考慮物料層作用的振動圓錐破碎機動力學(xué)分析

趙月靜，秦志英，彭 偉

(河北科技大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，石家莊 050018)

礦物的破碎磨碎作業(yè)能耗極高，因此破碎磨碎領(lǐng)域節(jié)能意義重大［1]。振動圓錐破碎機是實現(xiàn)超細破碎的節(jié)能型設(shè)備，可破碎高強度物料，磨損小。和振動顎式破碎機相比，不僅有沖擊破碎還有碾壓破碎，沒有空行程，生產(chǎn)效率高。振動圓錐破碎機工作時，被破碎物料層始終存在于動錐和定錐形成的破碎腔中。被破碎物料既有能量積累又有能量耗散，在動錐和定錐之間起到傳遞能量的作用，因此有必要把被破碎物料層視為振動破碎機系統(tǒng)的一個組成部分［2]。振動圓錐破碎機系統(tǒng)不僅有剛體對物料的沖擊擠壓破碎作用，而且待破碎的物料層對剛體也有反作用，因此振動圓錐破碎機的動力學(xué)特性十分復(fù)雜［3]。為了更好地利用振動的能量，如何利用定錐和動錐這兩剛體運動以及它們與物料層之間的剛散耦合沖擊效應(yīng)，提高破碎效果，是振動圓錐破碎機動力學(xué)設(shè)計理論研究的核心問題。

本文正是考慮物料層散體的作用，對振動圓錐破碎機進行建模和動力學(xué)分析。首先，給出振動圓錐破碎機工作原理圖和在水平面內(nèi)的物理模型圖。其次，應(yīng)用Lagrange方程推導(dǎo)建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，其中物料層的作用采用一個分段線性的廣義力模型來代替。然后，對該方程用MATLAB進行數(shù)值仿真分析討論。最后，探討物料層對振動圓錐破碎機運動的影響。

1 考慮物料層的振動圓錐破碎機的物理建模

振動圓錐破碎機由動錐5和定錐4形成破碎腔，動錐5通過彈性元件6與定錐4相連，定錐4通過外殼3與底架1相連，如圖1所示。電機軸旋轉(zhuǎn)，通過撓性聯(lián)軸器帶動主軸運動，主軸上裝有偏心塊2，主軸運動帶動偏心塊2旋轉(zhuǎn)，偏心塊2旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生激振力，帶動動錐5運動，通過彈性元件2和物料傳遞把運動傳遞給定錐4，定錐4和動錐5兩個剛體均做空間自由運動。動錐和定錐的質(zhì)心靜止時重合，把動坐標系的原點(基點)選在質(zhì)心，兩剛體的自由運動分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，每個剛體有6自由度:質(zhì)心的坐標x，y，z和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的三個歐拉角ψ，θ，φ。

圖1 振動圓錐破碎機的構(gòu)造與工作原理簡圖Fig.1 The map of structure and working principle of vibrating cone crusher

文獻［3] 中建立了不考慮物料層作用的振動圓錐破碎機系統(tǒng)的空間12個自由度的模型，得到振動微分方程組。文獻［4] 中對文獻［3] 中得到振動微分方程組進行仿真分析，得到在不考慮料層作用的影響時，定錐與動錐的運動幅度相比相差較多，振動圓錐破碎機的主要運動可以簡化為定錐靜止不動，動錐剛體做空間運動［3]。但是由于要破碎的物料一定存在于定錐和動錐之間，形成物料層，所以必須考慮其影響。為了更加符合實際的破碎系統(tǒng)，反映系統(tǒng)的動力學(xué)性能，簡化系統(tǒng)，故本文設(shè)定錐靜止不動，只考慮動錐的運動，考慮料層的影響，取動錐的質(zhì)心所在水平截面，建立振動圓錐破碎機系統(tǒng)水平面內(nèi)運動3個自由度的模型。如圖2所示。

圖2 振動圓錐破碎機的工作狀態(tài)動力學(xué)模型圖Fig.2 The mechanics model of vibrating cone crusher in working state

在定錐質(zhì)心位置O點建立絕對坐標系XOY，在動錐質(zhì)心位置O1點建立相對坐標系X1O1Y1，系統(tǒng)靜止時，絕對坐標系X1O1Y1和相對坐標系XOY重合。動錐剛體做平面運動，有3個自由度x，y，θ。動錐質(zhì)量為m1，動錐繞其質(zhì)心O1的轉(zhuǎn)動慣量為I0。偏心塊可簡化為質(zhì)點，質(zhì)量為m0，其質(zhì)心距離O1點的距離(偏心距)為e。偏心塊除了隨動錐剛體做平面運動(牽連運動)外，還繞動錐質(zhì)心O做轉(zhuǎn)動角速度為ω的相對運動。動錐和定錐之間共有6個主振彈簧(橡膠彈簧)沿圓周方向均勻分布，彈簧與動錐連接點Ai(i=1～6)，彈簧的剛度為k，在x，y方向上的剛度分別用kx，ky表示;破碎腔中填充有物料層，設(shè)δ為物料可壓縮(從初始裝入松散到壓實)的距離，R1為動錐的內(nèi)徑，R2為動錐的外徑。

2 振動圓錐破碎機系統(tǒng)的動力學(xué)方程的建立

根據(jù)如下拉格朗日方程:

建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程，選取動錐的自由度作為廣義坐標，動錐有3個自由度x，y，θ。計算系統(tǒng)的動能T、勢能U和廣義力Qi。

2.1 系統(tǒng)的動能

系統(tǒng)的動能是由動錐的動能和偏心塊的動能組成。偏心塊動能計算很麻煩，一種方法是按照絕對速度等于相對速度加牽連速度的方法求取，分析比較麻煩;另一種是按照坐標變換求其位置，然后求導(dǎo)求其速度，此方法充分利用數(shù)學(xué)軟件的推導(dǎo)優(yōu)勢，采用坐標變化的方法來求取。求出運動后某時刻此質(zhì)點的位置坐標，然后求導(dǎo)數(shù)得其速度。偏心塊m0安裝在動錐m1上，其在 X1O1Y1坐標系中的坐標為(e cosωt，e sin ωt)，隨動錐m1運動后的絕對坐標為:

求導(dǎo)可得偏心塊的速度，故偏心塊的動能為:

動錐的動能可表示為:

系統(tǒng)的動能可表示為:

2.2 系統(tǒng)的勢能

系統(tǒng)的勢能由主振彈簧的勢能組成，不包括重力勢能和彈簧靜變形的勢能。系統(tǒng)中采用的彈簧是壓縮彈簧，彈簧的連接采用導(dǎo)柱式的彈簧座，采用分別考慮x，y方向變形來計算彈性勢能［5]。彈簧一端固定在定錐上，另一端固定在動錐上，隨著動錐運動。根據(jù)坐標變化，利用式2)求出彈簧和動錐相連點Ai在絕對坐標系下的坐標Ai'，

其中Ai的相對坐標為:，φ為A1與x軸的夾角。

求出其在x，y方向的變形量:

則每個彈簧的勢能可表示為:

圓錐破碎機的模型共有6個主振彈簧，則系統(tǒng)的總勢能為:

2.3 廣義力

系統(tǒng)在空載時，系統(tǒng)的廣義力為系統(tǒng)中非理想約束的反力;系統(tǒng)在工作時，系統(tǒng)的廣義力為系統(tǒng)中非理想約束的反力和物料的作用力。非理想約束的反力為阻尼力;物料層對系統(tǒng)的作用可以簡化為一個分段線性的接觸力模型［6－8]，如圖3所示。動錐剛體在 x，y方向都有位移，故接觸力的方程如下:

開始工作前，待破碎的物料松散地堆積在定錐和動錐形成的破碎腔中;開始工作后，物料在破碎腔內(nèi)動錐壓緊破碎，物料間的間隙被壓縮?？紤]物料的可壓縮性，本文中假設(shè):

σ1=1/4δ，σm=2/3δ，σ2=1/2δ。(δ為物料最大可壓縮距離。)

圖3 物料層的分段線性接觸力模型Fig.3 The model of piecewise linear contact force for materials layer

2.4 系統(tǒng)振動動力學(xué)方程組

系統(tǒng)在工作狀態(tài)下考慮物料的非線性力后，根據(jù)Lagrange方程，利用MAPLE數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)，建立系統(tǒng)的3自由度振動微分方程組，如下所示:

式中:cx，cy分別為x，y方向阻尼系數(shù);Cθ為圓周方向的阻尼系數(shù);μ為物料和動錐表面的摩擦系數(shù)。

fxyθ為 x，y，θ自由度之間的耦合項，項數(shù)太多，對系統(tǒng)影響不大，在此不再列出。

從方程(5)可以看出，該系統(tǒng)的動力學(xué)方程是一個非線性方程組。除了物料層的非線性力F(r)以外，還含有激振力與x，y，θ之間的耦合非線性項，以及x，y，θ之間的耦合非線性項。為了重點研究物料層的非線性影響，可對方程(5)進行初步的線性化處理。若剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角度θ很小時，令sinθ≈0，cosθ≈1;同時忽略x，y，θ之間的耦合非線性，以下動力學(xué)分析是基于此種線性化后的方程組。

3 剛散耦合振動圓錐破碎機動力學(xué)響應(yīng)及分析

利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件，采用Runge-Kutta法求解微分方程，進行數(shù)值仿真。表1給出振動圓錐破碎機系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)的值。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)和幾何參數(shù)Tab.1 Parameters of structure and size in system

3.1 系統(tǒng)的響應(yīng)

考慮物料層的影響，即微分方程組(5)F(r)用式(4)表示。系統(tǒng)在不同激振頻率ω作用下的時間歷程、頻譜圖、相圖和Poincare截面［9]如圖4～圖6所示。ω0為系統(tǒng)固有頻率。

當ω=50，系統(tǒng)的振動為看似雜亂無章的運動，而且振動幅度很大。許多低頻信號被激發(fā)，x，y方向振動主要集中在0.5ω0分量附近，θ方向振動為0.01ω0的低頻分量。但系統(tǒng)的運動還是有界的。

當ω=100，系統(tǒng)的振動變?yōu)楦胖芷谶\動，x，y由兩個頻率ω0和0.2ω0的分量疊加而成，θ方向的振動是兩個頻率0.4ω0和 1.2ω0分量疊加而成。

當ω=150，系統(tǒng)的振動仍為概周期運動，x，y由兩個頻率ω0和0.15ω0的分量疊加而成，θ方向的振動是兩個頻率0.25ω0和1.15ω0的分量疊加而成，而且幅值很低。

圖4 考慮物料層時激振頻率ω=50時的時間歷程、頻譜圖、相圖和Poincare截面Fig.4 The figure of time-processing、the phase and Poincare section and amplitude-frequency with material layer，ω =50

從圖4～圖6中可以看出，考慮物料層作用時，由于物料層的非線性接觸力的影響，x，y方向出現(xiàn)兩個頻率0.15ω0～0.25ω0和 ω0的分量，θ方向兩個頻率 0.25ω0和1.15ω0。隨著激振頻率ω的增大，低頻率的分量減少，只出現(xiàn)一種低頻率的分量，而且該頻率越來越低。

4 結(jié)論

用力和激振力相比處于同一數(shù)量級，物料的非線性力對系統(tǒng)的作用顯著，系統(tǒng)運動是看似雜亂無章的運動。隨著激振頻率增加，激振力逐漸增大，物料散體的作用力相對于剛體的激振力逐漸較小，因而激勵出的低頻分量減少，對剛體的影響也逐漸變小。

(3)把料層的作用簡化為分段線性接觸力，類比單自由度線性系統(tǒng)，相當于增大系統(tǒng)的剛度，因此系統(tǒng)固有頻率增大。當激振頻率較小時，處于共振區(qū)域，振幅較大，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定工作區(qū);當激振頻率增大后，系統(tǒng)區(qū)域穩(wěn)定工作，振幅也處于合理范圍。因此在選

(1)把料層的作用簡化為分段線性接觸力，物料層的作用使系統(tǒng)做復(fù)雜的概周期運動。

(2)當激振頻率較低時，激振力較小，物料層的作擇樣機參數(shù)時，電機的轉(zhuǎn)速應(yīng)取大些較好，使其工作在穩(wěn)定工作區(qū)域。

(4)本文把物料層作用簡化為一個接觸力的形式，對破碎機的動力學(xué)性能進行了初步分析。實際上物料層動力學(xué)性能非常復(fù)雜，需要從微觀的角度，利用離散單元法把物料簡化為顆粒群，利用群動力學(xué)的方法對其行為做進一步分析［10]。

(5)后續(xù)需要通過樣機大量的破碎實驗，對破碎出的物料篩分進行粒度分析，來確定各參數(shù)對破碎性能及節(jié)能的影響。

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