正多邊形對稱群的性質(zhì)

顧艷紅，李 扉

（北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083）

正多邊形對稱群的性質(zhì)

顧艷紅，李 扉

（北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083）

利用M．Chasles定理研究了正多邊形對稱群元素的類型，并對這種群中任意兩個變換的乘積進(jìn)行了討論，由此解決了正多邊形對稱群的結(jié)構(gòu)問題，即正n邊形對稱群由其中任意一個反射變換和任意一個階為n的旋轉(zhuǎn)變換生成．

正多邊形；群；對稱群

群是研究對稱性的有力工具，在文獻(xiàn)中也常有“對稱即群”的說法．常見的平面圖形，如圓、正方形、等邊三角形等，雖然都具有一定的對稱性，但它們對稱性的強(qiáng)弱顯然不一樣．在代數(shù)中，可以用平面圖形的對稱群來刻畫平面圖形的對稱性．正多邊形對稱群又稱二面體群，它是一種特殊的有限群，也是一種較具體的群，有關(guān)這種群的研究主要涉及它的一些性質(zhì)以及應(yīng)用［1－3］，在此主要研究正多邊形對稱群的一些性質(zhì)．

引理1［4］（M．Chasles定理）平面的運動有且只有下列3種：

1）沿任一給定向量的平移；

2）以任意點為中心的旋轉(zhuǎn)；

3）繞某一直線作翻折再沿該直線上的一個向量作一個平移（包括作純翻的情況），即關(guān)于該直線的反射．

2）對反射變換g，由于連續(xù)經(jīng)過兩次相同的反射變換，正n邊形的各點都回到自身，所以

性質(zhì)3 設(shè)G為正n邊形的對稱群，則G中非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換的乘積一定為反射變換．

證明 設(shè)f，g分別為G的任意非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，由性質(zhì)2知f，g的逆元分別為旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，所以fg≠e．設(shè)γ表示繞正n邊形中心O逆時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，由性質(zhì)1，存在某個正整數(shù)i，使f＝γi，若fg為旋轉(zhuǎn)變換，不妨設(shè)為γk，即有γig＝γk，若i≤k，則g＝γk－i不是非恒等的反射變換，若i＞k，則有γi－kg ＝e，得到g＝ （γi－k）－1＝γn－i＋k不是非恒等的反射變換，所以fg 為反射變換．同樣可證gf為反射變換．所以G中非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換的乘積一定為反射變換．

性質(zhì)4 設(shè)G為正n邊形的對稱群，則G中任意兩個旋轉(zhuǎn)變換的乘積一定為恒等變換或旋轉(zhuǎn)變換．

性質(zhì)5 設(shè)G為正n邊形的對稱群，f，g分別為G的非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，且

證明 首先易知｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝? G，由及性質(zhì)4，知e，f，f2，…，fn－1，g為G的n＋1個互不相同的元素，由性質(zhì)3和性質(zhì)4知fg≠e，f，f2，…，fn－1，又如果fg＝g，則由群的消去律會有f＝e，所以e，f，f2，…，fn－1，g，fg為G的n＋2個互不相同的元素．其次，由于f2為非恒等的旋轉(zhuǎn)變換，同樣由性質(zhì)3和性質(zhì)4有f2g≠e，f，f2，…，fn－1，另外如果有f2g＝g，fg，則由群的消去律得到f2＝e，f＝e，這不可能，所以e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g為G 的n＋3個互不相同的元素．照此推理，可以知道集合｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝中含2n個互不相同的元素，又由推論1知G＝2n，所以G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝．

同樣可證G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，gf，gf2，…，gfn－1｝．

由以上性質(zhì)可得如下推論．

推論2 設(shè)G為正n邊形的對稱群，f，g分別為G的非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，且則G＝ 〈f，g〉，即G由元素f，g生成．

推論3 設(shè)G為正n邊形的對稱群，f，g分別為G的非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，如果n為素數(shù)，則G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝或G ＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，gf，gf2，…，gfn－1｝．

推論4 設(shè)G為正n邊形的對稱群，則G中任意兩個相異的反射變換的乘積一定為旋轉(zhuǎn)變換．

證 明 由性質(zhì)5，G＝ ｛e，f，f2，…，fn－1，g，fg，f2g，…，fn－1g｝，其中f，g分別為G 的非恒等的旋轉(zhuǎn)變換和反射變換，且

任取兩個相異的反射變換，不妨設(shè)為fkg和flg，其中0≤k，l≤n－1，且k≠l，反設(shè)（fkg）（flg）為反射變換，設(shè)為ftg，即（fkg）（flg）＝ftg，由群的消去律，得到（fkg）（fl）＝ft．當(dāng)t＝0時，有（fkg）（fl）＝e，此時如果l＝0，得到fkg＝e，這與fkg為反射變換矛盾，如果l≠0，則（fkg）（fl）＝e與反射變換的逆元是其自身矛盾；當(dāng)t≠0時，（fkg）（fl）＝ft與性質(zhì)3的結(jié)論矛盾．所以，G中任意兩個相異的反射變換的乘積一定為旋轉(zhuǎn)變換．

［1］謝鐵頓．二面體群Dn與Zn上的一類全向置換［J］．信息工程大學(xué)學(xué)報，2002，3（4）：70－71．

［2］趙紅梅，唐國平．二面體群整群環(huán)的n次增廣理想及其商群結(jié)構(gòu)［J］．陜西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，33（2）：18－21．

［3］郭佳意，董正林．對稱群在面飾分類中的應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2007，46（9）：60－63．

［4］劉紹學(xué)．近世代數(shù)基礎(chǔ)［M］．北京：高等教育出版社，1999：2．

［5］楊子胥．近世代數(shù)［M］．2版．北京：高等教育出版社，2003：41．

Abstract：By using M．Chasles Theorem，the paper studied the types of the elements of regular polygons symmetry group，discussed the product of two transformations in this group．It is proved that the regular n－gons symmetry group is generated by a rotation transformation with rank nand a reflection transformation．

Key words：regular polygons；group；symmetry group

The Properties of Regular Polygons Symmetry Group

GU Yan－h(huán)ong，LI Fei
（College of Science，Beijing Forestry University，Beijing 100083，China）

O152 MSC2010：20B25

A

1674－232X（2011）01－0015－03

2010－09－09

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助．

顧艷紅（1975—），女，湖南湘陰人，講師，碩士，主要從事同調(diào)代數(shù)與近世代數(shù)研究．E－mail：yanhong＿gu＠126．com

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．01．003