錯的兩軸間傳遞運(yùn)動和動力的一種傳動機(jī)構(gòu)。由于蝸輪蝸桿傳動具有傳動比大、傳動平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點,所以在工程中的應(yīng)用十分廣泛。在蝸桿傳動中,通常采用淬硬磨削的鋼制蝸桿,而采用貴重金屬的青銅等材料制造蝸輪齒輪,以使傳動副具有良好的減摩性、耐磨性和抗膠合能力。為了節(jié)約貴重金屬,降低成本,直徑較大的蝸輪常采用組合結(jié)構(gòu)。本文以MATLAB軟件為平臺,利用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,得到滿足使用要求體積最小的蝸輪,從而節(jié)約貴重有色金屬,節(jié)約了成本。

    1 數(shù)學(xué)模型的建立

    1.1 目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量

    如圖1所示,蝸輪齒圈的結(jié)構(gòu)尺寸包括:齒頂圓直徑 da、齒根圓直徑 df、齒圈的外徑 de、內(nèi)徑d0、齒寬b。蝸輪齒圈的體積為:

    蝸輪齒數(shù)z2=uz1

    式中,u是齒數(shù)比;z1是蝸桿齒數(shù)。

    蝸輪齒寬b=ψda1=ψm(q+2)

    式中q是直徑系數(shù)

    ψ是齒寬系數(shù),當(dāng)z1=1~2時,ψ=0.75;當(dāng)z1=3~4時,ψ=0.67。

    將上述關(guān)系代入蝸輪齒圈的體積計算式中,經(jīng)過整理得到目標(biāo)函數(shù)

    從上式可見,蝸輪齒圈的體積與蝸桿齒數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q和齒數(shù)比u的函數(shù)。由于齒數(shù)比u一般是已知量,因此,取蝸桿齒數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q作為設(shè)計變量,即

    因此,目標(biāo)函數(shù)可以寫成

    圖1 蝸輪尺寸參數(shù)

    1.2 約束條件

    (1)蝸桿齒數(shù)的限制

    對于動力傳動,要求z1=2~4。因此有

    (2)蝸輪齒數(shù)的限制

    一般要求z2=uz1=30~80。因此有

    (3)模數(shù)的限制

    對于中小功率的蝸桿動力傳動,要求2≤m≤18。因此有

    (4)蝸桿直徑系數(shù)的限制

    對應(yīng)上述模數(shù)的范圍,要求8≤q≤16。因此有

    (5)蝸輪齒面接觸強(qiáng)度的限制根據(jù)蝸輪齒面接觸強(qiáng)度條件

    式中K是載荷系數(shù);

    T2是蝸輪傳遞的轉(zhuǎn)矩;

    [σH]是蝸輪齒圈材料的許用接觸應(yīng)力。

    (6)蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度的限制

    由于蝸輪輪齒的齒根是圓弧形,抗彎能力較高,很少發(fā)生蝸輪輪齒折斷。所以,對于閉式蝸桿傳動,通常不再進(jìn)行蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度計算。

    (7)蝸桿剛度的限制

    要求蝸桿工作時最大撓度不大于m/50,即

    式中,蝸桿支承跨度L=0.9d2=0.9muz1

    彈性模量E=2.1×105MPa

    將上述關(guān)系代入上式整理得到

    上述優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的約束條件共有8個邊界約束和2個性能約束。

    2 工程應(yīng)用實例

    已知某普通圓柱蝸桿傳動的輸出軸扭矩T2=9484 N·m,工作平穩(wěn)(載荷系數(shù)K=1.21),齒數(shù)比u=20,蝸輪齒圈材料為ZQSn10-1,許用接觸應(yīng)力[σ[H]]=268 MPa,傳動效率 η =0.80。試按照蝸輪齒圈體積最小的要求進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

    2.1 傳統(tǒng)設(shè)計方法

    由選擇蝸桿傳動類型、按齒面接觸疲勞強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計、蝸桿與蝸輪的主要參數(shù)與幾何尺寸、校核齒根彎曲疲勞強(qiáng)度等步驟確定蝸輪蝸桿傳遞的模數(shù)m、齒數(shù)z和直徑系數(shù)q分別為8、2、10。蝸輪體積為1.6×105mm3。

    2.2 利用MATLAB工具箱優(yōu)化設(shè)計

    (1)建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

    將已知數(shù)據(jù)代入目標(biāo)公式,整理得到

    經(jīng)過分析,約束條件 g1(X)≥0相對于g3(X)≥0來說是消極約束,約束條件g4(X)≥0相對于g2(X)≥0來說也是消極約束。因此,可以將g1(X)≥0和g4(X)≥0這兩個消極約束條件去掉??梢?,這是一個三維有8個不等式約束的非線性優(yōu)化設(shè)計問題。

    (2)優(yōu)化方法與結(jié)果分析

    采用MATlAB編寫優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)程序和約束函數(shù)程序,調(diào)用MATLAB的optimtool優(yōu)化工具箱,初始值x=[123],輸入目標(biāo)函數(shù)與限制函數(shù)名稱。運(yùn)行結(jié)果,X=[2.97228.564],f=5.5795×104mm3。對于優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整,取離散最優(yōu)化解:蝸桿齒數(shù)z1=3,模數(shù)m=2,直徑系數(shù)q=9,則蝸輪齒圈體積V*=5.8118×104mm3。經(jīng)檢驗,滿足g(1)-g(10)的約束條件,符合設(shè)計要求,故優(yōu)化結(jié)果可用。

    3 結(jié)論

    與傳統(tǒng)設(shè)計方法比較,利用MATLAB優(yōu)化工具箱對蝸輪蝸桿傳動進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,大大地減小整個傳動機(jī)構(gòu)的體積,提高了經(jīng)濟(jì)效益和工作效率。

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