高效的在線/離線代理重簽名方案

楊小東 王彩芬

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 蘭州 730070)

1 引言

數(shù)字簽名在保證數(shù)據(jù)的機(jī)密性、完整性和不可否認(rèn)性等方面起著極為重要的作用，被廣泛用于設(shè)計(jì)電子支付、電子投標(biāo)、電子拍賣(mài)、電子彩票和電子投票等應(yīng)用協(xié)議，是安全電子商務(wù)和安全電子政務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)之一。根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景的需要，人們提出了諸多特殊的數(shù)字簽名方案，代理簽名就是其中的一種。代理簽名將簽名者的某些權(quán)利委托給可靠的代理者，讓代理者代表簽名者行使相應(yīng)的簽名權(quán)利。但在代理簽名中，委托者必須高度信任代理者。

為了分散代理者的簽名權(quán)利，文獻(xiàn)[1]提出了代理重簽名的概念。在代理重簽名中，一個(gè)擁有重簽名密鑰的半可信代理者(semi-trusted proxy)將受托者(delegatee)的簽名(也稱(chēng)原始簽名)轉(zhuǎn)換為委托者(delegator)對(duì)同一消息的簽名(也稱(chēng)重簽名)，但這個(gè)代理者不能單獨(dú)生成受托者或委托者的任何原始簽名。所謂半可信，指的是僅僅相信這個(gè)代理者一定會(huì)按方案進(jìn)行簽名的轉(zhuǎn)換。代理重簽名在簡(jiǎn)化證書(shū)管理、管理群簽名、提供遍歷的路徑證明、構(gòu)造審查系統(tǒng)和數(shù)字版權(quán)管理系統(tǒng)等方面有廣泛的應(yīng)用前景[2]。

在線/離線簽名[3]是把數(shù)字簽名分成兩個(gè)階段的簽名方式，它是為了提高簽名方案的效率而提出來(lái)的一種解決方案。第1階段是離線階段，在未知簽名消息的情況下進(jìn)行簽名預(yù)計(jì)算。由于此階段有足夠的時(shí)間，因而離線階段簽名算法并不影響消息的簽名速度；第2階段是在線階段，這是在消息出現(xiàn)后開(kāi)始的，由于離線階段已做了預(yù)計(jì)算，所以此階段簽名速度非?？臁Ｔ诰€/離線簽名在現(xiàn)實(shí)中有廣泛的應(yīng)用，如智能卡等。

在已有的代理重簽名方案中[1,2,4-7]，重簽名生成算法中有冪指數(shù)運(yùn)算，嚴(yán)重影響了代理重簽名方案的簽名效率。為了改善代理重簽名的性能，本文基于變色龍哈希函數(shù)提出了一個(gè)在線/離線代理重簽名方案。該方案將代理重簽名的特性與在線/離線簽名的特性進(jìn)行了有效融合，能將已有的任意一個(gè)代理重簽名方案轉(zhuǎn)換為一個(gè)高效的在線/離線代理重簽名方案。在線/離線代理重簽名大大提高了代理重簽名的實(shí)時(shí)性和安全性，可應(yīng)用在重簽名時(shí)間受限或重簽名設(shè)備計(jì)算能力有限的場(chǎng)合，如無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、無(wú)線路由器協(xié)議、PDA等。如果是時(shí)間受限，在空閑時(shí)間進(jìn)行離線階段的運(yùn)算，將計(jì)算結(jié)果保存，預(yù)備用于在線階段的重簽名運(yùn)算；如果是設(shè)備的計(jì)算能力有限，讓具有較強(qiáng)計(jì)算能力的設(shè)備進(jìn)行離線階段的計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果存儲(chǔ)在計(jì)算能力有限的設(shè)備上，用于在線階段進(jìn)行重簽名。代理重簽名是近年來(lái)密碼學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)，主要集中于研究代理重簽名[1,2,4-7]、盲代理重簽名[8]、無(wú)證書(shū)代理重簽名[9]和門(mén)限代理重簽名[10]等，但關(guān)于在線/離線代理重簽名的公開(kāi)文獻(xiàn)幾乎沒(méi)有。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè)

選擇大素?cái)?shù)t,E(Ft)是定義在有限域Ft上的一個(gè)橢圓曲線，#E(Ft)是E(Ft)中點(diǎn)的數(shù)目。點(diǎn)P∈E(Ft),P的階為素?cái)?shù)q，這里q|#E(Ft)。G是P生成的一個(gè)q階循環(huán)群。橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題(ECDLP)：給定 (P,P1)∈E(Ft)，尋找一個(gè)整數(shù)a∈Zq，使得在G中有P1=aP。

定義 1(橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè))如果沒(méi)有一個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法在時(shí)間T內(nèi)以至少ε的概率解決群G上的橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題，則稱(chēng)群G上的(T,ε)-ECDLP假設(shè)成立。

2.2 變色龍哈希函數(shù)

變色龍哈希函數(shù)CH(?,?)是一種特殊的哈希函數(shù)[3]，擁有一個(gè)門(mén)限密鑰TK和一個(gè)公鑰HK，并且滿(mǎn)足以下性質(zhì)：

(1)有效性：給定公鑰HK，一個(gè)消息m和一個(gè)隨機(jī)數(shù)r，存在一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法計(jì)算CHHK(m,r)。

(2)抗碰撞性：輸入公鑰 HK，不存在任何一個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法以一個(gè)不可忽略的概率輸出(m1,r1)和 (m2,r2)，使得m1≠m2且 C HHK(m1,r1)=CHHK(m2,r2)。

(3)門(mén)限碰撞：給定門(mén)限密鑰 TK，公鑰 HK，兩個(gè)不同的消息 (m1,m2)和一個(gè)隨機(jī)數(shù)r1，一定存在一個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法輸出一個(gè)值r2，使得CHHK(m1,r1)=CHHK(m2,r2)；如果r1服從均勻分布，則r2服從的分布與均勻分布在計(jì)算上是不可區(qū)分的。

2.3 基于橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè)的變色龍哈希函數(shù)

基于橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè)，構(gòu)造一個(gè)變色龍哈希函數(shù)，利用它構(gòu)造在線/離線代理重簽名方案。選擇大素?cái)?shù)t,E(Ft)是定義在有限域Ft上的一個(gè)橢圓曲線，#E(Ft)是E(Ft)中點(diǎn)的數(shù)目。點(diǎn)P∈E(Ft),P的階為素?cái)?shù)q，這里q|#E(Ft)。G是P生成的一個(gè)循環(huán)群。定義一個(gè)安全的哈希函數(shù)f：Zq×G→Zq。具體描述如下：

(1)門(mén)限密鑰生成算法：選擇兩個(gè)隨機(jī)數(shù)k,x∈Zq，計(jì)算Y=xP,K=kP，則門(mén)限密鑰TK=(k,x)，公鑰HK=(K,Y)。

(2)哈希函數(shù)生成算法：對(duì)于公鑰HK=(K,Y)，構(gòu)造變色龍哈希函數(shù)CHHK：Zq×Zq→G，定義為CH(m,r)=f(m,K)P+rY。

定理1CH(m,r)=f(m,K)P+rY是一個(gè)基于橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè)的變色龍哈希函數(shù)。

證明下面證明CH(m,r)=f(m,K)P+rY滿(mǎn)足變色龍哈希函數(shù)的性質(zhì)：

(1)有效性 給定公鑰HK=(K,Y)，一個(gè)消息m∈Zq和一個(gè)隨機(jī)數(shù)r∈Zq，在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)能計(jì)算出CH(m,r)=f(m,K)P+rY。

(2)抗碰撞性 給定公鑰HK=(K,Y)，假設(shè)存在一個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法以一個(gè)不可忽略的概率輸出 (m1,r1)和 (m2,r2)，使得 C H(m1,r1)=CH(m2,r2)且m1≠m2，則在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)能計(jì)算出Y的離散對(duì)數(shù)x。即f(m1,K)P+r1xP=f(m2,K)P+r2xP。

于是有

因?yàn)闄E圓曲線離散對(duì)數(shù)是個(gè)困難問(wèn)題，而上述結(jié)論與橢圓曲線離散對(duì)數(shù)假設(shè)相矛盾，所以這個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法不存在。即變色龍哈希函數(shù)滿(mǎn)足抗碰撞性。

(3)門(mén)限碰撞 給定公鑰HK=(K,Y)，門(mén)限密鑰TK=(k,x)，兩個(gè)不同的消息 (m1,m2)和一個(gè)隨機(jī)數(shù)r1，尋找r2使得 C H(m1,r1)=CH(m2,r2)。可通過(guò)下式在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)計(jì)算出r2，

如果r1在Zq中服從均勻分布，那么r2在Zq中也服從均勻分布。 證畢

3 在線/離線代理重簽名的形式化定義

定義 2 (代理重簽名)一個(gè)代理重簽名方案PRS=(KeyGen,ReKey,Sign,ReSign,Verify)由以下5個(gè)算法組成[2]：

(1)KeyGen是密鑰生成算法：輸入一個(gè)安全參數(shù)1k，輸出系統(tǒng)參數(shù)和用戶(hù)的公私鑰對(duì)(pk,sk)。

(2)ReKey是重簽名密鑰生成算法：輸入一個(gè)受托者的公私鑰對(duì)(pkA,skA)和一個(gè)委托者的公私鑰對(duì)(pkB,skB)，輸出一個(gè)重簽名密鑰rkA→B。代理者使用rkA→B可將受托者的簽名轉(zhuǎn)換為委托者的簽名。

(3)Sign是簽名生成算法：輸入一個(gè)消息m和一個(gè)私鑰sk，輸出一個(gè)消息m的簽名σ?？捎脤?duì)應(yīng)的公鑰pk來(lái)驗(yàn)證簽名σ的合法性。

(4)ReSign是重簽名生成算法：輸入一個(gè)重簽名密鑰rkA→B，一個(gè)消息m，一個(gè)公鑰pkA和一個(gè)簽名σA，該算法首先驗(yàn)證σA的合法性，若Verify (pkA,m,σA)=1，則輸出一個(gè)對(duì)應(yīng)于公鑰pkB的消息m的簽名σB；否則，輸出⊥。

(5)Verify是簽名驗(yàn)證算法：輸入一個(gè)消息m，一個(gè)公鑰pk和一個(gè)簽名σ，如果σ是對(duì)應(yīng)于公鑰pk的消息m的合法簽名，輸出1；否則，輸出0。

Ateniese和Hobenberger定義了代理重簽名的安全模型[2]：外部安全和內(nèi)部安全。外部安全性可使用戶(hù)免受來(lái)自系統(tǒng)外部的攻擊者的惡意攻擊，而內(nèi)部安全性主要考慮來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)部的攻擊，如代理者發(fā)起的攻擊或他與委托雙方中其中一方的合謀攻擊。如果沒(méi)有一個(gè)攻擊者在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)以不可忽略的優(yōu)勢(shì)偽造PRS方案的合法簽名，則稱(chēng)PRS方案在適應(yīng)性選擇消息攻擊下是不可偽造的[2,4]。

定義 3(在線/離線代理重簽名)一個(gè)在線/離線代理重簽名方案 OPRS=(RekeyOn/Off,ReSignOn/Off,Ver)由以下3個(gè)算法組成：

(1)RekeyOn/Off是重簽名密鑰生成算法：輸入一個(gè)安全參數(shù)1k，輸出系統(tǒng)參數(shù)params、用戶(hù)的公私鑰對(duì)(pk,sk)和代理者的重簽名密鑰rkA→B。

(2)ReSignOn/Off是重簽名生成算法：該算法分以下兩個(gè)階段進(jìn)行：

(a)離線階段：輸入私鑰和重簽名密鑰，輸出狀態(tài)信息Ki。

(b)在線階段：輸入一個(gè)消息m，一個(gè)公鑰pkA，消息m的簽名ρA，狀態(tài)信息Ki和私鑰，首先驗(yàn)證ρA的合法性，若Verify (pkA,m,ρA)=1，則輸出一個(gè)對(duì)應(yīng)于公鑰pkB的消息m的重簽名ρB；否則，輸出⊥。

(3)Ver是簽名驗(yàn)證算法：輸入一個(gè)消息m，一個(gè)公鑰pk和一個(gè)簽名ρ，如果ρ是對(duì)應(yīng)于公鑰pk的消息m的合法簽名，輸出1；否則，輸出0。

攻擊模型：采用在靜態(tài)攻陷模式下挑戰(zhàn)者C和攻擊者A之間的游戲來(lái)定義在線/離線代理重簽名的安全性模型。攻擊者A在游戲開(kāi)始前必須確定已被攻陷的用戶(hù)，攻擊游戲分3個(gè)階段進(jìn)行。首先是建立階段，挑戰(zhàn)者C生成系統(tǒng)參數(shù) params，并將params發(fā)送給攻擊者A。其次是查詢(xún)階段，攻擊者A可以適應(yīng)性地向挑戰(zhàn)者C進(jìn)行用戶(hù)的公鑰/私鑰詢(xún)問(wèn)、重簽名密鑰詢(xún)問(wèn)、簽名詢(xún)問(wèn)和重簽名詢(xún)問(wèn)，挑戰(zhàn)者C通過(guò)相應(yīng)的預(yù)言機(jī)(密鑰預(yù)言機(jī)、重簽名密鑰預(yù)言機(jī)、原始簽名預(yù)言機(jī)和重簽名預(yù)言機(jī))響應(yīng)攻擊者所發(fā)起的各種詢(xún)問(wèn)請(qǐng)求，并將詢(xún)問(wèn)結(jié)果返回給攻擊者A。這個(gè)階段的安全性定義與一般的代理重簽名的安全性定義[2,4]基本相同。最后是偽造階段，攻擊者A輸出一個(gè)偽造，即一個(gè)消息/簽名對(duì)。

如果攻擊者A能生成一個(gè)新消息m的合法簽名，那么我們就說(shuō)攻擊者A偽造成功。攻擊者A在上面游戲中的優(yōu)勢(shì)可以定義AdvA=Pr[A succeeds]，這個(gè)概率完全取決于挑戰(zhàn)者A和攻擊者C之間的拋幣概率。

定義 4(不可偽造性)如果沒(méi)有一個(gè)攻擊者在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)以不可忽略的優(yōu)勢(shì)贏得上述游戲，那么稱(chēng)在線/離線代理重簽名方案 OPRS在適應(yīng)性選擇消息攻擊下能抵抗存在性偽造。

基于變色龍函數(shù)構(gòu)造的在線/離線代理重簽名方案，其安全性可歸約為所關(guān)聯(lián)的代理重簽名的安全性或變色龍函數(shù)的安全性。如果攻擊者輸出一個(gè)在線/離線代理重簽名的偽造，則可利用這個(gè)偽造構(gòu)造一個(gè)所關(guān)聯(lián)的代理重簽名的偽造或找到變色龍函數(shù)的一個(gè)碰撞。因此，只要所基于的代理重簽名方案是安全的且變色龍哈希函數(shù)具有抗碰撞性，則相應(yīng)的在線/離線代理重簽名方案也是安全的。

4 在線/離線代理重簽名方案

基于變色龍哈希函數(shù)CH(m,r)=f(m,K)P+rY，本文提出了一個(gè)在線/離線代理重簽名方案。該方案可將已有的任意一個(gè)代理重簽名方案[1,2,5-8]轉(zhuǎn)換為一個(gè)相應(yīng)的在線/離線代理重簽名方案，用PRS表示這些方案中的任意一個(gè)代理重簽名方案。選擇大素?cái)?shù)t,E(Ft)是定義在有限域Ft上的一個(gè)橢圓曲線，#E(Ft)是E(Ft)中點(diǎn)的數(shù)目。P∈E(Ft),P的階為素?cái)?shù)q,q|#E(Ft)。G是P生成的一個(gè)循環(huán)群。簽名的消息mi∈Zq，可通過(guò)哈希函數(shù)g：{0,1}*→Zq延伸簽名消息空間。選擇安全的哈希函數(shù)f：Zq×G→Zq。

4.1 方案描述

假定PRS=(KeyGen,ReKey,Sign,ReSign,Verify)是一個(gè)安全的代理重簽名方案[2,5-8]，則相應(yīng)的在線/離線代理重簽名方案 OPRS=(RekeyOn/Off,ReSignOn/Off,Ver)由以下3個(gè)算法組成：

(1)RekeyOn/Off：主要生成系統(tǒng)參數(shù)、用戶(hù)的公私鑰對(duì)和重簽名密鑰，具體描述如下：

(a)輸入安全參數(shù)1k，運(yùn)行PRS的KeyGen算法生成系統(tǒng)參數(shù)params和用戶(hù)的公私鑰對(duì)(pk,sk)。

(b)輸入受托者的公私鑰對(duì)(pkA,skA)和委托者的公私鑰對(duì)(pkB,skB)，運(yùn)行PRS的ReKey算法生成重簽名密鑰rkA→B。

(c)選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)x∈Zq，計(jì)算Y=xP,X=x-1，則TK=x,HK=Y。

(d)選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)k*∈Zq，計(jì)算h=k*Y。

(e)運(yùn)行PRS的Sign算法生成受托者對(duì)h的原始簽名σA。即代理者請(qǐng)求受托者生成h的原始簽名σA，但代理者不知道受托者的私鑰skA的任何信息。

(f)運(yùn)行PRS的ReSign算法生成委托者對(duì)h的重簽名σB。即代理者使用rkA→B將受托者對(duì)h的簽名σA轉(zhuǎn)換為委托者對(duì)h的重簽名σB。

公開(kāi)參數(shù)(params,pkA,pkB,E(Ft),G,t,q,f,g,CH(?,?),σA,σB,Y,h)，代理者的重簽名密鑰是(rkA→B,x,X,k*)。

(2)ReSignOn/Off：給定一個(gè)重簽名密鑰(rk,x,X,k*)，代理者進(jìn)行如下操作：A→B

(a)離線階段：

(i)選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)ki∈Zq，計(jì)算Ki=ki P；

(ii)保存狀態(tài)信息Ki。

(b)在線階段：輸入一個(gè)待簽名的消息mi∈Zq，一個(gè)公鑰pkA和消息mi的簽名ρAi，代理者進(jìn)行如下操作：

(i)提取狀態(tài)信息Ki；

(ii)計(jì)算ri=k*-f(mi,Ki)X(modq)；

(iii)委托者對(duì)消息mi的重簽名ρB=(ri,Ki,σB,ρAi)；因?yàn)棣褺作為公開(kāi)參數(shù)發(fā)布，所以mi的重簽名實(shí)際上是ρB=(ri,Ki,ρAi)。

(3)Ver：輸入一個(gè)消息mi，委托者的公鑰pkB和一個(gè)簽名ρB=(ri,Ki,ρAi)，為了驗(yàn)證ρB是對(duì)應(yīng)于公鑰pkB的消息mi的有效簽名，進(jìn)行如下操作：

(a)計(jì)算CH(mi,ri)=f(mi,Ki)P+riY；

(b)運(yùn)行PRS的Verify算法，如果Verify (pkA,mi,ρAi)=1 且 Verify(pkB,CH(mi,ri),σB)=1，那么ρB是委托者對(duì)消息mi的合法重簽名，輸出1；否則，輸出0。

4.2 正確性分析

因?yàn)棣褺是PRS中委托者對(duì)h的有效重簽名，所以σB也是 PRS中委托者對(duì)CH(mi,ri)的合法重簽名。

4.3 安全性分析

定理2 在隨機(jī)預(yù)言模型下，如果循環(huán)群G上的(T,ε)-ECDLP假設(shè)成立，代理重簽名方案PRS=(KeyGen,ReKey,Sign,ReSign,Verify)在適應(yīng)性選擇消息攻擊下是不可偽造的，那么本文所提的在線/離線代理重簽名方案 OPRS=(RekeyOn/Off,ReSignOn/Off,Ver)在適應(yīng)性選擇消息攻擊下也是不可偽造的。

證明假設(shè)A是在線/離線代理重簽名方案OPRS的一個(gè)攻擊者，OPRS的挑戰(zhàn)者將公開(kāi)參數(shù)(params,pkA,pkB,E(Ft),G,t,q,f,g,C H(?,?))發(fā)送給A。qS表示A詢(xún)問(wèn)簽名預(yù)言機(jī)(包括原始簽名預(yù)言機(jī)和重簽名預(yù)言機(jī))的最大次數(shù)，qf表示A詢(xún)問(wèn)哈希函數(shù)預(yù)言機(jī)的最大次數(shù)。假設(shè)(mi,Ki)是A第i次詢(xún)問(wèn)哈希函數(shù)預(yù)言機(jī)的輸入，預(yù)言機(jī)返回相應(yīng)的哈希函數(shù)值ei;mj是A第j次詢(xún)問(wèn)簽名預(yù)言機(jī)的輸入，預(yù)言機(jī)返回相應(yīng)的簽名攻擊者A在適應(yīng)性選擇消息攻擊下在時(shí)間T內(nèi)以不可忽略的概率ε成功偽造OPRS的一個(gè)簽名(m,r,K,ρA)，即

給定系統(tǒng)參數(shù)(params,pkA,pkB,E(Ft),G,t,q,f,g,CH(?,?))，定義一個(gè)概率多項(xiàng)式時(shí)間算法B，利用攻擊者A的偽造解決一個(gè)橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的實(shí)例。假設(shè)B收到的橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題實(shí)例是(P,aP)∈G,B的目標(biāo)是確定aP的離散對(duì)數(shù)a∈Zq。B進(jìn)行如下的操作：

(1)選擇一個(gè)隨機(jī)數(shù)b∈Zq，令Y=aP，計(jì)算h=bY=abP；運(yùn)行PRS的Sign算法生成h的原始簽名σA；運(yùn)行PRS的ReSign算法生成h的重簽名σB；公開(kāi)(σA,σB,Y,h)。

(2)維持一個(gè)列表，記為f-list，初始值為空。對(duì)于A的第i次哈希函數(shù)值詢(xún)問(wèn)(mi,Ki),B首先檢查列表f-list中是否存在(mi,Ki)，如果存在，返回ei；否則，從Zq中隨機(jī)選取ei，將(mi,Ki,ei)添加到f-list中并返回ei。

(3)對(duì)于A的第j(1 ≤j≤qS)次簽名詢(xún)問(wèn)mj,B首先檢查列表f-list中是否存在若存在，則計(jì)算否則，從Z中隨機(jī)q選取)，計(jì)算加到f-list中。然后詢(xún)問(wèn)簽名預(yù)言機(jī)獲得受托者對(duì)消息mj的原始簽名。最后B返回消息mj的簽名

挑戰(zhàn)者B返回給攻擊者A關(guān)于mi的簽名與攻擊者A詢(xún)問(wèn)OPRS的簽名預(yù)言機(jī)獲得的簽名，在計(jì)算上是不可區(qū)分的。最后，攻擊者A以大于等于ε的概率輸出 OPRS的一個(gè)偽造(m,r,K,ρA)，這里h=f(m,K)P+rY,m≠mi,i=1,…,qS。 根 據(jù)Forking引理[9]，假設(shè)對(duì)于不同的哈希函數(shù)值f(m,K)和f'(m,K)，攻擊者A輸出同一消息m的兩個(gè)合法的 OPRS簽名(m,r,K,ρA)和(m,r',K,ρA)，其中h=f(m,K)P+rY,h=f'(m,K)P+r'Y，存在下面的等式：

于是，攻擊者B以大于等于ε的概率解決了橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例(P,aP)∈G。如果循環(huán)群G上的(T,ε)-ECDLP假設(shè)成立，那么本文所提的在線/離線代理重簽名方案 OPRS=(RekeyOn/Off,ReSignOn/Off,Ver)在適應(yīng)性選擇消息攻擊下是不可偽造的。 證畢

4.4 有效性分析

在本文所提的在線/離線代理重簽名方案中，重簽名密鑰生成算法的運(yùn)算主要包括兩次橢圓曲線點(diǎn)乘計(jì)算，一次代理重簽名方案中的密鑰生成算法的執(zhí)行，一次重簽名密鑰生成算法的執(zhí)行，一次簽名算法的執(zhí)行和一次重簽名算法的執(zhí)行。由于σB和h是公開(kāi)參數(shù)，σB是h的合法重簽名，于是只需驗(yàn)證CH(mi,ri)=f(mi,Ki)P+riY=h，所以簽名驗(yàn)證算法Ver的運(yùn)算實(shí)際上是一次變色龍哈希函數(shù)值的計(jì)算和兩次代理重簽名方案中的簽名驗(yàn)證算法 Verify的執(zhí)行。離線階段重簽名算法是一次橢圓曲線點(diǎn)乘運(yùn)算。在線階段的重簽名算法是尋找變色龍哈希函數(shù)的一次碰撞，而尋找這樣的一次碰撞僅需要一次模乘法算法和一次模減法運(yùn)算。由于消息mi的重簽名ρB=(ri,Ki,ρAi)，所以本方案與大部分代理重簽名方案[6,7,10]的重簽名長(zhǎng)度基本相同。

Ateniese等人[2]指出代理重簽名方案BBS是不安全的。在BBS方案中，任何人都能通過(guò)原始簽名和重簽名計(jì)算出重簽名密鑰并且成為惡意代理者；進(jìn)一步，委托者(或受托者)可以從重簽名密鑰計(jì)算出受托者(或委托者)的私鑰，所以本方案不與 BBS方案進(jìn)行簽名效率的比較。一旦簽名消息到來(lái)時(shí)，在線階段生成實(shí)際消息的重簽名，因此在線/離線代理重簽名方案的重簽名效率只考慮在線階段。將已有的代理重簽名方案和本方案的重簽名算法進(jìn)行簽名效率比較，其結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 重簽名算法的性能比較

從表1中可以看出，在本文所提的在線/離線代理重簽名方案中，在線重簽名算法僅需要1次模減法運(yùn)算和1次模乘法運(yùn)算；當(dāng)簽名消息到來(lái)時(shí)，能在很短的時(shí)間生成消息的重簽名。而模減法運(yùn)算和模乘法運(yùn)算相對(duì)于模冪運(yùn)算和配對(duì)運(yùn)算而言，其計(jì)算量是可以忽略不計(jì)的。所以，本文所提的在線/離線代理重簽名方案大大改善了代理重簽名方案的性能，更適用于網(wǎng)絡(luò)安全應(yīng)用。

5 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合門(mén)限代理重簽名與變色龍哈希函數(shù)，本文提出了一個(gè)在線/離線代理重簽名方案，該方案能將任意一個(gè)安全的代理重簽名方案轉(zhuǎn)換為一個(gè)相應(yīng)的在線/離線代理重簽名方案。在隨機(jī)預(yù)言模型下證明了該方案在適應(yīng)性選擇消息攻擊下是不可偽造的，并與已有的代理重簽名方案進(jìn)行了性能比較，其結(jié)果表明本方案重簽名效率更高，僅需要1個(gè)模減法運(yùn)算和1個(gè)模乘法運(yùn)算就能生成消息的重簽名，具有一定的實(shí)用性。將來(lái)的工作是設(shè)計(jì)在標(biāo)準(zhǔn)模型下可證安全的在線/離線代理重簽名方案。

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