飽和孔隙介質(zhì)中非均勻震電平面波

崔志文，高文陽，張 言，王克協(xié)

（吉林大學(xué) 物理學(xué)院，長春 130012）

1 引 言

液體飽和孔隙介質(zhì)的波動(dòng)理論在地球物理勘探、地震工程、巖土動(dòng)力學(xué)、水下聲學(xué)、地基工程及醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域有著重要的理論和實(shí)際指導(dǎo)意義。Biot發(fā)表的一系列孔隙介質(zhì)中彈性波傳播的論文，奠定了孔隙固體的波動(dòng)理論。Biot理論預(yù)測孔隙固體中存在兩種縱波，其中具有強(qiáng)頻散高衰減特性的第2類縱波，1980年被試驗(yàn)證實(shí)。如今，孔隙介質(zhì)波動(dòng)問題已形成應(yīng)用性很強(qiáng)的研究領(lǐng)域，并且受到了廣泛的重視[1－4]。

流體飽和孔隙介質(zhì)是由固體骨架和孔隙電解質(zhì)溶液組成的，總體上是顯電中性的。固體骨架表面通常吸附負(fù)離子，在其周圍電解質(zhì)溶液的界面上則分布正離子，在固-液間形成了雙電層。當(dāng)彈性波在地下流體飽和孔隙介質(zhì)中傳播時(shí)，帶電液體和骨架會(huì)產(chǎn)生非同相振動(dòng)，引起孔隙液體與固體骨架的相對運(yùn)動(dòng)，從而使孔隙流體中的帶電離子形成微電流，產(chǎn)生伴隨電磁場，并在不連續(xù)邊界處將會(huì)激發(fā)電磁波，這種與滲流有關(guān)的動(dòng)電耦合效應(yīng)稱為聲電效應(yīng)，在地震頻率范圍又稱震電效應(yīng)[5－6]?，F(xiàn)場試驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室縮尺模型井都已經(jīng)觀測到這種震電現(xiàn)象。試驗(yàn)表明，產(chǎn)生在流體飽和孔隙介質(zhì)中的震電信號(hào)具有可探測性，震電效應(yīng)在地球物理測井、地震勘探、地震觀測預(yù)報(bào)等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景，已逐漸引起國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[7－9]。

流體飽和孔隙介質(zhì)中的震電波的傳播特性的深入認(rèn)識(shí)，對應(yīng)用和理解震電效應(yīng)無疑是有積極意義的。Pride 和Haartsen[6]給出了均勻孔隙介質(zhì)中震電耦合波的基本解，并分析了耦合波的基本傳播特性。Gao和 Hu[9]針對天然地震誘導(dǎo)電磁場問題，采用Pride理論模擬孔隙地層震電效應(yīng)，詳細(xì)研究了雙力偶源激發(fā)的震電波場。Buchen[10]、Borchert[11]等詳細(xì)研究了線性黏彈介質(zhì)中的非均勻波的特點(diǎn)，劉占芳等[12]、崔志文等[13]和楊驍?shù)萚14]對飽和孔隙介質(zhì)中非均勻波的基本傳播特點(diǎn)和能量特征進(jìn)行了研究。非均勻平面波在耗散介質(zhì)界面上傳播是一個(gè)理論和試驗(yàn)研究中都令人感興趣的問題[15]。然而，對在孔隙介質(zhì)中的非均勻震電平面波的傳播特征尚缺少認(rèn)識(shí)。本文的目的就是給出非均勻震電平面波形式解，研究非均勻震電平面波在孔隙介質(zhì)中傳播的基本特性。

2 Pride方程組的非均勻平面波解

在均勻孔隙介質(zhì)中，沒有外加電流源和力源時(shí)，耦合彈性波-電磁場服從如下的Pride方程組[5－6]

式中：ω為角頻率；E、D、B、H分別是電場強(qiáng)度、電位移、磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度；J是宏觀電流密度；w是滲流位移，w可用流相平均位移uf和固相位移u表示為w = φ(uf-u)；φ是孔隙度；P是孔隙流體壓強(qiáng)；τ是應(yīng)力張量；I是二階單位張量；σ(ω)和L(ω)分別為孔隙介質(zhì)的電導(dǎo)率和動(dòng)電耦合系數(shù)；κ(ω)為動(dòng)態(tài)滲透率；η和ρf分別是孔隙流體動(dòng)力黏滯系數(shù)和密度；ρ是地層密度；G是地層剪切模量；H、C、M是孔隙介質(zhì)彈性模量。

式(4)、(5)體現(xiàn)著巖石動(dòng)電耦合，當(dāng)L=0時(shí)，Pride方程組分解為由式(1)、(2)、(4)、(8)和式(9)表示的 Maxwell電磁方程組,其余方程表示的 Biot孔隙介質(zhì)彈性動(dòng)力學(xué)方程組。

為求解方便，基本場量u、w、E可用Helmholtz勢函數(shù)表示為[7]

式中：?、ξ、χ為縱波勢；Γ、Ψ、Υ為橫波勢。

2.1 縱波模式

縱波位移勢函數(shù)??滿足亥姆霍茲方程

而ξ、χ與?的關(guān)系為

其中

式中：s?為縱波復(fù)慢度(? = pf,ps分別代表快、慢縱波)，為孔隙介質(zhì)的等效介電常數(shù)；為孔隙流體相對運(yùn)動(dòng)的等效密度，詳見文獻(xiàn)[6－7]。

由于流體飽和孔隙介質(zhì)是耗散介質(zhì)，因此可取縱波勢函數(shù)的非均勻平面波解為

式中：A?(? = pf,ps)為復(fù)常數(shù)， k = κ +i a是復(fù)波矢；κ是垂直于等相位面的傳播矢量，a是垂直于等振幅面的衰減矢量。用具有兩個(gè)矢量的復(fù)波矢表示耗散介質(zhì)中的平面波能更好地表示它們的本性[10－16]。將式(15)代入方程式(11)得下列關(guān)系式

其中：Re[Z]和Im[Z]分別表示取復(fù)量Z的實(shí)部和虛部； γ( 0 ≤γ＜ π/2)是κ與a的夾角，為非均勻角。

2.2 橫波模式

橫波位移勢函數(shù)Γ滿足亥姆霍茲方程

而ψ、Υ與Γ的關(guān)系為

其中

式中：s?為橫波復(fù)慢度(? = sh,em 分別代表橫波和電磁波)。

取勢函數(shù)的非均勻平面波解為

式中：n是實(shí)單位矢量；A?為復(fù)常數(shù)；設(shè)復(fù)波矢k = κ +i a，κ與a的夾角 γ( 0 ≤γ＜ π/2)為非均勻角。

橫波模式的κ、a、Ω1、Ω2、γ的關(guān)系類同于式(17)。從式(17)可以看出，由于夾角γ不能確定，所以僅由Ω1、Ω2不能把κ和a完全確定，其值與波進(jìn)入孔隙介質(zhì)的狀態(tài)有關(guān)[13]，即由源和邊界條件決定,不能先驗(yàn)地把γ取0?？v波和橫波的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是κ和a組成的平面內(nèi)的橢圓，與線性黏彈介質(zhì)中的非均勻波的軌跡類似[16]。

3 非均勻震電平面波的能流

3.1 能流

為研究非均勻震電平面波的能量特征，首先從復(fù)能量平衡方程定義能流密度。Pride和Haartsen[6]已經(jīng)從方程式(1)～(9)出發(fā)，推導(dǎo)出震電耦合波場的復(fù)能量平衡方程為

式中：*表示取共軛；g是等效機(jī)械力，表達(dá)式為

J是等效電流密度，表達(dá)式為

一般地，不能給出式(23)特定的物理意義，Pride和 Haarsten[6]詳細(xì)地討論了這個(gè)方程，這個(gè)方程只是耦合場的能量守恒表達(dá)。但當(dāng)L=0時(shí)，復(fù)能量平衡方程分成聲場和電磁場的實(shí)部相加和虛部相加，流體飽和孔隙介質(zhì)中聲場復(fù)能量特定的物理意義文獻(xiàn)[13]給予了詳細(xì)的討論。

Pride和Haarsten[6]給出了復(fù)能流的定義為

由此，平均能流的定義可寫為

這里下標(biāo)e表示耦合場。

3.2 縱波平均能流

由于快縱波和慢縱波的能流形式相同，為方便表述，以下將角標(biāo)pf、ps統(tǒng)一寫成p

由式(10)第1式和式(15)可得

對式(28)求時(shí)間的微商并取共軛得

由式(10)第 2、式(12)、(14)、(15)得滲流位移對時(shí)間微商的共軛為

由式(10)第 3、式(12)、(14)、(15)得

Pride[6]指出，在均勻孔隙介質(zhì)中伴隨縱波的流動(dòng)電流和傳導(dǎo)電流抵消，不存在凈剩電荷，因而不存在磁場。因此，只存在伴隨縱波的電場，不存在伴隨縱波的磁場?？v波雖然有伴隨電場，但不引起電磁波。在聲(震)電效應(yīng)測井中，由于柱面界面的存在，所以這個(gè)認(rèn)識(shí)不能用來解釋其波動(dòng)現(xiàn)象[17]。

由式(6)和式(15)得，

式中：δij是狄拉克符號(hào)。

將應(yīng)變-位移關(guān)系和式(15)代入式(7)得

由式(33)～(38)，平均能流表達(dá)式式(27)可表示為

將式(30)、(32)、(35)、(38)代入式(39)可得縱波的平均能流為

3.3 橫波平均能流

對橫波模式，為表述方便，將腳標(biāo) sh，em統(tǒng)一寫成s。橫波位移為

把式(41)對時(shí)間求微商并取共軛得

應(yīng)力可表示為

由式(22)、(42)、(43)進(jìn)一步可得下式

由式(10)和第1式(19)可得

由式(1)、(8)、(45)可得磁場

由式(45)、(46)進(jìn)一步可得

上式與Biot流體飽和孔隙介質(zhì)中的平面橫波平均能流的表達(dá)式一致[13]。

從式(40)和式(48)可見，非均勻震電耦合平面橫波與非均勻震電耦合平面縱波類似，流體飽和孔隙介質(zhì)中非均勻震電平面橫波的平均能流在傳播矢量κ與衰減矢量a構(gòu)成的平面內(nèi)傳播，一般情況下，既不沿κ也不沿 a。只有在傳播矢量和衰減矢量同方向時(shí)，非均勻震電平面橫波的平均能流才沿著它們共同的方向傳播。

4 結(jié) 語

本文采用描述孔隙介質(zhì)的震電耦合波的 Pride方程組，利用Helmholtz分解，求解了在流體飽和孔隙介質(zhì)中傳播的非均勻震電平面波解，討論了其能量特征。結(jié)果表明，縱波和橫波的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是各自傳播矢量和衰減矢量組成的平面內(nèi)的橢圓。得到了縱波模式和橫波模式平均能流的表達(dá)式，每個(gè)模式的平均能流在傳播矢量和衰減矢量構(gòu)成的平面內(nèi)傳播。伴隨電磁場對縱波模式的平均能流沒有貢獻(xiàn)，與Biot流體飽和孔隙介質(zhì)中的非均勻平面波的平均能流表達(dá)式相同。當(dāng)動(dòng)電耦合系數(shù)為0時(shí)，非均勻震電平面波的能流表達(dá)式可退化為Biot介質(zhì)中彈性波的能流表達(dá)式。本文的研究結(jié)果不僅有助于更好地理解非均勻震電平面波的特點(diǎn)，而且對其在水平界面上的能量折、反射問題也具有參考意義。

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