基于風(fēng)險價格均衡的可轉(zhuǎn)換債券定價模型及實證研究

朱艷芳，張 維

(天津大學(xué)管理經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

基于風(fēng)險價格均衡的可轉(zhuǎn)換債券定價模型及實證研究

朱艷芳，張 維

(天津大學(xué)管理經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

在公司資產(chǎn)包含股票、可轉(zhuǎn)換債券及債券資產(chǎn)的假定條件下，提出并證明了公司風(fēng)險資產(chǎn)之間存在風(fēng)險價格均衡狀態(tài)，推導(dǎo)出風(fēng)險價格均衡狀態(tài)下可轉(zhuǎn)債收益率計算方法，并以這種收益率為折現(xiàn)率，建立了結(jié)構(gòu)型二叉樹可轉(zhuǎn)債定價模型。同時，對模型進(jìn)行了實證檢驗，結(jié)果顯示，不同交易時段的5個轉(zhuǎn)債的理論價格與市場價格的平均偏差率范圍在2.52%和-0.83%之間，均處于較低水平，表明模型可以有效的避免可轉(zhuǎn)換債券價值低估問題。

可轉(zhuǎn)換債券;定價;期權(quán);二叉樹模型;風(fēng)險價格;均衡

可轉(zhuǎn)換債券簡稱“可轉(zhuǎn)債”或“轉(zhuǎn)債”，是在公司債券基礎(chǔ)上發(fā)展起來的金融衍生產(chǎn)品。早期的可轉(zhuǎn)換債券只有轉(zhuǎn)換權(quán)，經(jīng)過100多年的實踐和發(fā)展，其發(fā)行條款得到極大豐富，回售權(quán)、贖回權(quán)、特別向下修正條款及強(qiáng)制轉(zhuǎn)換權(quán)或單獨或組合出現(xiàn)在可轉(zhuǎn)債發(fā)行契約中，由于這些條款的執(zhí)行時間經(jīng)常與轉(zhuǎn)債發(fā)行期限及標(biāo)的股票價格的波動范圍捆綁在一起，可轉(zhuǎn)債的內(nèi)涵及價值形態(tài)日趨復(fù)雜，可轉(zhuǎn)債已經(jīng)成為資本市場最為復(fù)雜的金融產(chǎn)品之一，對可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價成為國內(nèi)外學(xué)者研究一項重要課題［1］。

以 Black-Scholes理論［2］(簡稱 B-S 理論)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代可轉(zhuǎn)債定價模型始于1977年，Ingersoll［3］就投融資人行為、市場狀況、公司市場價值和資本組成4個方面作了假定，將可轉(zhuǎn)債看作公司價值和到期時間的函數(shù)，利用期權(quán)定價理論建立了單因素結(jié)構(gòu)型定價模型，并用解析法求出了可轉(zhuǎn)債在無股利分配和無息票支付等幾種特殊情形下的解。模型中轉(zhuǎn)債價值可表示為債券、認(rèn)股權(quán)證、贖回3部分價值之和。Brennan［4］在Ingersoll工作的基礎(chǔ)上，假定轉(zhuǎn)換權(quán)隨時可以執(zhí)行對可轉(zhuǎn)債定價，并用數(shù)值法(差分法)求值。之后，Brennan［5］和 Carayannopoulos［6］等分別以 Brennan［4］的模型為基礎(chǔ)，通過引入不同的利率模型建立了雙因素可轉(zhuǎn)債定價模型［7-8］。Wolfgang Bühler［9］以轉(zhuǎn)債、股票及債券投資者之間的博弈確定最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略，并建立了可轉(zhuǎn)債定價模型。

McConnell［10］對 LYON(liquid yield option note)進(jìn)行了定價，將可轉(zhuǎn)債看作股票價格和時間的函數(shù)，沒有考慮利率等其他因素，建立了單因素簡約型可轉(zhuǎn)債定價模型。Goldman Sachs［11］利用 C-R-R 模型［12］對可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價，通過觀察可轉(zhuǎn)債在各節(jié)點轉(zhuǎn)換的可能來確定轉(zhuǎn)換的概率。Tsiveriotis［13］改變了 Goldman Sachs［11］人為確定轉(zhuǎn)換概率的辦法，通過將可轉(zhuǎn)債分為債券和權(quán)益兩個賬戶，在債券賬戶中引入信用基差來處理轉(zhuǎn)債所具有的信用風(fēng)險問題。Ho等［14-18］通過引入不同的利率模型建立了雙因素可轉(zhuǎn)債定價模型。也有學(xué)者就轉(zhuǎn)債市場的有效性、融資偏好及流動性等方面進(jìn)行了研究［19-21］。

然而，無論結(jié)構(gòu)型模型還是簡約型模型，從定價模型的實證檢驗結(jié)果來看都存在可轉(zhuǎn)債市場價值低估問題［1-21］。本文在考慮風(fēng)險價格均衡狀態(tài)的基礎(chǔ)上，建立可轉(zhuǎn)債定價模型，并以在中國證券市場交易的可轉(zhuǎn)債為樣本，利用股票價格估計公司價值及其波動率，對定價模型進(jìn)行實證分析。

一、風(fēng)險價格均衡定理證明及可轉(zhuǎn)債收益公式的提出

1.基本假定

本文在考慮了公司無股利分配、無利息支出等In-gersoll［3］關(guān)于可轉(zhuǎn)債定價的基本假定的同時，修改并補(bǔ)充其中部分條款如下:在可轉(zhuǎn)債的生命期，轉(zhuǎn)換條款恒定、轉(zhuǎn)換權(quán)可以隨時執(zhí)行;公司價值A(chǔ)是由債券價值B、股票價值S和可轉(zhuǎn)債價值C組成，A=B+C+S，C=cNC，S=sNS，其中NS表示公司的股票數(shù)量，NC表示可轉(zhuǎn)債的數(shù)量，c和s分別表示單位轉(zhuǎn)債和股票的市場價值;普通股股票是公司可交易資產(chǎn)之一?？赊D(zhuǎn)債的票面利率為無風(fēng)險利率r，面值總額為CF;債券票面利率為無風(fēng)險利率r，面值總額為BF;債券的到期日為TD，可轉(zhuǎn)債的到期日為T，TD大于T;可轉(zhuǎn)債的級別高于公司債券，即當(dāng)公司面臨破產(chǎn)時，可轉(zhuǎn)債投資者對公司財產(chǎn)的分配權(quán)優(yōu)于債券投資者。公司價值在概率測度(Ω，F(xiàn)，P)下，服從幾何布朗運(yùn)動 dA/A=μdt+σdw，漂移率μ和波動率σ是已知且恒定的，ω是概率測度(Ω，F(xiàn)，P)下一個標(biāo)準(zhǔn)維納過程。選取了可轉(zhuǎn)債的票面利率為無風(fēng)險利率，并在實證分析中以1年期存款利率作為無風(fēng)險利率。

2.轉(zhuǎn)債發(fā)行公司風(fēng)險資產(chǎn)之間存在風(fēng)險價格均衡及其證明

定理:在基本假定條件下，可轉(zhuǎn)換債券的風(fēng)險價格與公司價值的風(fēng)險價格相等。

證明:在公司市場價值服從幾何布朗運(yùn)動的假定下有式(1)，即

將可轉(zhuǎn)債的市場價值看作公司價值A(chǔ)和時間t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理，可轉(zhuǎn)債的動力學(xué)方程為

這里，式(2)中字母的下標(biāo)指一階或二階導(dǎo)數(shù)。

利用無套利理論，定義風(fēng)險價格為λ，可得到式(3)，即

即可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險價格與公司價值的風(fēng)險價格相等。

推論1:在基本假定條件下，股票的風(fēng)險價格與公司價值的風(fēng)險價格相等。

證明:根據(jù)假定條件得股票價格S為式(4)，即

根據(jù)定理可得式(6)，即

即股票的風(fēng)險價格等于公司價值的風(fēng)險價格。

推論2:在基本假定條件下，公司資產(chǎn)中所有風(fēng)險資產(chǎn)的風(fēng)險價格相等，公司中風(fēng)險資產(chǎn)處于風(fēng)險均衡狀態(tài)。

證明:由定理知公司價值的風(fēng)險價格等于可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險價格，由推論1知公司價值的風(fēng)險價格等于股票的風(fēng)險價格，故公司所有風(fēng)險資產(chǎn)的風(fēng)險價格相等，公司風(fēng)險資產(chǎn)處于風(fēng)險價格均衡狀態(tài)。

在本文模型與 Wolfgang Bühler［9］所建模型的基本假定相同的條件下，同樣的博弈參與者之間只能存在一種均衡狀態(tài)，這就是說本文中的風(fēng)險價格均衡狀態(tài)與Wolfgang Bühler的價格均衡狀態(tài)只有一種存在的可能。本文均衡狀態(tài)是依據(jù)基本假定條件直接推導(dǎo)出風(fēng)險價格之間存在均衡狀態(tài)。Wolfgang Bühler的均衡狀態(tài)是股票持有人、債券持有人、轉(zhuǎn)債持有人之間的動態(tài)博弈而求得均衡解，轉(zhuǎn)債的價格等于股票的價格(文中轉(zhuǎn)換比率為1)。從轉(zhuǎn)債市場的實際情況來看，股票價格不等于轉(zhuǎn)換價格是一種普遍現(xiàn)象，可轉(zhuǎn)債的同期波動遠(yuǎn)小于股票，可轉(zhuǎn)債的市場表現(xiàn)更為堅挺［21］。這點與可轉(zhuǎn)債本身特性有關(guān)，Wolfgang Bühler模型中的均衡狀態(tài)很少出現(xiàn)。

3.風(fēng)險價格均衡狀態(tài)下可轉(zhuǎn)債收益的計算

根據(jù)定理及推論，可以求得可轉(zhuǎn)債的收益計算方法如下:首先計算可轉(zhuǎn)債所承擔(dān)的風(fēng)險比率a，然后計算出可轉(zhuǎn)債的波動率σc，最后計算出可轉(zhuǎn)債收益率μC，具體方程組為

二、風(fēng)險價格均衡狀態(tài)下二叉樹可轉(zhuǎn)債定價模型的建立

1.建立模型

依據(jù)CRR［19］理論，假定可轉(zhuǎn)債的到期期限為T，二叉樹的步數(shù)為L，可轉(zhuǎn)債的面值為cF，令Δt=(T-t)/L，漂移率是公司市場價值的期望收益率μ(CRR理論中的漂移率為無風(fēng)險利率)，則有

依據(jù)這些參數(shù)可以計算在任意時刻公司的價值。

在轉(zhuǎn)債到期日，在時點T的節(jié)點i處，可轉(zhuǎn)債的面值為cFNC(T-1)，如果不執(zhí)行轉(zhuǎn)換，可轉(zhuǎn)債的贖回價值為

因此，到期日可轉(zhuǎn)債的總價值為CTi=max(CALLTi，XTi)。

當(dāng)執(zhí)行轉(zhuǎn)換時，轉(zhuǎn)債的風(fēng)險承擔(dān)率為1，當(dāng)不執(zhí)行轉(zhuǎn)換時轉(zhuǎn)債的風(fēng)險承擔(dān)率為0。

在可轉(zhuǎn)債到期日之前，時點T-1的節(jié)點i處用(T-1)i來表示，可轉(zhuǎn)債持有價值按如下步驟計算。

假設(shè)節(jié)點(T-1)i衍生的兩個節(jié)點為Ti和Ti+1，根據(jù)式(10)可以求出(T-1)i處可轉(zhuǎn)債的風(fēng)險承擔(dān)率a(T-1)I及可轉(zhuǎn)債收益 μC(T-1)i，用該收益率折現(xiàn)(Ti和Ti+1)處可轉(zhuǎn)債的均值 E(CT|φ(T-1)i)=puCu+pdCd，可以求得(T-1)i處可轉(zhuǎn)債的持有價值H(T-1)i和轉(zhuǎn)換價值為X(T-1)i，即

這里，當(dāng) H(T-1)i=min(A(T-1)i，cFNC(T-1)i)等于公司價值A(chǔ)(T-1)i時，公司出于違約狀態(tài)，可轉(zhuǎn)債被贖回，贖回價值為 CALL(T-1)i=min(A(T-1)i，cFNC(T-1)i)。因此，(T-1)i處可轉(zhuǎn)債的價值為 C(T-1)i=max(H(T-1)i，X(T-1)i，CALL(T-1)i)。

依次類推，可以求得可轉(zhuǎn)債其他節(jié)點處的價值。

2.模型中重要參數(shù)及公式特征

本文所得模型中重要參數(shù)及公式特征(見表1)。

表1 模型中重要參數(shù)及公式特征

三、模型檢驗

1.樣本及數(shù)據(jù)

(1)本文按交易時段分類隨機(jī)選取了尚在上交所交易的新鋼轉(zhuǎn)債、澄星轉(zhuǎn)債、博匯轉(zhuǎn)債和曾在上交所交易的雅戈轉(zhuǎn)債、恒源轉(zhuǎn)債為研究對象，新鋼轉(zhuǎn)債、澄星轉(zhuǎn)債、恒源轉(zhuǎn)債的交易時間選取2009年1月到2009年12月，博匯轉(zhuǎn)債為2010年1月至2010年12月交易時段;雅戈轉(zhuǎn)債時間選取從2005年3月31日到2006年3月31日，每月取兩天作為樣本點。

(2)變量。作為結(jié)構(gòu)型可轉(zhuǎn)債定價模型的變量是公司價值和時間。

(3)參數(shù)估計。二叉樹的步長Δt及步數(shù):步長為1年，步數(shù)為到期年數(shù)。

無風(fēng)險利率r的選取:我國可轉(zhuǎn)債的期限一般為3年期或5年期，期限都比較短，因此，本文將選取2005年1年期銀行固定存款利率2.52%作為雅戈轉(zhuǎn)債定價的無風(fēng)險利率。其他轉(zhuǎn)債類似。

公司價值波動率的估計:因為公司價值無法通過觀察得到，其波動率需要估計得到。在本文中，公司價值的波動率是利用可轉(zhuǎn)債發(fā)行公司相應(yīng)股票雅戈爾在2004年1月1日到2004年12月31日一段時間內(nèi)每日收盤價作為股票價格的觀察值，將股票看作公司價值與時間的函數(shù)(執(zhí)行價為公司2004年末公司資產(chǎn)負(fù)債表中負(fù)債總額)，采用極大似然估計法而得到。新鋼轉(zhuǎn)債等轉(zhuǎn)債與此類似。

公司價值的初值:是根據(jù)股票價格與公司價值的波動率利用B-S公式計算得到。

執(zhí)行價:在利用風(fēng)險均衡的二叉樹模型計算可轉(zhuǎn)債價值的過程中，執(zhí)行價為可轉(zhuǎn)債面值總額。

公司價值的收益率:雅戈轉(zhuǎn)債為雅戈爾公司2004年末公司的凈利潤除以公司2004年初資產(chǎn)價值。新鋼等轉(zhuǎn)債與此類似。

2.結(jié)果及分析

利用本文建立的可轉(zhuǎn)債定價模型，分別計算新鋼轉(zhuǎn)債和雅戈爾轉(zhuǎn)債的理論價格，使用Matlab實現(xiàn)該模型的計算過程，所得結(jié)果見表2、表3和表4。

表2 新鋼轉(zhuǎn)債價值比較

從表2、表3和表4可以看出，新鋼轉(zhuǎn)債理論價格與市場價格的平均偏差率為2.4%，雅戈轉(zhuǎn)債理論價格與市場價格的平均偏差率為-0.83%，其他幾只轉(zhuǎn)債的偏差率也比較小。而Ammann［1］對法國轉(zhuǎn)債檢驗的偏差率為3%，Carayannopoulos對美國轉(zhuǎn)債檢驗的偏差率為12.9%，楊立洪［22］對中國轉(zhuǎn)債檢驗的偏差率為10.36%;馬超群、唐耿［23］中國轉(zhuǎn)債檢驗的偏差率為7.39%，朱艷 芳［24］對 中國 轉(zhuǎn)債檢 驗的 偏 差率 為6.82%，這些偏差率都遠(yuǎn)高于本文模型的偏差率，因此，本文模型較好的解決了市場價值低估問題，這一方面可能是風(fēng)險價格均衡的結(jié)構(gòu)型定價模型具有本身的優(yōu)良特點，適合對中國可轉(zhuǎn)債市場定價;另一方面模型檢驗僅僅分析了兩個樣本，也許具有巧合性。另外，本模型檢驗偏差率的標(biāo)準(zhǔn)差位于4.1%和2.5%之間，反映出整體上理論價格與市場價格的偏離程度較小，模型比較可靠。

表3 雅戈爾轉(zhuǎn)債價值比較

表4 5只可轉(zhuǎn)債檢驗結(jié)果

四、結(jié) 語

本文在考慮可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換權(quán)益特點的基礎(chǔ)上，提出公司風(fēng)險資產(chǎn)之間存在風(fēng)險價格均衡的假定。在公司資產(chǎn)中含有股票、債券、可轉(zhuǎn)債3種資產(chǎn)的條件下，證明了風(fēng)險價格均衡狀態(tài)的存在，推導(dǎo)出風(fēng)險價格均衡狀態(tài)下可轉(zhuǎn)債收益率計算方法;以該收益率為折現(xiàn)率，建立了風(fēng)險價格均衡的結(jié)構(gòu)型二叉樹可轉(zhuǎn)債定價模型，并對模型進(jìn)行了實證分析。得到兩個主要結(jié)論:一是公司風(fēng)險資產(chǎn)之間存在風(fēng)險價格均衡;二是風(fēng)險價格均衡的結(jié)構(gòu)型二叉樹可轉(zhuǎn)債定價模型可以較好地解決可轉(zhuǎn)債市場價值低估問題。

然而，在實證分析的過程中，由于實證分析樣本偏少，模型的普遍性有待于更多的實證研究來驗證。

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Pricing Model and Empirical Analysis of Convertible Bonds Based on Risk-Price Equilibrium

ZHU Yan-fang，ZHANG Wei
(Faculty of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

This paper creates a novel pricing model of convertible bonds with binary tree theory after supposing and proving risk price equilibrium among firm's risk assets，and deducing the calculation method of return rate for convertible bonds based on some elemental assumptions involved stocks ，bonds and convertible bonds.Then，we use the new model to carry out investigating the pricing of Chinese convertible bonds as well.The result shows that five average deviation ratios are among 2.52%and-0.83%between market price and the theorectical value for two kind of convertible bonds.The lower average deviation rates than before show the model can effectively avoid underestimation of convertible bonds.

convertible bonds;pricing;option;binary tree model;risk-price;equilibrium

F830.91

A

1008-4339(2011)06-0493-05

2010-12-28.

朱艷芳(1967— )，女，博士研究生.

張 維，weiz@tjufe.edu.cn.