包帶連接力學(xué)分析與建模

白紹竣,梁 魯,張 靜,鄭鋼鐵

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001;2.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院,北京 100084)

0 引言

包帶連接分離機(jī)構(gòu)廣泛用于航天工程,其主要功能是實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星與火箭的連接和分離。包帶機(jī)構(gòu)由卡塊、包帶和爆炸螺栓等部件組成。在裝配中,通過扭轉(zhuǎn)兩端的預(yù)緊力螺栓控制包帶中的預(yù)緊力,由控制卡塊對上下連接環(huán)的夾緊力實(shí)現(xiàn)連接。當(dāng)飛行器到達(dá)目的地后,爆炸螺栓起爆解鎖實(shí)現(xiàn)星箭分離。

包帶連接對結(jié)構(gòu)的剛度影響非常大,直接關(guān)系系統(tǒng)的動力學(xué)特性。隨著有限元仿真技術(shù)的成熟,對衛(wèi)星和火箭進(jìn)行有限元建模分析已成為一種常用的工程方法,但對包帶連接進(jìn)行建模未見諸相關(guān)報(bào)道,即使關(guān)于包帶連接其他方面的研究文獻(xiàn)也非常少。如美國家航空航天局(NASA)的包帶機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)指導(dǎo)(文獻(xiàn)[1])給出了包帶機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時的注意要點(diǎn);文獻(xiàn)[2]對包帶安裝預(yù)緊力和連接剛度作了簡單分析;文獻(xiàn)[3]用軸對稱有限元方法對包帶連接的承載能力進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[4、5]研究了矩形和V形截面連接箍裝置的預(yù)緊力與應(yīng)力間的關(guān)系,對包帶連接研究有重要的參考意義。

部分有限元計(jì)算中,多將包帶結(jié)構(gòu)簡化為一組短梁,短梁的位置與卡塊相對應(yīng),以模擬由包帶導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)剛度變化。這樣雖可簡化計(jì)算,特別是避免了非線性問題,但短梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)較難選擇。雖可用參數(shù)識別或試湊等方法從實(shí)驗(yàn)中獲得對應(yīng)的參數(shù),但包帶的參數(shù)隨力的幅值大小而變,特別是在動載荷作用時參數(shù)不能簡單認(rèn)為是定常。因此,直接進(jìn)行包帶的建模是保證計(jì)算結(jié)果的可靠性和正確性的一條重要技術(shù)途徑。

本文用有限元方法對包帶連接的力學(xué)建模進(jìn)行了研究。

1 包帶有限元模型

一典型包帶連接機(jī)構(gòu)如圖1所示。包帶連接力學(xué)行為復(fù)雜,其中涉及多個部件的相互接觸,與安裝預(yù)緊力等因素關(guān)系密切。首先需對包帶預(yù)緊力、連接環(huán)與卡塊間的作用力,以及兩連接環(huán)間的作用力進(jìn)行分析,再根據(jù)接觸力在連接環(huán)周向的分布將其等效到單元節(jié)點(diǎn)上。另外,建立衛(wèi)星有限元模型時,對連接環(huán)常采用梁單元建模。因此,本文分析均在梁單元的基礎(chǔ)上進(jìn)行,且要求上下連接環(huán)的單元劃分形式一致,上下節(jié)點(diǎn)相互對應(yīng)。

圖1 包帶連接分離機(jī)構(gòu)Fig.1 Marman clamp band system

1.1 預(yù)緊力分析與節(jié)點(diǎn)力等效

預(yù)緊力是包帶連接安裝時需考慮的最重要參數(shù)之一,對連接性能的影響非常大。預(yù)緊力可通過測量包帶的應(yīng)變獲得,而包帶的應(yīng)變也是工程中確定預(yù)緊力的參照指標(biāo)。

嚴(yán)格來說,包帶與卡塊間的壓力fb、卡塊與連接環(huán)間的正壓力fN在卡塊間隙以外的圓周上分布并不均勻。造成作用力不均的因素有摩擦力、卡塊和包帶的彎曲不均勻等多種。但一般包帶的厚度較薄,卡塊的間隙較小,并常采取降低接觸面的粗糙度和在安裝過程中加潤滑劑等措施以減小摩擦力,這樣可有效降低fb,fN的不均勻程度。因此,本文分析忽略了摩擦力并假設(shè)fb,fN在卡塊間隙以外的圓周上均布,包帶以及卡塊受力如圖2所示。根據(jù)力的平衡方程有

式中：Tb為包帶內(nèi)力;Rb為包帶半徑;α為卡塊內(nèi)斜面角度;m為卡塊數(shù)量;ω為環(huán)向角度;ωi,′分別為第i個卡塊的起始和截至的環(huán)向角度。對式(1)積分化簡可得Tb,fb滿足關(guān)系

圖2 包帶及卡塊受力分析Fig.2 Loading analysis of strap and V-segment

當(dāng)忽略摩擦力及卡塊開口變形時,可認(rèn)為fN的大小主要取決于包帶的初始周長和變形后的周長,而包帶周長又主要取決于連接環(huán)的變形和兩連接環(huán)間的相對位移,因此在有限元模型中體現(xiàn)為包帶周長取決于連接環(huán)節(jié)點(diǎn)的位移。為分析包帶周長與連接環(huán)節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系,需引入包帶節(jié)點(diǎn),每個包帶節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一對相互對應(yīng)的上下連接環(huán)節(jié)點(diǎn),且假設(shè)它們間有確定的約束關(guān)系,根據(jù)約束關(guān)系可將包帶節(jié)點(diǎn)的自由度轉(zhuǎn)為對應(yīng)的連接環(huán)節(jié)點(diǎn)自由度,故引入包帶節(jié)點(diǎn)并不增加有限元模型的分析自由度。設(shè)帶節(jié)點(diǎn)的初始位置為[xb0yb0zb0]T,它們與對應(yīng)的上下連接環(huán)節(jié)點(diǎn)的初始位置分別為滿足關(guān)系

為簡化問題,考慮包帶節(jié)點(diǎn)僅有3個位移自由度。設(shè)其與對應(yīng)的上下連接環(huán)節(jié)點(diǎn)位移[u′ v′ w′]T,[u v w]T間的關(guān)系滿足

式(7)、(8)右端第二項(xiàng)表示了上下連接環(huán)單元節(jié)點(diǎn)軸向位移w′,w與對應(yīng)包帶節(jié)點(diǎn)位移ub,vb間的關(guān)系,如圖3所示。圖中：實(shí)線為連接環(huán)與卡塊未發(fā)生位移時的狀態(tài);虛線為連接環(huán)發(fā)生一定軸向位移后的狀態(tài)。將包帶節(jié)點(diǎn)的初始位置與位移相加即可得發(fā)生位移后包帶節(jié)點(diǎn)的位置[xbybzb]T。

圖3 連接環(huán)軸向位移與卡塊徑向位移的關(guān)系Fig.3 Relationship between axial displacements of adapter rings and radial displacement of V-segment

在有限元模型中,可用所有相鄰包帶節(jié)點(diǎn)間距離的和近似代替包帶的周長c(顯然連接環(huán)劃分單元數(shù)越多,周長就越精確),即

式中：xbi,ybi,zbi為各包帶節(jié)點(diǎn)的位置;i=1,…,n。此處：n為連接環(huán)劃分的有限單元數(shù)。由此可得

式中：c0為Tb=0時的包帶周長;E為包帶材料的彈性模量;A為包帶的截面積。聯(lián)立式(2)、(3)、(11),可得

fN對截面形心的轉(zhuǎn)矩

式中：dN為截面形心至fN的垂直距離,如圖4所示。

為分析fN在單元節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力,需先建立一局部坐標(biāo)系,坐標(biāo)系的Y向指向連接環(huán)的軸心線,Z向與連接環(huán)的軸心線平行,如圖5所示。在沿連接環(huán)的圓周方向,由于卡塊間的間隙,fN的實(shí)際作用長度為連接環(huán)周長的倍。此處：δ為卡塊間隙的角度(如圖2所示)。故在每個單元上亦假設(shè)fN的作用長度為單元長度的倍。則fN在上下連接環(huán)單元節(jié)點(diǎn)的等效載荷向量可表示為

圖4 連接環(huán)截面受力Fig.4 Loading of adapter ring section

式中：l為單元長度。此處：忽略了fN引起的Y、Z向的轉(zhuǎn)矩。

圖5 包帶環(huán)箍力在單元節(jié)點(diǎn)上的等效Fig.5 Equivalent node loads of clamp hoop force

式中：Γge為單元坐標(biāo)至整體坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換陣。再跟據(jù)節(jié)點(diǎn)組裝后可得整體坐標(biāo)系中的等效單元節(jié)點(diǎn)載荷向量FN。

1.2 連接環(huán)接觸力分析與節(jié)點(diǎn)力等效

上下連接環(huán)之間接觸力的分析采用局部坐標(biāo)系。

由于包帶預(yù)緊力的作用,卡塊將上下連接環(huán)緊緊地夾在一起,使初始狀態(tài)的上下連接環(huán)間就有一定的相互作用力?？烧J(rèn)為相互作用力的大小主要取決于上下連接環(huán)間的軸向相對位移Δw=w-w′及上下連接環(huán)截面轉(zhuǎn)角θ,θ′,其變形幾何關(guān)系如圖6所示。圖中：楔形區(qū)域?yàn)榧僭O(shè)的接觸變形區(qū)域;hc,lc為接觸變形區(qū)域的相關(guān)尺寸,分別是接觸變形區(qū)域的深度和長度,且

此處：dt,φ為與連接環(huán)截面形狀和尺寸有關(guān)的參數(shù)。

圖6 連接環(huán)截面變形Fig.6 Deformation of section of adaptor rings

根據(jù)兩連接環(huán)的接觸狀態(tài),即接觸變形區(qū)域的長度lc與連接環(huán)截面寬度dl的關(guān)系將接觸力分為3個階段：脫離接觸階段(階段Ⅰ),lc=0;部分接觸階段(階段Ⅱ),lc＜dl;完全接觸階段(階段Ⅲ),lc≥dl。其中后兩個階段的接觸力在截面內(nèi)的分布假設(shè)如圖7所示。分布力pc可表示為

圖7 兩連接環(huán)間的接觸力分布Fig.7 Distribution of contact forceat stageⅡandⅢ

式中：ρ為表征兩連接環(huán)接觸剛度的常數(shù),即由接觸引起的局部變形剛度,與連接環(huán)的材料、形狀尺寸和摩擦因數(shù)等有關(guān),很難給出精確的數(shù)值,根據(jù)接觸力學(xué)中的理論,一般可取為。此處：Er為連接環(huán)材料的彈性模量。

在沿連接環(huán)圓周方向上,假設(shè)接觸力pc在以節(jié)點(diǎn)為中點(diǎn)的每個單元長度內(nèi)均布,則其等效節(jié)點(diǎn)力和相對截面形心的等效節(jié)點(diǎn)力矩可用分段形式分別表示為

在局部坐標(biāo)系中可表示為節(jié)點(diǎn)載荷向量形式

載荷的方向如圖8所示。

圖8 連接環(huán)接觸力在單元節(jié)點(diǎn)上的等效Fig.8 Equivalent nodeloads of contact force between twoadaptor rings

式中：Γge為從單元坐標(biāo)系至整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換陣。根據(jù)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行組裝,可得整體坐標(biāo)系中的等效單元節(jié)點(diǎn)載荷向量Fc。

2 模型求解及其線性化

對含包帶連接的航天器結(jié)構(gòu)的有限元模型,其整體平衡方程可表示為

式中：k為剛度陣;u為位移;P為外載荷;下標(biāo)n,i分別表示非包帶連接界面自由度和包帶連接界面自由度;ug為整體節(jié)點(diǎn)的位移,且ug=[unui]T;Fc,FN為包帶連接接觸力的等效節(jié)點(diǎn)載荷。

因式(27)中有非線性項(xiàng)Fc+FN,是一個非線性代數(shù)方程組,故本文用New ton-Raphson法求解。定義平衡方程的余量

選定一初始估值,進(jìn)行迭代

結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)是工程中普遍關(guān)心的動力學(xué)參數(shù),而對一個非線性系統(tǒng),尚無成熟辦法求解其固有頻率和模態(tài)。對非線性系統(tǒng)常采用線性化處理,本文在靜力平衡位置處進(jìn)行泰勒展開并忽略高次項(xiàng)對方程進(jìn)行線性化,即采用在平衡位置處求得的Kg近似替代系統(tǒng)的剛度陣進(jìn)行動力學(xué)計(jì)算。線性化后系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示為

式中：Mg為整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣。對卡塊與包帶的質(zhì)量,可用將卡塊和包帶的總質(zhì)量均布到各連接界面節(jié)點(diǎn)上方法等效。

3 應(yīng)用

為驗(yàn)證本文提出的方法,將其用于某衛(wèi)星的有限元建模。該衛(wèi)星有2個基本相同的包帶連接(如圖9所示)。其中：包帶Ⅰ用于星箭分離,包帶Ⅱ用于分離變軌發(fā)動機(jī)。由包帶連接的各部分結(jié)構(gòu)的有限元模型均為根據(jù)部件各自單獨(dú)的試驗(yàn)結(jié)果修正后的模型。因此,可排除其他結(jié)構(gòu)的建模誤差而驗(yàn)證包帶連接力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。計(jì)算中,采用的衛(wèi)星有限元模型在通用商業(yè)有限元軟件中建立,并輸出系統(tǒng)的剛度矩陣和載荷向量(所輸出的系統(tǒng)剛度矩陣中不含包帶連接剛度陣kbb);再讀出輸出的系統(tǒng)剛度陣和載荷向量并編程,根據(jù)包帶預(yù)緊力和初始估計(jì)位移值確定FN,Fc并按式(29)進(jìn)行迭代,求得位移ug,在ug處進(jìn)行線性化獲得近似包帶連接剛度kbb;將kbb導(dǎo)入有限元軟件中計(jì)算模態(tài)。取包帶連接相關(guān)參數(shù)為ρ=2×1010N/m2;φ=π/9 rad;l=59.32 mm;α=π/12 rad;dl=12 mm;E=2×1011Pa;A=40 mm2;dc=6 mm;dt=6.25 mm;Rb=453.5 mm;dN=5 mm;Tb=2×104N;δ=π/90 rad;m=26個。計(jì)算所得前三階彎曲振型如圖10～12所示。為分析包帶連接對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響,分別將計(jì)算結(jié)果與剛性連接和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較,結(jié)果見表1。由表可知：采用包帶連接模型后的計(jì)算結(jié)果更接近于試驗(yàn)值,且包帶連使結(jié)構(gòu)的固有頻率明顯降低,其影響需在建模和設(shè)計(jì)時給予充分考慮。

圖9 衛(wèi)星有限元模型Fig.9 Finite element model of some satellite

圖10 衛(wèi)星的一階彎曲模態(tài)(12.63 Hz)Fig.10 Modal shape of some satellitewith 1 order of bend(12.63 Hz)

圖11 衛(wèi)星的二階彎曲模態(tài)(41.08 Hz)Fig.11 Modal shape of some satellite with 2 order of bend(41.08 Hz)

圖12 衛(wèi)星的三階彎曲模態(tài)(66.41 Hz)Fig.12 Modal shape of some satellitewith 3 order of bend(66.41 Hz)

表1 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)比較Tab.2 Comparison of simulation and experiment

4 結(jié)束語

本文對包帶連接分離機(jī)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)建模,分析了包帶預(yù)緊力、卡塊與連接環(huán)間的接觸力,以及兩連接環(huán)間的接觸力,并在此基礎(chǔ)上將接觸力等效為單元節(jié)點(diǎn)力實(shí)現(xiàn)了包帶連接的有限元建模,用泰勒展開對模型進(jìn)行線性化,討論了包帶連接對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。某衛(wèi)星的算例結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。但包帶連接涉及的接觸面多,接觸面的摩擦和常伴有的應(yīng)力集中與塑性變形均增加了包帶連接力學(xué)行為的復(fù)雜度。另外,動態(tài)接觸過程中會發(fā)生接觸面間的滑動及接觸分離等現(xiàn)象,在進(jìn)入接觸過程中還常伴有沖擊發(fā)生,這些尚需作進(jìn)一步研究。

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