輔助函數(shù)在定積分中的運(yùn)用

吳麗崇，孫鳳忠

(1. 衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，河北 衡水 053000;2. 衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 衡水 053000)

輔助函數(shù)在定積分中的運(yùn)用

吳麗崇1，孫鳳忠2

(1. 衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，河北 衡水 053000;2. 衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 衡水 053000)

在定積分中，為了求得某些問(wèn)題的解決，我們經(jīng)常需要尋找某些證明方法，有的還需要構(gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的輔助函數(shù)來(lái)研究其性質(zhì)，從而得出欲證明的結(jié)論．構(gòu)造輔助函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是分析法的一種技巧，在證明命題的過(guò)程中要不斷研究問(wèn)題的本質(zhì)，從而尋找構(gòu)造輔助函數(shù)的方法．

輔助函數(shù)法；定積分；分析法

構(gòu)造函數(shù)法就是構(gòu)造出與原命題相符且關(guān)系密切的函數(shù)，從函數(shù)的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而使命題(或問(wèn)題)得以解決．

1 構(gòu)造函數(shù)法解題的基本思路

構(gòu)造函數(shù)法解題的基本思路如圖1所示：

圖1 構(gòu)造函數(shù)法解題的基本思路

下面在定積分中討論輔導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．

1.1 定積分等式的證明技巧

輔助函數(shù)法是定積分等式的一種證明技巧，適用于積分限中至少存在一點(diǎn)ξ或x0，使等式成立的命題的證明[1]．輔助函數(shù)F(x0)的作法如下：(1)將欲證結(jié)論中的(或x)改寫成．(2)移項(xiàng)，使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數(shù)F(x)．

1.2 定積分不等式的證明技巧

分析 這里為證明積分不等式，我們可以引進(jìn)一個(gè)輔助函數(shù)——相應(yīng)的變限積分，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用微分學(xué)的方法證明函數(shù)不等式．因此我們可以作輔助函數(shù)

這類題型的間接證明過(guò)程：先做輔助函數(shù)F(x)，驗(yàn)證F(x)滿足零值定理，再由零值定理得出命題的證明[3]．輔助函數(shù)F(x)的作法如下：1)將欲證結(jié)論中的(或x0)改寫成x．2)移項(xiàng)，使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數(shù)F(x)．

2 結(jié)論

構(gòu)造函數(shù)法就是構(gòu)造出與原命題相符且關(guān)系密切的函數(shù)，從函數(shù)的角度觀察、分析、解釋命題，溝通命題中條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而使命題(或問(wèn)題)得以解決．

總之，輔助函數(shù)的構(gòu)造離不開分析、推理和聯(lián)想，解題時(shí)只有把知識(shí)學(xué)得系統(tǒng)、深入、融會(huì)貫通，才會(huì)取得事半功倍的效果．

[1] 翟延慧.利用構(gòu)造函數(shù)法解題技巧[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001(5):24-25.

[2] 范東林.例談構(gòu)造法解題[J].宿州師專學(xué)報(bào),1999(2):61-63．

[3] 周玉平.高等數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法[J].揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002(6):46-49.

Abstract:In order to figure out certain questions in definite integral, we need to seek certain proof method frequently, even create an auxiliary function related to the question to study its nature, thus draws the conclusion. In essence creating an auxiliary function is a skill of the analytic method, and we must unceasingly study the question’s essence in the propositionproving process, thus seek the method of creating an auxiliary function.

Key words:the method of auxiliary function; definite integral; analytic method

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Application of Auxiliary Function in the Definite Integral

WU Li-chong1, SUN Feng-zhong2

(1. Department of Economic Management, Hengshui College of Vocational Technology, Hengshui, Hebei 053000, China;
2. Department of Basic Teaching, Hengshui College of Vocational Technology, Hengshui, Hebei 053000, China)

O172

A

1673-2065(2011)01-0019-03

2010-09-08

吳麗崇(1984-),女,河北衡水人,衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系講師;

孫鳳忠(1974-),男,河北景縣人,衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師.