靜止軌道共位衛(wèi)星東西位置保持優(yōu)化控制

石善斌,韓秋龍,呂斌濤

(1.解放軍信息工程大學(xué) 測繪學(xué)院,河南 鄭州 450052;2.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所,北京 100094)

0 引言

多星共位是指在通常僅放置1顆衛(wèi)星的窗口(經(jīng)緯度±0.1°)內(nèi)保持2顆或以上的衛(wèi)星[1]。主要用于解決逐漸增加的靜止軌道衛(wèi)星與有限的軌道弧段間的矛盾。隨著靜止軌道衛(wèi)星數(shù)量的增多,多星共位將會更廣泛地應(yīng)用。由于攝動(dòng)因素的影響,共位星群需進(jìn)行定期的南北保持和東西保持,在滿足衛(wèi)星間相互隔離的前提下使其不超出位置保持窗口[2]。其中,共位衛(wèi)星的東西保持常采用太陽指向近地點(diǎn)策略對其偏心率矢量進(jìn)行控制,但該方法主要確定了在1 d中對衛(wèi)星進(jìn)行控制的最優(yōu)時(shí)刻,而對其他位置保持參數(shù)(如控制周期、偏心率控制圓半徑等)及共位衛(wèi)星保持參數(shù)未作優(yōu)化[3、4]。本文基于靜止軌道多星共位任務(wù)中東西位置保持中能量消耗與保持參數(shù)間關(guān)系的分析,提出了共位衛(wèi)星東西位置保持參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置方法。

1 傾角、偏心率隔離

對地球靜止軌道衛(wèi)星,其運(yùn)動(dòng)特性通常采用同步根數(shù)：平經(jīng)度漂移率D、偏心率矢量e、傾角矢量i和平恒星時(shí)角(平赤經(jīng))L描述,有

式中：Rs為地球靜止軌道半長軸;a,Ω,ω,M分別為衛(wèi)星的軌道半長軸、升交點(diǎn)赤徑、近地點(diǎn)幅角和平近點(diǎn)角。

從軌道隔離的角度來看,只要任意兩星間能實(shí)現(xiàn)隔離,就可實(shí)現(xiàn)多顆衛(wèi)星的共位運(yùn)行。傾角、偏心率隔離方法的基本原理是：所有衛(wèi)星共同占用整個(gè)經(jīng)度保持范圍,保持任意兩星的偏心率矢量差Δe和傾角矢量差Δi不為0,利用Δi使衛(wèi)星在不同的軌道平面產(chǎn)生法向方向的隔離,利用Δe產(chǎn)生徑向和經(jīng)度向的隔離,使兩星軌道平面交叉處也產(chǎn)生隔離,從而保證任兩星間的相互隔離[5]。

本文以常用的子午面內(nèi)傾角、偏心率隔離方法為例,討論靜止軌道共位衛(wèi)星東西位置保持參數(shù)的優(yōu)化設(shè)置方法。子午面內(nèi)傾角、偏心率隔離方法要求各共位衛(wèi)星間的Δe,Δi平行,由Δe產(chǎn)生共位衛(wèi)星的最小間隔距離為Rs|Δe|。子午面內(nèi)傾角、偏心率隔離方法傾角與偏心率矢量隔離設(shè)置分別如圖1、2所示。圖中：S1,S2,S3為3顆衛(wèi)星。

圖1 傾角隔離Fig.1 Inclination vector control box

圖2 偏心率隔離Fig.2 Eccentricity vector control circle

2 東西位置保持

靜止軌道衛(wèi)星在東西向的漂移由兩部分組成：一是地球形狀攝動(dòng)使衛(wèi)星平經(jīng)度產(chǎn)生漂移,另一是太陽光壓產(chǎn)生的偏心率攝動(dòng),引起衛(wèi)星的經(jīng)度日周期振蕩。衛(wèi)星經(jīng)度位置保持控制是,給定定點(diǎn)經(jīng)度位置為λs和位置保持半寬Δλs,使衛(wèi)星不漂移出控制范圍

2.1 平經(jīng)度保持策略

靜止軌道衛(wèi)星的平經(jīng)度主要受地球非球形引力的田諧項(xiàng)的影響。平經(jīng)度保持主要是利用東西機(jī)動(dòng)校正衛(wèi)星的漂移率,將一顆地球靜止軌道衛(wèi)星保持在一較窄的軌道窗口內(nèi)。由于共位星群中衛(wèi)星的相對距離較近,所受田諧項(xiàng)加速度基本相同。且在較小的軌道窗口(如1°)內(nèi)衛(wèi)星所受田諧項(xiàng)加速度近似相等,可認(rèn)為衛(wèi)星所受的地球橢狀攝動(dòng)力在軌道保持周期內(nèi)為一常值。在地球非球形攝動(dòng)的作用下,共位星群整體的經(jīng)度漂移運(yùn)動(dòng)與一顆靜止軌道衛(wèi)星相同,為一漂移極限環(huán)(如圖3所示),可表示為

每次經(jīng)度控制所需平經(jīng)度漂移率的修正量

圖3 經(jīng)度漂移極限環(huán)Fig.3 Mean longitude evolution

2.2 偏心率保持策略

衛(wèi)星軌道偏心率矢量主要受太陽光壓的影響。在太陽光壓作用下,衛(wèi)星的平偏心率增量垂直于陽光,指向太陽視運(yùn)動(dòng)方向。1 d內(nèi)平偏心率增量近似為常值,平偏心率矢量的端點(diǎn)跟隨太陽視運(yùn)動(dòng),1年內(nèi)在赤道坐標(biāo)面上描繪成一個(gè)偏心率攝動(dòng)圓。攝動(dòng)圓圓心位于通過初始平偏心率矢量的太陽光方向。因此,在太陽光壓作用下,平偏心率增量雖為常值,但平偏心率并不一定為常值,而取決于初始平偏心率的指向及其幅值。

在靜止軌道衛(wèi)星偏心率矢量保持策略中,太陽指向近地點(diǎn)策略是一種較常用的方法。如圖4所示,太陽指向近地點(diǎn)策略使衛(wèi)星的平偏心率矢量在控制周期內(nèi)始終保持在偏心率控制圓內(nèi),并使控制圓圓心至平偏心率矢量端點(diǎn)連線的平均方向指向太陽方向。該方法在衛(wèi)星面質(zhì)比穩(wěn)定時(shí)有很強(qiáng)的周期性,每次偏心率控制的增量基本相同并與太陽方向垂直,利于衛(wèi)星測控的實(shí)施。

圖4 太陽指向近地點(diǎn)策略Fig.4 Sun pointing perigee strategy

由圖4可知：太陽在1個(gè)保持周期T轉(zhuǎn)過的角度nST與太陽滯后角β滿足關(guān)系

式中：ec為衛(wèi)星控制圓半徑;ρ為衛(wèi)星攝動(dòng)圓半徑;nS為太陽視運(yùn)動(dòng)平均速度,且nS=0.017 2 rad/d。

由式(5)可知：當(dāng)β+n S T/2=π/2時(shí),偏心率保持周期最長,且

當(dāng)T確定時(shí),可由式(5)求出偏心率的控制目標(biāo)為：

a)太陽滯后角

b)每次偏心率修正量約為

當(dāng)偏心率保持周期已定時(shí),對偏心率攝動(dòng)圓半徑為ρ的衛(wèi)星,可將其偏心率控制在半徑最小為ecmin的控制圓內(nèi),且

2.3 東西保持機(jī)動(dòng)

切向推力和徑向推力均屬于平面內(nèi)機(jī)動(dòng)。采用切向推力的機(jī)動(dòng)稱為切向控制(亦稱東西控制或經(jīng)度控制),可改變衛(wèi)星的經(jīng)度漂移率和偏心率矢量。徑向推力的機(jī)動(dòng)僅改變衛(wèi)星的偏心率矢量,但同樣大小的徑向推力,只能達(dá)到切向推力的一半效果。與徑向控制相比,切向控制的效率更高[6]。因此,靜止軌道衛(wèi)星的東西保持機(jī)動(dòng)主要依靠切向推力實(shí)現(xiàn),很少采用徑向推力。

切向控制對靜止軌道根數(shù)的影響可用軌道機(jī)動(dòng)增量表示。切向推力Δvt引起的平經(jīng)度漂移率和偏心率矢量分別為

式中：vS為靜止軌道速度;sb為推進(jìn)時(shí)刻衛(wèi)星恒星時(shí)角;Δvt為切向推進(jìn)速度,向東為正,向西為負(fù)。

由于切向機(jī)動(dòng)不僅能引起偏心率矢量的變化,而且可導(dǎo)致軌道漂移率(半長軸)的變化,因此為優(yōu)化地面測控工作并減少燃料消耗,理想狀態(tài)的東西保持通常使衛(wèi)星平經(jīng)度保持控制周期與偏心率保持周期相同,利用平面內(nèi)機(jī)動(dòng)燃料消耗最優(yōu)準(zhǔn)則,同時(shí)對衛(wèi)星的偏心率矢量和平經(jīng)度進(jìn)行保持控制[5]。

3 保持參數(shù)優(yōu)化設(shè)置

本文將共位衛(wèi)星東西位置保持優(yōu)化的目的確定為：在滿足多星共位任務(wù)和減少測控工作量的前提下,使東西位置保持所消耗的能量最小。

東西位置保持控制所需的速度沖量主要用于平經(jīng)度和偏心率矢量的保持控制。由平面內(nèi)機(jī)動(dòng)燃料消耗最優(yōu)準(zhǔn)則可知：靜止軌道衛(wèi)星在1年中用于東西位置保持所需速度沖量的總量Δvew為平經(jīng)度和偏心率矢量保持控制所需速度沖量較大的部分,可表示為

式中：Δve,Δvl分別為共位衛(wèi)星平經(jīng)度和偏心率矢量的保持控制平均1年所需的速度沖量,且

此處：Y為1年的天數(shù)(約365.25 d);|Δe|為每次東西位置保持衛(wèi)星偏心率矢量的增量;|ΔD|為每次東西位置保持衛(wèi)星平經(jīng)度漂移率的改變量。

將式(3)、(4)、(10)代入式(13),有

將式(8)代入式(14),并綜合式(11)有

由此可知：Δvew主要與定點(diǎn)位置的平經(jīng)度漂移率、衛(wèi)星偏心率控制圓半徑ec,T和衛(wèi)星的偏心率攝動(dòng)圓半徑相關(guān)。因此,本文主要討論了這些參數(shù)對Δvew的影響,從而對共位衛(wèi)星東西位置保持參數(shù)選擇進(jìn)行優(yōu)化。

假設(shè)條件1：在±0.1°的定點(diǎn)窗口內(nèi),共位3顆面質(zhì)比相同的衛(wèi)星,偏心率攝動(dòng)圓半徑ρ=5.5×10-4,衛(wèi)星偏心率矢量保持差值|Δe|=0.000 2。根據(jù)式(12)僅考慮二階田諧項(xiàng),可計(jì)算其中1顆衛(wèi)星以不同保持周期在不同定點(diǎn)位置的Δvew,結(jié)果如圖5所示。

由式(15)可知：平經(jīng)度保持控制年度所需的速度沖量僅與定點(diǎn)位置平經(jīng)度加速度相關(guān)。僅考慮二階田諧項(xiàng)時(shí),靜止軌道衛(wèi)星在不同定點(diǎn)位置平經(jīng)度保持年度所需的速度沖量如圖6所示。當(dāng)衛(wèi)星的定點(diǎn)位置確定時(shí),平經(jīng)度保持控制年度所需的速度沖量唯一確定,與保持周期無關(guān)。比較圖5、6可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)周期不長(如圖5中T=7,14 d)時(shí),東西位置保持所需速度沖量為平經(jīng)度保持所需速度沖量;當(dāng)周期變長時(shí),東西位置保持所需速度沖量在較大處的增幅較大。這主要是保持周期和定點(diǎn)位置平經(jīng)度漂移率影響衛(wèi)星偏心率矢量的結(jié)果。因此,研究東西位置保持的優(yōu)化設(shè)置主要應(yīng)考慮偏心率保持控制。

圖5 不同定點(diǎn)位置和東西位置保持周期的年度速度消耗Fig.5 Δv for different longitudes with different EWSK durations

圖6 不同定點(diǎn)位置平經(jīng)度保持年度所需的速度沖量Fig.6 Δv for different longitudes with different cycle longitude keeping durations

根據(jù)式(16),偏心率保持控制所需的速度沖量主要與控制周期和偏心率控制圓半徑兩個(gè)參數(shù)相關(guān)。當(dāng)T確定時(shí),偏心率控制圓半徑ec越大,衛(wèi)星在1年中用于偏心率控制的速度沖量就越小。

偏心率引起衛(wèi)星經(jīng)度日周期性東西漂移幅度為2e。為保證衛(wèi)星不超出東西保持窗口,當(dāng)東西位置保持T確定時(shí),要求將所有共位星群中衛(wèi)星的偏心率矢量限制在一個(gè)半徑為emax偏心率保持圓內(nèi),即

由式(9),偏心率控制圓的半徑ec滿足

式中：ex,ey分別為偏心率矢量在x、y軸的分量。

由此可知：ec的取值范圍為。當(dāng)偏心率限制圓半徑emax確定時(shí),共位星群中增大各衛(wèi)星的偏心率控制半徑,必然會減小各衛(wèi)星的偏心率控制圓圓心距,使衛(wèi)星相對距離減小(不考慮傾角隔離的影響)。

假設(shè)條件2：共位3顆面質(zhì)比相同的衛(wèi)星偏心率攝動(dòng)圓半徑ρ=5.5×10-4,在定點(diǎn)窗口東經(jīng)116°±0.1°(=-0.001 99(°)/d2)內(nèi)實(shí)施共位。以T=21 d為例,計(jì)算其中一顆衛(wèi)星東西位置保持所需的年速度消耗和共位衛(wèi)星偏心率產(chǎn)生的最小間隔與偏心率控制圓半徑的關(guān)系以及與偏心率矢量差產(chǎn)生最小間隔的關(guān)系,結(jié)果分別如圖7、8所示。為使衛(wèi)星不超出東西位置保持窗口,并滿足21 d進(jìn)行1次偏心率控制的條件,共位星群中各衛(wèi)星的控制圓取值范圍均為[9.88×10-5,3.94×10-4]。

圖7 不同偏心率控制圓半徑的年速度消耗和衛(wèi)星最小間隔Fig.7 Δv and minimum distance of satellites with different radii of eccentricity control circle

由圖7可知：增大衛(wèi)星的偏心率控制圓半徑降低衛(wèi)星能量消耗的同時(shí)也使共位衛(wèi)星間偏心率產(chǎn)生的最小相對距離減小。當(dāng)各衛(wèi)星偏心率控制圓半徑大于一臨界值ecc時(shí)(圖7中ecc=3.5×10-4),由于平經(jīng)度保持所需速度沖量大于偏心率控制所需速度沖量,則年度速度消耗主要為平經(jīng)度保持所需速度消耗,繼續(xù)增大偏心率控制圓半徑也不會減少能量的消耗,但共位衛(wèi)星間最小距離仍會逐漸減小。

圖8 不同偏心率矢量差的年速度消耗和衛(wèi)星最小間隔Fig.8 Δv and minimum distanceof satellites with differentΔe

當(dāng)emax確定時(shí),共位衛(wèi)星間的偏心率矢量差|Δe|的大小和衛(wèi)星的偏心率控制圓半徑密切相關(guān),對年速度消耗和衛(wèi)星最小間隔的影響與偏心率控制圓半徑的影響相反。|Δe|也存在一臨界值|Δe|c(圖8中|Δe|c=0.9×10-4),當(dāng)|Δe|≤|Δe|c時(shí)年度速度消耗主要為平經(jīng)度保持所需速度消耗。

實(shí)時(shí)多星共位任務(wù)時(shí),為保證衛(wèi)星之間存在一定的安全距離,需滿足星群中各衛(wèi)星間的|Δe|大于一個(gè)允許的最小值Δemin,即

因此,當(dāng)控制周期和偏心率攝動(dòng)圓半徑確定時(shí),為減小共位衛(wèi)星東西位置保持的能量消耗,應(yīng)在式(17)、(19)的約束下,使共位星群中衛(wèi)星的ec盡可能大,直至臨界值ecc。

根據(jù)式(16),衛(wèi)星T變化時(shí)對其能量消耗產(chǎn)生直接影響。由式(1)、(4)可得T的變化和偏心率限制圓半徑滿足關(guān)系

在某一定點(diǎn)位置,增大衛(wèi)星的保持周期,會使共位星群的偏心率限制圓半徑emax減小。若欲保持ec不變,則需減小|Δe|,減小衛(wèi)星間的最小距離(不考慮傾角隔離的影響);若欲保持衛(wèi)星間的|Δe|不變,則需相應(yīng)減小衛(wèi)星的ec,從而對衛(wèi)星東西位置保持所需能量產(chǎn)生影響。

根據(jù)假設(shè)條件2,為保證衛(wèi)星間存在一定的最小距離,設(shè)置衛(wèi)星偏心率控制圓圓心距|Δe|=0.000 2(衛(wèi)星間由此產(chǎn)生的隔離約8.4 km),各衛(wèi)星的偏心率控制圓半徑選擇允許范圍內(nèi)的最大值。計(jì)算一顆衛(wèi)星東西位置保持周期與最低年度速度消耗的關(guān)系,結(jié)果如圖9所示。由圖可知：當(dāng)東西位置保持周期小于一臨界值Tc時(shí)(圖9中Tc=19 d),偏心率限制圓較大,平經(jīng)度保持所需速度沖量大于偏心率控制,年度速度消耗主要是平經(jīng)度保持所需速度消耗(圖9中約為2.06 m/s);當(dāng)周期大于Tc時(shí),平經(jīng)度保持所需速度沖量小于偏心率控制所需速度沖量,年度速度消耗主要體現(xiàn)為偏心率控制所需速度消耗,最低年度速度消耗隨東西位置保持周期的增大而開始快速增大。

圖9 不同東西位置保持周期的最低年度速度消耗Fig.9 Δv minimum for different EWSK durations

從能量最省的角度考慮,應(yīng)選擇東西位置保持周期T≤Tc,可使衛(wèi)星東西位置保持所需能量最小。為便于測控任務(wù)的實(shí)施,常將保持周期設(shè)置為7 d的整倍數(shù),如7,14 d。若為減少衛(wèi)星生命周期測控任務(wù)的工作量,并考慮能量的消耗最小,則應(yīng)選擇T=Tc。

b)由式(15)、(16),將Tc作為保持周期在上述條件下計(jì)算各衛(wèi)星的偏心率控制圓半徑的臨界值ecc,在能量消耗最小的情況下使偏心率矢量差最大。

用上述方法,根據(jù)假設(shè)條件2,可算得Tc=19 d,ecc=3.438 6×10-4,由ecc,|Δe|的關(guān)系可得|Δe|=2.372 6×10-4(衛(wèi)星間由此產(chǎn)生的隔離約10 km),大于Δemin=0.000 2。

該方法在滿足衛(wèi)星隔離條件的前提下,考慮了減少測控實(shí)施的次數(shù),并使衛(wèi)星東西位置保持所需能量最小。但當(dāng)衛(wèi)星面質(zhì)比較高(即衛(wèi)星偏心率攝動(dòng)圓半徑較大)或位置保持半寬較窄時(shí),無法獲得Tc。

同樣在定點(diǎn)窗口東經(jīng)116°±0.1°內(nèi)實(shí)施共位,計(jì)算不同偏心率攝動(dòng)圓半徑時(shí)的Δvew和不同平經(jīng)度保持環(huán)半寬的Δvew分別如圖10、11所示。由圖10可知：當(dāng)ρ增大時(shí),Δvew有較大提高。當(dāng)ρ=11×10-4時(shí),對不同的東西保持周期,其偏心率保持所需速度沖量Δve均大于平經(jīng)度保持所需速度沖量Δvl,Δvew主要為Δve并隨ρ的增大而增大。由圖11可知：當(dāng)位置保持半寬Δλs減小時(shí),Δvew有較大提高,且當(dāng)Δλs小于某一值,對不同的東西保持周期,Δvew主要是Δve并隨Δλs減小而增大。這時(shí),只有根據(jù)實(shí)際情況盡可能采用較短的T,并設(shè)置共位星群衛(wèi)星間偏心率矢量差為Δemin,才能使所需Δvew較小。

圖10 不同偏心率攝動(dòng)圓半徑時(shí)東西位置保持周期的年度速度消耗Fig.10 Δv f or different EWSK durations with dif ferent radii of eccentricity control circle

圖11 不同平經(jīng)度保持環(huán)半寬時(shí)東西位置保持周期的年度速度消耗Fig.11 Δv minimum for dif ferent EWSK durations with differentΔλ

4 結(jié)束語

本文通過對共位衛(wèi)星東西保持參數(shù)對其能量消耗影響的分析,提出了一種共位衛(wèi)星保持的優(yōu)化方法。該方法在滿足衛(wèi)星隔離條件的前提下,考慮了減少測控實(shí)施的次數(shù),并使衛(wèi)星東西位置保持所需能量最小。采用此方法,不但利于靜止軌道多星共位任務(wù)的規(guī)劃設(shè)計(jì),而且可對單一靜止軌道衛(wèi)星的東西位置保持進(jìn)行優(yōu)化。

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