夾芯的典型參數(shù)對(duì)夾層板受迫振動(dòng)影響分析

衛(wèi)洪濤,孔憲仁

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所,黑龍江 哈爾濱 150086)

0 引言

蜂窩夾層板因其高比硬度和比剛度在工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用,尤其是航天器大量采用蜂窩夾層結(jié)構(gòu)用于外殼面板、承載結(jié)構(gòu),研究蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)研究整個(gè)航天器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)意義重大。對(duì)蜂窩板自由振動(dòng)的研究獲得了大量成果,由不同假設(shè)前提可建立不同的位移場(chǎng),進(jìn)而通過(guò)虛位移原理和變分方法得到夾層板的運(yùn)動(dòng)方程以預(yù)測(cè)蜂窩夾層板自由振動(dòng)[1]。研究多針對(duì)蜂窩板的自由振動(dòng)進(jìn)行建模分析[2、3]。文獻(xiàn)[2]用一階和高階剪切理論,通過(guò)漢密爾頓方程推導(dǎo)了四邊簡(jiǎn)支蜂窩夾層板的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,假設(shè)解為納維解的簡(jiǎn)化形式,代入運(yùn)動(dòng)方程,用解得的代數(shù)方程組得到夾層板的低階基頻,另還研究了蜂窩胞元構(gòu)造、夾心層高度及蜂窩胞元大小對(duì)蜂窩夾層板自由振動(dòng)基頻的影響。文獻(xiàn)[3]用漢密爾頓方法推導(dǎo)了一階剪切理論蜂窩夾層板的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,用類似文獻(xiàn)[2]的方法求解夾層板基頻,討論了經(jīng)典理論和一階剪切理論模型在求解蜂窩板不同階次振動(dòng)頻率時(shí)的差別,以及蜂窩芯剪切模量和蜂窩夾芯密度對(duì)蜂窩板低階頻率的影響。本文從受迫振動(dòng)角度分析了蜂窩夾層板受迫振動(dòng)響應(yīng),比較了經(jīng)典假設(shè)和一階剪切理論兩種方法的計(jì)算結(jié)果,用一階剪切理論運(yùn)動(dòng)方程研究了蜂窩夾芯層泊松比對(duì)整板振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 位移場(chǎng)定義

采用經(jīng)典板假設(shè)和一階剪切理論研究夾層板的受迫振動(dòng),蜂窩夾層板的坐標(biāo)系如圖1、2所示。圖中：h為蜂窩夾芯的沿y向的壁板邊長(zhǎng);θ為蜂窩夾芯傾斜壁板與ox軸的夾角;t為蜂窩夾芯胞元的壁板厚度;l為蜂窩夾芯胞元的傾斜壁板邊長(zhǎng)。

圖1 蜂窩夾層板坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate of sandwich panel

圖2 蜂窩夾芯胞元示意Fig.2 Cell of honeycomb core

經(jīng)典板假設(shè)位移場(chǎng)可表示為

式中：ui,vi,wi分別為蜂窩夾層板各層任意點(diǎn)x、y、z向的位移;x,y,z為坐標(biāo)。此處：i=1,2,3。

一階剪切理論夾層板位移場(chǎng)可表示為

式中：φ(x,y,t),ψ(x,y,t)分別為平面xoz、yoz內(nèi)夾層板中面垂線彎曲后的角度。

2 夾層板運(yùn)動(dòng)方程

由虛位移原理,對(duì)整個(gè)夾層板可得

式中：σix,σiy,σixy,σixz,σiyz為 蜂窩夾層板各層應(yīng)力;εix,εiy,εixy,γixz,γiyz為蜂窩板各層應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變;ρi為蜂窩夾層板各層的密度;q(x,y,t)為蜂窩夾層板面板所受的均布載荷;δ為變分符號(hào)。將式(3)代入位移場(chǎng),經(jīng)變分運(yùn)算并在z向積分得運(yùn)動(dòng)方程為

a)經(jīng)典板假設(shè)

b)一階剪切理論

式中：Qixz,Qiyz分別為蜂窩夾層結(jié)構(gòu)各層在平面xoz、yoz的剪切力;σix=[Ei/(1-(μi)2)](εix+μiεiy);σiy=[Ei/(1-(μi)2)](εiy+μiεix);σixy=[Ei/(2+μi)]γixy;Mij為蜂窩夾層板各層力矩,且Mij=,Ii,分別為各層密度及其與z2乘積在各層內(nèi)z向的積分,且。此處：Ei,μi分別為蜂窩夾層板各層的彈性模量和泊松比;j=x,y,xy。

3 數(shù)值仿真及典型算例

工程上關(guān)注的低階振動(dòng)頻率可用伽遼金方法近似獲得。對(duì)四邊簡(jiǎn)支的蜂窩夾層板,滿足邊界條件的近似解為

a)經(jīng)典板假設(shè)

b)一階剪切理論

式中：a為蜂窩夾層板長(zhǎng)。令i=j=1,即得低階的振動(dòng)頻率。運(yùn)用伽遼金方法的步驟為：

a)將應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系代入運(yùn)動(dòng)方程,蜂窩夾芯層彈性模量取文獻(xiàn)[2]數(shù)值;

b)將滿足邊界條件的解代入運(yùn)動(dòng)方程,同時(shí)在式(5)的3個(gè)分式兩邊分別乘cos(πx/a)sin(πx/b),sin(πx/a)cos(πx/b),sin(πx/a)sin(πx/b)(經(jīng)典板假設(shè)理論乘sin(πx/a)sin(πx/b));

c)在整個(gè)板面進(jìn)行面積分,得由φ(t),ψ(t),w(t)表示的偏微分方程(經(jīng)典板假設(shè)理論是用w(t)表示的一個(gè)等式)。

這樣可得有3個(gè)未知數(shù)的偏微分方程組,本文用Matlab/Simulink軟件求數(shù)值仿真解。步驟為：

a)建立Simulink模型,偏微分方程組的未知數(shù)為φ(t),ψ(t),w(t);

b)選擇一適當(dāng)?shù)耐饧虞d荷幅值及仿真外加激勵(lì)力的頻率范圍;

c)用Matalb軟件中的m文件控制Simulink仿真,根據(jù)所選的幅值在選擇的頻率范圍內(nèi)進(jìn)行批量仿真;

d)返回步驟b),改變外加載荷幅值,重復(fù)步驟b)、c)可得蜂窩夾層板不同外加載荷幅值的幅頻響應(yīng)圖。

設(shè)典型鋁蜂窩夾芯板的面板及正六邊形蜂窩芯的材料均為鋁,各參數(shù)為：a=1 m,寬b=1 m,鋁密度ρ=2 780 kg/m3,芯層厚度hc=24.4 mm,面板層厚度d=0.3 mm,面板彈性模量E s=70 GPa,l=4 mm,t=0.04 mm。比較經(jīng)典理論與一階理論間的差異,并用一階理論研究泊松比對(duì)振動(dòng)頻率的影響。

為便于比較,令芯層厚度為0,改變面板層厚度,比較兩種方法。令hc=0 mm,在d分別為0.1,0.2 mm(其他參數(shù)不變)條件下,兩種板假設(shè)理論獲得的夾層板幅頻響應(yīng)如圖3、4所示。由圖可得夾層板的一階基頻。

比較發(fā)現(xiàn)：經(jīng)典理論和一階剪切理論所得的蜂窩夾層板基頻相差10-1Hz量級(jí),表明一階剪切理論模型可靠。

圖3 d=0.1 mm時(shí)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of a classical plate theory and low order shear deformation when d=0.1 mm

圖4 d=0.2 mm時(shí)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of a classical plate theory and low order shear deformation when d=0.2 mm

4 蜂窩夾芯泊松比對(duì)整板振動(dòng)的影響

單獨(dú)的蜂窩夾芯層的靜態(tài)力學(xué)研究可得泊松比較大的結(jié)論[4、5]。部分文獻(xiàn)在用數(shù)值方法研究蜂窩夾層板的振動(dòng)響應(yīng)時(shí),均采用工程數(shù)值0.3。本文基于一階剪切理論模型,討論蜂窩夾芯的泊松比對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。設(shè)蜂窩板參數(shù)不變,hc=10 mm,d=0.3 mm,泊松比從0.2增至1.0,步長(zhǎng)0.1,仿真所得不同泊松比的一階頻率響應(yīng)見(jiàn)表1,幅頻響應(yīng)如圖5所示。由圖中共振峰位置可得不同蜂窩夾層泊松比的蜂窩夾層板一階頻率。

由仿真結(jié)果可知：當(dāng)蜂窩夾芯泊松比為0.1～0.9時(shí),對(duì)結(jié)果的影響較小;當(dāng)泊松比為0.9～0.999 9…時(shí),響應(yīng)結(jié)果間的差異明顯增大,尤其是當(dāng)泊松比為0.999～0.999 9…時(shí),夾芯彎矩急劇增加,顯著改變了響應(yīng)。根據(jù)該算例,泊松比為0.999 9,0.9間的差異可達(dá)19.3%。

表1 不同蜂窩夾芯泊松比的一階頻率響應(yīng)Tab.1 Low order natural frequency with various Poisson ratio

圖5 選擇不同蜂窩夾芯層泊松比蜂窩板的幅頻響應(yīng)Fig.5 Amplitude under frequency of a specific honeycomb coresandwich panel with dif ferent Poisson ratio

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)蜂窩夾層板受迫振動(dòng)進(jìn)行了研究。比較了經(jīng)典假設(shè)和一階剪切理論的計(jì)算結(jié)果。分析表明后者可行?；诶碚撃Ｐ?討論了研究蜂窩夾芯的泊松比對(duì)響應(yīng)結(jié)果的影響,發(fā)現(xiàn)泊松比在接近1時(shí)對(duì)響應(yīng)有顯著的影響。研究對(duì)蜂窩夾層板的非線性振動(dòng)響應(yīng)和工程應(yīng)用有一定的參考價(jià)值。

[1]IRVING H.Energy and finite element methods in structural mechanics[M].Washington：Hemisphere Pub,1996.

[2]LIU Q L,ZHAO Y.Effect of soft honeycomb core on flexural vibration of sandwich panel using low order and high order shear deformation models[J].Journal of Sandwich Structures and Materials,2007(9)：95.

[3]LIU Q L,ZHAO Y.Prediction of natural f requencies of a sandwich panel using thick plate theory[J].Journal of Sandwich Structures and Materials,2001(3)：289.

[4]GIBSON L J.The mechanics of two-dimensional cellular materials[J].Proc R Soc Lond,1982.

[5]祝 濤,王德禹.蜂窩芯層非線性等效彈性參數(shù)[J].上海航天,2008,25(4)：51-54.