含裂紋懸臂輸流管道顫振分析

葉獻輝，蔡逢春，臧峰剛，張毅雄

(中國核動力研究設計院 核反應堆系統(tǒng)設計技術國家級重點實驗室，成都 610041)

管道是現(xiàn)代工業(yè)中的一種重要輸送工具，它在石油、化工、核電工程等領域中有大量的應用。由于多種原因可能導致管道發(fā)生損傷，如腐蝕、疲勞、過載、沖擊等等，從而帶來巨大的危害。裂紋是損傷中典型的一種。裂紋的存在改變了結構的剛度、阻尼、質(zhì)量，從而導致結構的動態(tài)特性發(fā)生改變，這一事實在裂紋檢測中被廣泛關注。

輸流管道和含裂紋構件的動力學問題已經(jīng)是一個熱點問題，已有大量的文獻報道［1－3]，而對于含裂紋輸流管道的研究較為少見。Yoon［4，5]基于 Lagrange方程推導出含裂紋輸流管道的運動方程，首次研究了含裂紋的懸臂輸流管道在移動載荷作用下的動態(tài)特性，隨后又研究了含裂紋簡支輸流管道在移動載荷作用下的動態(tài)特性。但在其文中并沒有研究含裂紋輸流管道的顫振特性。最近，Stangl［6]應用一種適用于含有非材料體系統(tǒng)的Lagrange方程［7]推導出了懸臂輸流管道的非線性運動方程，該方法非常方便處理流進流出控制體的質(zhì)量。本文將基于此擴展的Lagrange方程推導含裂紋懸臂輸流管道的運動方程，通過數(shù)值仿真探討了裂紋位置及深度對頻率和顫振臨界流速的影響。

1 含裂紋梁模型

含裂紋梁一般被處理成為若干段連續(xù)梁，每段梁通過一個無質(zhì)量的扭轉彈簧連接，扭轉彈簧用來模擬裂紋，彈簧的剛度可以通過線性斷裂力學理論計算得到。如圖1示，含有Q－1條裂紋的梁，裂紋位置為X1，X2，…，XQ－1(0＜X1＜X2＜… ＜XQ－1＜L)?？紤]的裂紋形狀是外壁部分圓周裂紋，它是管類結構的一種典型裂紋形式，如圖2所示。裂紋深度為a，裂紋對應的圓心角為2θ，管壁厚度為t，管外徑為De，內(nèi)徑為Di。

圖1 含任意條裂紋梁Fig.1 A beam with an arbitrary number of cracks

文獻［8] 將外壁部分圓周裂紋區(qū)域離散成為一系列近似梯形的微型條，各個條帶裂紋區(qū)域按平面裂紋梁的理論求解其附加應變能，將離散的各個條帶的應變能累加起來得到裂紋總的應變能，然后通過對載荷求導得到外壁部分圓周裂紋的附加局部柔度系數(shù)。在純彎矩作用下外壁部分圓周裂紋帶來的局部柔度系數(shù):

圖2 外壁部分圓周裂紋Fig.2 Partly circumferential crack

由于含裂紋梁在裂紋處轉角不連續(xù)，為了得到滿足邊界條件和裂紋處的不連續(xù)條件的模態(tài)函數(shù)，本文通過在不含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)中加入3次多項式來構造出含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。依據(jù)模態(tài)假設法，梁的橫向位移可以寫成:

考慮含有Q－1條裂紋的梁，依據(jù)前敘處理含裂紋梁的方法，含裂紋梁被分成Q段，分別用扭轉彈簧組裝起來。設含裂紋梁的第k段的第j階模態(tài)函數(shù)為:式中，ξ∈［ξk，ξk+1] ，ξ=X/L 為裂紋的位置無量綱化坐標，兩端點坐標，ξ1=0，ξQ+1=1，A4k－3～ A4k為待定系數(shù)(ξ)無裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。對于懸臂梁，有以下4個邊界條件:

在裂紋處要滿足位移、轉角、剪力和彎矩4個條件:

式中 Ck－1為裂紋柔度系數(shù)，(')= ?/?ξ。通過式(4)至式(6)可確定含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。

2 含裂紋輸流管道運動方程

含裂紋懸臂輸流管道的模型見圖3，懸臂輸流管道長度為L，單位長度管道的質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI，流體橫截面積為A，流體的軸向流速為U，單位長度流體的質(zhì)量為M，裂紋位置為Xc管道沿著X軸方向放置如圖3所示。

圖3 含裂紋輸流管道Fig.3 A cracked pipe conveying fluid

管道和流體有以下基本假設:① 管道裂紋在彈性范圍內(nèi);② 流體無粘性、不可壓縮;且管道內(nèi)流速U一致;③ 管道直徑與長度比值遠小于1;④ 管道在平面內(nèi)運動;⑤ 管道應變小，不計管道的轉動慣量和剪切變形;⑥ 管道的中心軸線不可伸長。由以上的基本假設，管軸線不可伸長，文獻［9] 給出了相應的方程及由此方程推導出表達式:

上式中(X，Y)與(x，y)為變形前后P0點坐標。u=x－X，v=y －Y，(')=?/?X。

Stangl［6]應用一種適用于含有非材料體系統(tǒng)的Lagrange方程［7]推導出了懸臂輸流管道的非線性運動方程，這種擴展的Lagrange方程非常方便處理流進流出控制體的質(zhì)量。本文基于此方程來推導含裂紋輸流管道系統(tǒng)的運動方程。其運動方程為:

其中:T和Q分別系統(tǒng)的總動能廣義力，q為廣義坐標。方程中包含兩個曲面積分，用于描述流入流出控制體的質(zhì)量。Γ為控制體的邊界，d a描述曲面Γ上的微元方向，VF、VP分別是流體的速度和管道的速度，是單位體積流體的動能。

由于假設懸臂輸流管道軸線不伸長，沿變形后的輸流管道軸線的切向矢量可寫成［9]:

因此，流體速度為:

系統(tǒng)的總動能可寫成:

上式近似忽略二次高階項。

對于單位體積流體動能，忽略量級小于 o(ε2)項有:

式中，ρF為流體的密度。結合 Helmholtz方程［10]，則對廣義坐標的偏導數(shù)為:

因此，在管道自由端處，式(9)中的第一個曲面積分為:

由于轉角在裂紋處的不連續(xù)，導致裂紋面的左右兩邊的截面的方向矢量不相等。因此在裂紋截面左右兩邊的曲面積分的和不等于零，其大小為:

裂紋左邊截面:

裂紋右邊曲面:

根據(jù)裂紋的左右兩邊條件:xXc－0=xXc+0，yXc－0=yXc+0，=y″Xc+0，y'Xc+0－y'Xc－0=CEIy″Xc，可得裂紋左右兩邊的曲面積分的和為:

由于VF－VP=Uτ，不含有廣義速度項，因此式(9)中的第二個曲面積分為零。

另外，由彎曲變形引起的彈性勢能和模擬裂紋的無質(zhì)量彈簧的勢能分別為:

故廣義力為:

將上述得到的系統(tǒng)的總動能、曲面積分和廣義力代入式(9)，并引入以下無量綱量:

整理后得到含Q－1條裂紋的懸臂輸流管道的運動方程為:

3 數(shù)值算例

3.1 裂紋對頻率特性影響

取參數(shù):L=1 m，E=2.01 ×1011Pa，De=0.03 m，Di=0.021 m，ν=0.3=2.0，β =0.8，裂紋角 θ= π/4，裂紋相對深度a/t=0.8，計算含單條裂紋的懸臂輸流管道的前三階頻率比隨裂紋位置變化關系如圖4～圖6所示。其中頻率比ΩI=ω/ω0，ω和ω0分別是有/無裂紋的懸臂輸流管道的頻率。由圖可知:裂紋深度一定情況下，一階頻率比隨裂紋位置單調(diào)增加，裂紋越接近固定端，一階頻率比越小;裂紋越接近自由端，一階頻率比越趨向1。而二階與三階頻率比變化則不然，二階頻率比中間存在一峰值時，三階頻率比中間存在雙峰值。這是由于懸臂輸流管道二階模態(tài)存在一振幅為零的節(jié)點，裂紋位置越接近節(jié)點，二階頻率就越接近無裂紋時的情況。三階頻率出現(xiàn)雙峰值亦是三階模態(tài)存在雙節(jié)點的緣故。上述結論對裂紋檢測有一定的指導意義。

將本文得到的計算結果與Han-Ik Yoon的含裂紋懸臂輸流管道的模型的計算結果［5]作了比較，不考慮原模型中自由端的質(zhì)量和移動質(zhì)量，比較結果見圖4～圖6。由圖可知:兩者頻率比的變化趨勢是一致的。但本文計算的一階頻率比較小，而二階頻率比較大，原因在于Han-Ik Yoon的模型沒有考慮裂流體在裂紋處對系統(tǒng)作的功。

3.2 裂紋對顫振流速的影響

這里其它參數(shù)不變，裂紋位置ξc=0.4，相對深度為a/t=0.9，根據(jù)特征值計算結果得到系統(tǒng)的頻率與阻尼隨無量綱流速的變化曲線，如圖7所示。當無量綱流速＜ucr時，系統(tǒng)阻尼全部都小于零，系統(tǒng)平衡點漸近穩(wěn)定;當=ucr時，系統(tǒng)一階阻尼等于零，系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)發(fā)生Hopf分叉，此時流速ucr即為顫振臨界流速。

圖8給出裂紋相對深度a/t=0.9時不同質(zhì)量比β下顫振臨界流速ucr隨裂紋位置ξc的變化曲線。其中，水平線為無裂紋情況下臨界流速。從圖可以看出，各質(zhì)量比下顫振臨界流速隨裂紋位置的變化規(guī)律基本一致。當固支端附近出現(xiàn)裂紋時，管道的臨界流速將減小，越靠近固支端，無量綱臨界流速減小的越多。但達到一定臨界位置ξcr時，裂紋的出現(xiàn)，將會增大管道的臨界流速。隨著裂紋出現(xiàn)位置接近自由端時，對臨界流速的增大作用將減小。裂紋位置出現(xiàn)在ξc1=0.42及ξc2=0.71附近對臨界流速增大作用最為顯著。圖9描述了質(zhì)量比為0.5時含不同位置的單條裂紋輸流管道的無量綱臨界流速隨裂紋深度的變化關系。由圖可知，當ξc＞ξcr時，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加而增加;隨著裂紋位置ξc接近臨界位置ξcr，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加變化較小，當ξc＜ξcr時，顫振臨界流速隨裂紋深度的增加而減小，且a/t越接近1，顫振臨界流速減小顯著，這種情況較為危險，應加以注意。

裂紋的出現(xiàn)將不僅影響顫振臨界流速，還將影響顫振階數(shù)的改變。圖10和圖11給出了有/無裂紋情況下系統(tǒng)顫振階數(shù)隨質(zhì)量比的變化規(guī)律。由圖10可知:當輸流管道不存在裂紋時，質(zhì)量比 β∈(0，0.386)發(fā)生2 階顫振，β∈［0.386，0.530)發(fā)生 3 階顫振，β∈［0.530，0.614 5)發(fā)生 2 階顫振，β∈［0.614 5，1)發(fā)生1階顫振［11]。當 ξc=0.4出現(xiàn)裂紋且裂紋深度 a/t=0.9時，質(zhì)量比 β∈(0，0.586)發(fā)生 2 階顫振，β∈［0.586，1)發(fā)生1階顫振，如圖11所示。為更加清晰描述裂紋導致輸流管道顫振模態(tài)階數(shù)的改變，圖12和圖13描述了質(zhì)量比β=0.5時前三階特征值隨流速的變化圖?？梢钥闯?，無裂紋輸流管道發(fā)生3階顫振，而含裂紋輸流管道發(fā)生2階顫振。裂紋的出現(xiàn)使得系統(tǒng)顫振形式從3階顫振跳到2階顫振，改變了系統(tǒng)發(fā)生顫振對應的特征值分枝。

圖13 β =0.5 時前 3 階特征值(ξc=0.4，a/t=0.9)Fig.13 The eigenvalues with β =0.5，ξc=0.4，a/t=0.9

4 結論

本文應用Ischik和Holl提出的適用于含非材料體(non-material volumes)系統(tǒng)的Lagrange方程，并同時考慮流體在管道自由端及裂紋處對系統(tǒng)所作功，推導出了含裂紋懸臂輸流管道線性運動方程，通過數(shù)值算例研究了含裂紋輸流管道的動力特性和顫振特性，有如下結論:

(1)一階頻率比隨裂紋位置單調(diào)變化，而二階與三階頻率比變化則不然，這是因為二階三階模態(tài)中間存在振幅為零的節(jié)點，裂紋位置越接近節(jié)點，頻率基本不受裂紋影響。

(2)當固支端附近出現(xiàn)裂紋時，輸流管道的顫振臨界流速將減小，越靠近固支端，顫振臨界流速減小的越多。且隨著裂紋深度增加顫振臨界流速降低的更加明顯。但裂紋離固支端一定位置后時，裂紋的出現(xiàn)將會增大管道的臨界流速。

(3)裂紋的出現(xiàn)將導致懸臂輸流管道顫振階數(shù)的改變。

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