一類具有無(wú)限長(zhǎng)區(qū)間攝動(dòng)方程的漸近解

陳 升，唐榮榮

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州313000）

一類具有無(wú)限長(zhǎng)區(qū)間攝動(dòng)方程的漸近解

陳 升，唐榮榮＊

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州313000）

利用匹配漸近展開法，討論一類具有無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域的奇攝動(dòng)問(wèn)題．根據(jù)問(wèn)題中參數(shù)p的變化，分3種情況對(duì)方程進(jìn)行討論．分別求得問(wèn)題的外部解的內(nèi)展開式（yo）i與內(nèi)部解的外展開式（yi）o，利用匹配原理求出解的漸近展開式，得到這類問(wèn)題的一般漸近解，豐富及推廣已有文獻(xiàn)中相應(yīng)的結(jié)論．

無(wú)限長(zhǎng)；非線性；攝動(dòng)；漸近展開式；匹配

0 引 言

在眾多領(lǐng)域中都存在著亟待解決的非線性問(wèn)題，但在許多情形下非線性問(wèn)題很難求得精確解，甚至不存在精確解．對(duì)于非線性問(wèn)題，如果能夠求得具有較高精度的近似解析解，無(wú)疑是十分有意義的工作．?dāng)z動(dòng)方法是運(yùn)用這種思想解決非線性問(wèn)題的主要數(shù)學(xué)方法之一，它在工程、經(jīng)濟(jì)、航天、金融等領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用．國(guó)內(nèi)外許多科學(xué)家，如Adelaida Vasil'eva、A．H．Nayfeh［1］、錢偉長(zhǎng)、郭永懷、錢學(xué)森和林家翹等對(duì)攝動(dòng)理論做了開創(chuàng)性的工作．近幾十年來(lái)，許多數(shù)學(xué)工作者，如Bob O'Malley、林宗池、王莉婕［2］、唐榮榮［3－4］、韓祥臨［5］等都致力于該方面研究．

匹配漸近展開法是求解非線性方程的諸多攝動(dòng)方法之一，文獻(xiàn)［1］用匹配漸進(jìn)展開法討論了一類二階非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題：

文獻(xiàn)［5］討論了如下類型的非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題：

雖然文獻(xiàn)［5］與文獻(xiàn)［1］中的方程相比，只是y′的系數(shù)的非線性性更強(qiáng)一些，但筆者發(fā)現(xiàn)它們的解的表達(dá)式卻有很大的不同．自然要問(wèn)當(dāng)y′系數(shù)的非線性性更加強(qiáng)烈時(shí)，其解是否存在，若存在，解的表達(dá)式又有什么性態(tài)．為了進(jìn)一步了解這類方程更一般的情形，了解其解的性態(tài)，如下討論更為廣泛的二階非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題：

其中0＜ε?1，p，n∈N＊，q∈R＋．

1 漸近展開式

1．1 解的外部表達(dá)式

令方程解的外展式為

將式（3）代入式（1）、（2），并令同次冪系數(shù)相等得

觀察式（4）不難發(fā)現(xiàn)，兩邊同乘以x2，則式（4）變?yōu)闅W拉型方程，則由常微分方程的相關(guān)知識(shí)及邊界條件（5）可得

1．2 P＝1時(shí)

由于p＝1時(shí)，y0＝b1ln x．當(dāng)x→＋∞時(shí)，ln x→＋∞不滿足y（＋∞）＝1．所以y0在x→＋∞處失效，即當(dāng)x→＋∞時(shí)方程的零階外展開式非一致有效．為了求出一致有效展開式，引入收縮變換ξ＝xελ，

（9）其中λ是待定常數(shù)．

用ξ作為式（1）的自變量得到

當(dāng)ε→0時(shí)，由特異極限知λ＝1，式（10）變?yōu)?/p>

由邊界條件y（＋∞）＝1，內(nèi)部解可設(shè)為

其中ε→0時(shí)σ（ε）→0．

由于ξ＝xε，故ε→0時(shí)ξ→0，則可知

為了求得內(nèi)展開式，由匹配原理可知

于是由式（12）、（14）可得

故有

將內(nèi)部解（13）代入式（11）并令同次的σ（ε）的系數(shù)相等，則有

故由常微分方程的相關(guān)知識(shí)及邊界條件Y1（＋∞）＝0得到

其中a0為常數(shù)．

為了匹配式（15）中的Y1，將Y1用ξ展開．又由于

其中c為常數(shù)．故由式（17）、（18）可知

故c＝ln q＋γ，將c代入式（19）得到

則兩項(xiàng)內(nèi)展開式的外展開式為

觀察式（15）與（21）容易發(fā)現(xiàn)式（21）中多出一常數(shù)，使得內(nèi)部解與其外部解不能匹配．為了解決這個(gè)問(wèn)題，需在外展開式中多展開一項(xiàng)與之匹配．

將式（23）代入式（1）和y（1）＝0得

由式（24）解得y1＝bln x，其中b為常數(shù)，于是兩項(xiàng)外展開式的內(nèi)展開式：

比較式（22）與（25），利用匹配原理可得a0＝1，b＝γ＋ln q．因此，

則得當(dāng)p＝1時(shí)，方程的漸近解為

1．3 P＝2時(shí)

當(dāng)x→＋∞時(shí)，由于y1→－qln x＋c2，它不滿足邊界條件y1（＋∞）＝0，由此討論可知：?jiǎn)栴}外部解的漸近展開式在ε0階一致有效，而在ε1階上非一致有效．為了求出一致有效展開式，引入收縮變換

用ξ作為式（1）的自變量得知：當(dāng)ε→0時(shí)，由相關(guān)知識(shí)知，特異極限對(duì)應(yīng)于λ＝1，式（1）變?yōu)?/p>

由邊界條件y（＋∞）＝1，內(nèi)部解可設(shè)為

將式（31）代入式（30），并令ε同次冪系數(shù)相等可得

由常微分方程相關(guān)知識(shí)解得

其中c3、c4為常數(shù)．又由邊界條件y1（＋∞）＝0可知c4＝0．所以，內(nèi)展開式為

兩項(xiàng)內(nèi)展開式的外展開式：

在式（34）中用x表示ξ，并令它與式（35）相等，可得c1＝q（n＋lnε－1）＋A，c3＝1．則當(dāng)p＝2時(shí)，得方程的漸近解為

1．4 P≥3時(shí)

2 結(jié) 論

非線性方程：具有如下形式的漸近展開式：

從以上表達(dá)式可知解的表達(dá)式和性態(tài)會(huì)隨著參數(shù)p的改變而改變．

當(dāng)參數(shù)p取不同的值時(shí)，此非線性問(wèn)題的外部解的一致有效性的階數(shù)會(huì)隨著參數(shù)p改變：當(dāng)p＝1時(shí)，外展開式從零階展開式開始就是非一致有效的；當(dāng)p＝2時(shí)，外展開式的零階展開式是一致有效的，非一致有效從一階開始；進(jìn)一步推想，此類含參數(shù)p的非線性方程的外展開式的漸近展開式非一致有效的階數(shù)為p－1．事實(shí)證明p≥3時(shí)，方程漸近解的兩項(xiàng)展開式都是一致有效的．本文用匹配法有效地解決了以上各種情況下解的非一致有效性．

［1］Nayfeh A H．Introduction to perturbation techniques［M］．New York：John Wiley ＆Sons，1981．

［2］王莉婕．一類非線性奇攝動(dòng)問(wèn)題的匹配解法［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2005（8）：46－48．

［3］Tang Rongrong．The boundary layer problems for a class of fourth order nonlinear singularly perturbed equations［J］．J Math，2007，27（4）：385－390．

［4］Tang Rongrong．The shock problems for a class of nonlinear singularly perturbed equation［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2005，34（2）：233－240．

［5］韓祥臨．具有無(wú)限長(zhǎng)區(qū)域非線性奇攝動(dòng)方程［J］．安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，26（1）：1－4．

Abstract：Using the matching asymptotic expansion method，this paper discussed a class of singular perturbed problems with unbounded interval．According to the changes of the parameter pin the problems，the paper divided the discussion about the equation into three cases and obtained the interior expansion of outer solution （yo）iand the outer expansion of interior solution（yi）orespectively．Using the matching principle of asymptotic expansion，the paper also got the general asymptotic solutions for this kind of problems，which can richen and expand the corresponding conclusions．

Key words：unbounded interval；nonlinear；perturbation；asymptotic expansion；match

Asymptotic Solution for a Class of the Perturbation Equation with an Unbounded Interval

CHEN Sheng，TANG Rong－rong
（College of Science，Huzhou Teachers College，Huzhou 313000，China）

O175．14 MSC2010：34E15

A

1674－232X（2011）01－0042－06

10．3969／j．issn．1674－232X．2011．01．008

2010－05－11

國(guó)家特色專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”建設(shè)點(diǎn)；湖州市自然科學(xué)基金（2010YZ05）．

陳 升（1989—），男，浙江溫州人，計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，主要從事微分方程研究．

＊通信作者：唐榮榮（1950—），女，浙江嘉興人，教授，主要從事微分方程研究．E－mail：rrtang2005＠163．com