樞軸量為單峰分布的最短區(qū)間估計

劉瑞香

數(shù)理統(tǒng)計是具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學分支，而區(qū)間估計問題在其中占有很重要的地位。在固定的置信度下，一般認為置信區(qū)間的長度越短越好。而用傳統(tǒng)方法得到的置信區(qū)間一般不是最短的。因此最短區(qū)間估計就成為文獻中研究較多的問題之一。文[1]研究了正態(tài)總體方差的最短區(qū)間估計，文[2]研究了伽瑪分布參數(shù)的最短置信區(qū)間。在區(qū)間估計問題中，常常構(gòu)造的樞軸量是單峰分布，如正態(tài)分布，t分布，χ2分布，F(xiàn)分布等。文[3]研究了當未知參數(shù)的分布為單峰分布時的最短區(qū)間估計問題。本文在文[3]基礎(chǔ)上用構(gòu)造樞軸量的方法來討論樞軸量為單峰分布的最短區(qū)間估計，證明了當未知參數(shù)分別在樞軸量的分子和分母上時最短置信區(qū)間是存在且唯一的；進一步給出了求參數(shù)最短區(qū)間估計需滿足的條件。

定義1[3]設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 f(x),在(-∞,+∞)(或(0,+∞))內(nèi)有唯一極大值點 x0，則稱X的分布為單峰分布，點x0稱為其峰點。

從定義可以看出，若X為單峰分布的隨機變量，其概率密度為 f(x)，x∈(-∞,+∞)(或(0,+∞))，x0為其峰點，則當 x＜x0時，f′(x)＞0; 當x＞x0時，

引理[4]若連續(xù)型隨機變量X為單峰分布，x0為其峰點，其概率密度為 f(x)，x∈(-∞,+∞)(或(0,+∞))，且當x→±∞(或x→0+,+∞)時，f(x)→0，則對任意 b＞x0，必存在唯一的a＜x0,使 f(a)=f(b).

下面只討論 f(x)定義在(0,+∞)內(nèi)情況，在(-∞,+∞)內(nèi)情況同樣可以討論。

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，總體X的分布函數(shù)為 F(x,θ)，其中

θ＞0,θ∈Θ為未知參數(shù)。

對θ進行區(qū)間估計，構(gòu)造樞軸量T=T(X1,X2,…,Xn;θ)是樣本 X1,X2,…,Xn和θ的函數(shù)，其分布密度為 g(x)，(g(x)與 θ無關(guān))，分布函數(shù)。適當選擇兩個常數(shù)T1,T2，使對給定置信水平α(0＜α＜1)，有

假如能將T1≤T≤T2進行不等式等價變形化為a≤θ≤b，則

這時(a,b)就是未知參數(shù)θ的置信度為1-α的置信區(qū)間。

注意到滿足（1）的T1,T2可以有很多，選擇T1,T2的目的是希望（2）中的平均長度Eθ(b-a)盡可能短。

定義2使Eθ(b-a)達到最短時的參數(shù)θ的置信區(qū)間(a,b)稱為θ的最短置信區(qū)間。

從定義可以看出，所謂最短置信區(qū)間就是尋找T1,T2，使Eθ(b-a)在滿足（1）式條件下達到最小，屬于條件極值問題。

定理1 若樞軸量T=T(X1,X2,…,Xn;θ)=Y(X1,X2,…,Xn)θ是單峰分布,x0為其峰點，且當x→0+,+∞時，g(x)→0，則參數(shù)θ的最短置信區(qū)間是存在且唯一的，且這時T1,T2滿足：

證明 因P(T1≤T≤T2)=1-α，所以

P(T1≤Yθ≤T2)=1-α，即

要使Eθ(b-a)最短，只要T2-T1最小。

又T=T(X1,X2,…,Xn;θ)的分布密度為 g(x)，分布函數(shù)為G(x)，所以

因此，最短置信區(qū)間問題就轉(zhuǎn)化為條件極值：求T1,T2，使

成立。

利用Lagrange乘子法，令

因為 T=T(X1,X2,…,Xn;θ)=Y(X1,X2,…,Xn)θ是單峰分布,x0為其峰點，且當x→0+,+∞時，g(x)→0，為保證T2＞T1且（3）式成立，必須

由引理，對任意滿足（4）的T2，可以由（3）唯一地解出T1=u(T2),且T1是T2的單調(diào)減函數(shù)：

又注意到G(T2)-G(T1)=G(T2)-G(u(T2))是T2的單調(diào)增函數(shù)，且

故由中值定理，存在唯一的T2=T?2,使G(T?2)-G(u(T?2))=1-α成立。

取T?1=u(T?2),則T?1,T?2是滿足條件的T1,T2的唯一解。

定理2若樞軸量T=T(X1,X2,…,Xn;θ)=是單峰分布,函數(shù)x2g(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一極大值點x0，且當x→0+,+∞時，x2g(x)→0，則參數(shù)θ的最短置信區(qū)間是存在且唯一的，且這時T1,T2滿足：

類似定理1的證明。

對于常見分布，如正態(tài)分布，指數(shù)分布，伽瑪分布等的參數(shù)的最短區(qū)間估計問題都可以由定理1,2找到相應(yīng)的T1?,T2?及需滿足的條件。

對于傳統(tǒng)的置信區(qū)間，T1,T2的選取，只要滿足

即按照概率對稱的方式選取。由以上討論可以看出，滿足（5）的T1,T2一般不是達到最短置信區(qū)間的T?1,T?2；但是當樞軸量T的分布是正態(tài)分布，t分布等單峰對稱分布，且未知參數(shù)θ位于樞軸量T的分子上時，二者是一致的。因為這時

是等價的。

實例 對正態(tài)總體N(μ,σ2)方差σ2進行區(qū)間估計。

所以x2g(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一極大值點x0=n+1，且當x→0+,+∞時，x2g(x)→0。

因此，由定理2，參數(shù)θ的最短置信區(qū)間是存在且唯一的，且這時T1,T2滿足：

這正是文[1]給出的結(jié)論。

鑒于解方程組(6)的復雜性，文[1]還制作了表格，找到T1,T2的近似值，方便查閱。并通過實例將最短區(qū)間與傳統(tǒng)區(qū)間進行了比較，結(jié)果是對中小樣本，二者差異顯著；對大樣本差異非常小。這是因為當樣本容量n增大時，χ2(n)的分布密度關(guān)于其峰值的對稱性在提高。所以，對于中小樣本，研究未知參數(shù)的最短區(qū)間估計是很有必要的。

[1]王建華,張來成.正態(tài)總體方差的最短區(qū)間估計與最佳雙邊檢驗[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,33(2).

[2]袁長迎,徐明民.伽瑪分布參數(shù)的最短置信區(qū)間[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2006,25(4).

[3]錢瑛.單峰分布的置信區(qū)間[J].北京聯(lián)合大學學報,1996,10(4).

[4]孫慧玲.取定統(tǒng)計量下的最優(yōu)置信區(qū)間的估計[J].統(tǒng)計與決策,2009,(7).