飽和地基中二維空溝遠(yuǎn)場(chǎng)被動(dòng)隔振研究

時(shí) 剛，高廣運(yùn)

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，鄭州 450002;2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092)

隨著經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，各種人工振動(dòng)污染日益頻繁，對(duì)鄰近建筑物、精密儀器設(shè)備以及人們的生活影響越來(lái)越嚴(yán)重。國(guó)際上已把振動(dòng)列為“七大公害”之一，因此，對(duì)各種人工振動(dòng)污染的治理就成為當(dāng)前急需解決的重要課題之一。在地基中設(shè)置隔振屏障是振動(dòng)污染治理的一種有效方法［1]。與傳統(tǒng)方法相比，屏障隔振具有造價(jià)低、不易損壞、耐久性好、施工簡(jiǎn)單以及可作為結(jié)構(gòu)一部分等優(yōu)點(diǎn)，因而被廣泛地應(yīng)用到工程實(shí)際中。

隔振屏障具有多種形式，其中，空溝具有設(shè)置簡(jiǎn)單、造價(jià)低、隔振效果好等優(yōu)點(diǎn)，在隔振工程中應(yīng)用較多。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)空溝隔振問(wèn)題進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究和數(shù)值分析。Woods［2]首先對(duì)空溝主動(dòng)和被動(dòng)隔振效果進(jìn)行了一系列的現(xiàn)場(chǎng)全尺寸試驗(yàn)研究，并在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了空溝屏障隔振設(shè)計(jì)的一些基本準(zhǔn)則。此后，Haupt［3]、Ahmad 等［4]、Klevin 等［5]等也分別進(jìn)行了一系列試驗(yàn)來(lái)研究空溝幾何尺寸、空溝位置等參數(shù)對(duì)空溝隔振效果的影響，并給出了一些設(shè)計(jì)建議。而在數(shù)值研究方面，Haupt［6]、May 等［7]學(xué)者運(yùn)用有限元法，Beskos 等［8]、Banerjee 等［9]、Al-Hussaini等［10]學(xué)者運(yùn)用邊界元法，分別對(duì)空溝主動(dòng)隔振和被動(dòng)隔振問(wèn)題進(jìn)行了計(jì)算分析。其中大多數(shù)的研究是針對(duì)均質(zhì)彈性半空間，也有少量文獻(xiàn)分析了層狀地基中空溝隔振問(wèn)題，例如，Leung 等［11，12]應(yīng)用半空間 Green 函數(shù)分析了層狀半空間屏障隔振問(wèn)題;高廣運(yùn)等［13]采用薄層法半空間基本解作為Green函數(shù)的邊界元法，分析了三維半空間中空溝振動(dòng)隔振問(wèn)題。

然而，上述研究均局限于彈性介質(zhì)，未考慮飽和土地基的情況。我國(guó)東南沿海經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)分布有較廣泛的軟土地基，這些地區(qū)地基土含水量較大，且往往處于飽和狀態(tài)，若采用彈性介質(zhì)來(lái)進(jìn)行描述則會(huì)產(chǎn)生較大誤差。對(duì)于飽和土中的隔振問(wèn)題，徐平等［14]采用波函數(shù)展開(kāi)法分析了單排非連續(xù)剛性樁屏障對(duì)彈性波的隔離問(wèn)題;丁光亞等［15]則分析了管樁對(duì)傾斜入射彈性波的隔振問(wèn)題。

本文針對(duì)均質(zhì)飽和地基中二維空溝遠(yuǎn)場(chǎng)被動(dòng)隔振問(wèn)題，基于薄層法在研究飽和層狀介質(zhì)中波傳播問(wèn)題的高效性和邊界單元法處理半無(wú)限域中土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用問(wèn)題的精確性，結(jié)合兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，得到了以二維飽和半空間薄層法基本解答作為Green函數(shù)的飽和土二維頻域半解析邊界元法，對(duì)飽和地基中空溝的遠(yuǎn)場(chǎng)隔振效果及其影響因素進(jìn)行了詳細(xì)研究。

1 飽和土頻域半解析邊界元法

1.1 Biot波動(dòng)方程

1.2 飽和多孔介質(zhì)的邊界元方程

飽和土的邊界元方程可由相互作用定理(Reciprocal work theorem)導(dǎo)出［18，19]。

由相互作用定理可得飽和土的邊界積分方程為:

式(2)所示的邊界積分方程通常難以通過(guò)解析的方法進(jìn)行求解，一般可采用類似于有限元的方法進(jìn)行離散求解，從而形成了邊界元法。

首先，將邊界Γ離散成E個(gè)單元，單元中任意點(diǎn)的位移、孔壓、面力和流量可以用單元節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)量通過(guò)形函數(shù)來(lái)進(jìn)行近似:

將式(3)代入邊界積分方程(2)中，最終得到飽和土邊界元方程為:

將全部邊界節(jié)點(diǎn)按照順序從1到N進(jìn)行編號(hào)。節(jié)點(diǎn)n對(duì)應(yīng)的面力、流量和土骨架位移、孔壓分別記作:

令式(4)中面力、流量Tk和骨架位移、孔壓Uk的積分系數(shù)分別為和，則式(4)最終可寫(xiě)成:

按照上述步驟，將對(duì)應(yīng)于每個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的邊界積分方程(2)用邊界單元積分之和表示，如式(6)所示。遍歷所有邊界節(jié)點(diǎn)進(jìn)行同樣的工作，這樣，對(duì)于有N個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題，將得到與N個(gè)邊界節(jié)點(diǎn)位移、面力、孔壓和流量相關(guān)的3N(二維)個(gè)線性方程:

式中，i，j=1，2，3(二維)。

上式即為飽和多孔介質(zhì)的邊界元方程。利用給定的邊界條件，即將給定的邊界節(jié)點(diǎn)上的位移、面力、孔壓和流量代入上述方程組中，分離已知量與未知量及其相應(yīng)的系數(shù)，得到可以求解的線性代數(shù)方程組，求解這個(gè)方程組即可得到所有邊界節(jié)點(diǎn)上的未知量。

1.3 飽和多孔介質(zhì)的半解析邊界元法

研究飽和土地基的波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)邊界元法一般采用全空間動(dòng)力Green函數(shù)。因此，在進(jìn)行邊界單元?jiǎng)澐謺r(shí)，不僅需要在結(jié)構(gòu)－土交界面上進(jìn)行離散，還需要在半空間表面及不同土層的交界面上進(jìn)行離散，從而大大增加了未知自由度的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間和成本急劇增加，計(jì)算效率較低。此外，在半空間表面進(jìn)行離散時(shí)，往往僅能在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，這也在一定程度上降低了邊界元的精度。

為了減少未知量的個(gè)數(shù)，提高邊界元的計(jì)算效率，采用飽和半空間(或飽和層狀半空間)的位移、孔壓基本解答作為飽和土邊界元法的Green函數(shù)。這樣，在分析上述問(wèn)題時(shí)，只需要在土與結(jié)構(gòu)物的表面進(jìn)行離散，而不需要在半空間表面和土層交界面上劃分單元，從而使邊界元法更好地適用于飽和半空間的情況。

對(duì)于飽和層狀地基，可采用傳遞矩陣法和薄層法(TLM)等方法來(lái)求解動(dòng)力Green函數(shù)。其中，薄層法屬于一種半解析半數(shù)值的方法［20，21]，即對(duì) Biot波動(dòng)控制方程在豎向進(jìn)行類似于有限元法的離散，將土層劃分為有限個(gè)薄層，而在其它坐標(biāo)方向進(jìn)行解析求解。由于薄層法基本解答本身就需要將飽和土地基劃分為有限個(gè)薄層，對(duì)每一薄層分別賦予相應(yīng)的材料參數(shù)進(jìn)行集總。在分析層狀介質(zhì)時(shí)，幾乎不增加任何工作量，即可得到層狀介質(zhì)的基本解答，因此特別適用于分析任意層數(shù)的層狀介質(zhì)相互作用問(wèn)題。限于文章篇幅，本文不再給出飽和土地基的薄層法解答，可參考文獻(xiàn)［22] 。

這樣，通過(guò)在飽和多孔介質(zhì)的邊界元中引入薄層法基本解答，就形成了飽和多孔介質(zhì)的半解析邊界元法。一方面可以避免分析飽和半空間問(wèn)題時(shí)需要在半空間表面和土層分界面上進(jìn)行單元?jiǎng)澐值膯?wèn)題，從而提高了計(jì)算效率;另一方面，薄層法求解Green函數(shù)時(shí)，F(xiàn)ourier逆變換(二維)不需要進(jìn)行數(shù)值積分，且一次求解可獲得各層面上位移、孔壓值，若將薄層分界面與單元節(jié)點(diǎn)或Gauss點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，可以大大提高計(jì)算效率。

2 飽和地基中空溝遠(yuǎn)場(chǎng)被動(dòng)隔振研究

2.1 空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振的邊界元方程

空溝遠(yuǎn)場(chǎng)被動(dòng)隔振的計(jì)算模型如圖1所示。采用半解析邊界元法進(jìn)行空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振計(jì)算時(shí)，由于采用薄層法Green函數(shù)，能夠自動(dòng)滿足半空間表面邊界條件，因而僅需要在空溝表面進(jìn)行邊界單元?jiǎng)澐帧１疚牟捎枚螁卧獙?duì)空溝表面進(jìn)行劃分，單元長(zhǎng)度L=0.2 λR，其中，λR為飽和土地基Rayleigh波波長(zhǎng)。

圖1 空溝遠(yuǎn)場(chǎng)被動(dòng)隔振示意圖Fig.1 Open trench vibration isolation system as passive barrier

假定空溝表面共劃分為E個(gè)單元、N個(gè)節(jié)點(diǎn)，則邊界元方程可表示為式(7)的形式。對(duì)該式中的變量進(jìn)行重新排列，有:

當(dāng)考慮 Rayleigh波入射時(shí)，由于空溝對(duì)入射的Rayleigh波產(chǎn)生散射作用，在飽和地基中產(chǎn)生散射波，散射波也滿足式(8)，此時(shí)有:

式中:位移、孔壓、面力和流量上標(biāo)“s”表示散射波。

考慮空溝表面透水的情況，其邊界條件可表示為:

將式(10)和式(11)代入式(9)中，最終可得飽和地基中空溝對(duì)Rayleigh波散射的邊界元方程為:

由于采用飽和半空間Green函數(shù)，半空間表面沒(méi)有進(jìn)行邊界單元?jiǎng)澐郑虼?，求解?12)獲得空溝表面位移和流量或孔壓后，可按下式計(jì)算飽和半空間表面各點(diǎn)的散射波:

2.2 驗(yàn)證

引入衡量隔振效果的位移振幅衰減系數(shù)ARF，其定義為［23]:

由邊界元方法求解得到半空間表面散射波位移Us，以及Rayleigh波入射所產(chǎn)生的位移Ui，最終有:

當(dāng)飽和土的ρf→0和φ→0時(shí)，飽和土相應(yīng)地退化成彈性介質(zhì)的情況，因此可以采用退化的方法對(duì)空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振的飽和土邊界元程序進(jìn)行驗(yàn)證。

Conter等［24]計(jì)算分析了二維彈性地基中空溝對(duì)瑞利波的遠(yuǎn)場(chǎng)隔振問(wèn)題，給出了無(wú)量綱空溝深度h*=1.0(h*=H/λR，λR為 Rayleigh 波波長(zhǎng))、無(wú)量綱寬度w*=0.4(w*=W/λR)時(shí)，空溝前后由入射 Rayleigh 波引起的地面位移幅值。

圖2為本文計(jì)算結(jié)果與Conter結(jié)果的比較。由圖可知，空溝前位移幅值計(jì)算結(jié)果吻合較好，而空溝后位移幅值誤差相對(duì)較大，這可能是由于單元?jiǎng)澐忠约巴嘶煌耆纫蛩厮斐伞?/p>

圖2 二維空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振的結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparative study for passive isolation by open trench

3 計(jì)算結(jié)果與分析

飽和土地基的基本計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 飽和土地基的計(jì)算參數(shù)Tab.1 Mechanical parameters of saturated soil

為考慮飽和土體的材料阻尼作用，可采用復(fù)剪切模量來(lái)引入材料阻尼的影響。復(fù)模量的實(shí)部反映了土體的實(shí)際抵抗力，而虛部則反映了土體消散能量的機(jī)制。本文取飽和土體的材料阻尼為ξ=0.02。

在計(jì)算空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振效果時(shí)，空溝幾何尺寸采用無(wú)量綱化參量表示，即無(wú)量綱深度h*=H/λR和無(wú)量綱寬度w*=W/λR。在下述計(jì)算中，當(dāng)考慮一種因素影響時(shí)，其他參數(shù)保持不變。

此外，為衡量空溝幾何尺寸以及飽和土地基材料參數(shù)等對(duì)隔振效果的影響，這里引入平均振幅衰減系數(shù)AR，其定義如下:

式中，l'取屏障后5個(gè)Rayleigh波波長(zhǎng)的距離。

3.1 空溝幾何尺寸的影響

本節(jié)主要分析空溝深度和空溝寬度的影響，分析時(shí)均采用無(wú)量綱化的量表示。

3.1.1 空溝深度h*的影響

分析空溝深度對(duì)隔振效果影響時(shí)，空溝無(wú)量綱深度 h*分別取 0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 和 1.6，計(jì)算結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 空溝深度不同時(shí)振幅衰減系數(shù)ARF隨距離變化曲線Fig.3 Graphs of ARF for different trench depth h*

由圖3可知，在飽和土地基中，空溝對(duì)入射Rayleigh波具有一定的隔振效果，與彈性地基不同，空溝后振幅衰減系數(shù)ARF隨距離呈一種振蕩變化的形式。此外，飽和半空間表面排水條件對(duì)空溝隔振影響較小，振幅衰減系數(shù)ARF隨距離的變化曲線基本類似，僅量值上稍有差別，因此，在以后分析中僅給出飽和半空間表面不透水時(shí)的ARF曲線。

圖4 空溝不同深度時(shí)的平均隔振效果ARFig.4 Effect of AR on isolation effectiveness

由圖4可知，隨著空溝深度的增加，空溝后平均振幅衰減系數(shù)迅速降低，這表明空溝深度對(duì)隔振效果影響較大;然而當(dāng)空溝深度過(guò)1倍λR時(shí)，空溝平均隔振效果反而會(huì)有所降低，但降低幅度不大。此外，飽和半空間表面透水性對(duì)空溝平均隔振效果影響不大。

3.1.2 空溝寬度w*的影響

為分析空溝寬度對(duì)飽和地基中空溝隔振效果的影響，空溝無(wú)量綱寬度 w*分別取0.2、0.4、0.6 和 0.8，計(jì)算結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 空溝寬度不同時(shí)ARF隨距離變化曲線Fig.5 Graphs of ARF for different trench width w*

由圖5和圖6可知，在飽和地基中，隨著空溝寬度w*的增加，屏障后的平均振幅衰減系數(shù)AR有所增加，空溝隔振效果變差，但降低幅度不大;隨著空溝寬度的進(jìn)一步增加，空溝的平均隔振效果稍有提高，但提高幅度相對(duì)較小，這與彈性介質(zhì)情況相同。與空溝深度的影響相比，空溝寬度對(duì)隔振效果的影響相對(duì)較小。

圖6 空溝不同寬度時(shí)的平均隔振效果Fig.6 Effect of w*on isolation effectiveness

3.2 飽和土地基材料參數(shù)的影響

本節(jié)主要對(duì)分析飽和土滲透系數(shù)κ、泊松比v對(duì)隔振效果的影響。

3.2.1 滲透系數(shù)κ的影響

分析飽和土地基流體滲透系數(shù)κ對(duì)空溝隔振效果的影響，滲透系數(shù) κ分別取1.0×10－7m4/N·s，1.0 ×10－8m4/N·s，1.0 ×10－9m4/N·s，1.0 ×10－10m4/N·s和1.0×10－11m4/N·s，計(jì)算結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 孔隙滲透系數(shù)κ不同時(shí)ARF隨距離變化曲線Fig.7 Graphs of ARF for different pemeabilityκ

由圖7和圖8可知，流體滲透系數(shù)κ對(duì)空溝隔振效果有一定影響:當(dāng)滲透系數(shù)較大時(shí)，空溝隔振效果相對(duì)較差;隨著滲透系數(shù)的增加，屏障后平均振幅衰減系數(shù) AR逐漸減低，空溝隔振效果有所提高，但提高幅度較小。此外，當(dāng)飽和半空間表面透水時(shí)，滲透系數(shù)對(duì)空溝隔振效果的影響非常小。

圖8 飽和土不同滲透系數(shù)κ時(shí)的空溝隔振效果Fig.8 Effect of pemeabiltiy κon isolation effectiveness

3.2.2 泊松比ν的影響

為分析飽和土地基的泊松比ν對(duì)空溝隔振效果的影響，ν分別取0.20、0.25、0.30 和0.35，計(jì)算結(jié)果如圖9和10所示。

圖9 泊松比ν不同時(shí)ARF隨距離的變化曲線Fig.9 Graphs of ARF for different Possoin’ratio ν

由圖9和圖10可知，泊松比ν不同時(shí)，位移振幅衰減系數(shù)ARF曲線基本相似，這表明泊松比ν對(duì)空溝隔振效果影響較小。同樣，隨著泊松比 ν的增加，平均振幅衰減系數(shù)AR也隨之增加，空溝隔振效果有所降低，但降低幅度非常小，這也表明泊松比ν對(duì)空溝隔振效果影響非常小。此外，飽和地基表面不透水時(shí)的平均隔振效果要稍差于表面排水的情況。

圖10 飽和土不同泊松比ν時(shí)的空溝隔振效果Fig.10 Effect of Possoin’ratio νon isolation effectiveness

4 結(jié)論

本文在飽和多孔介質(zhì)頻率邊界元法的基礎(chǔ)上，建立了以飽和半空間薄層法(TLM)基本解為動(dòng)力Green函數(shù)的半解析邊界元法，并采用該方法計(jì)算分析了飽和地基中空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振問(wèn)題，推導(dǎo)了空溝遠(yuǎn)場(chǎng)隔振的邊界元方程，最后，詳細(xì)研究了屏障幾何尺寸、飽和地基材料參數(shù)對(duì)空溝隔振效果的影響，主要結(jié)論如下:

(1)在飽和地基中設(shè)置空溝能夠有效地降低屏障后的位移振幅;

(2)空溝的幾何尺寸對(duì)其隔振效果有較大影響，增加空溝深度能有效地提高空溝的隔振效果，但深度超過(guò)1倍Rayleigh波波長(zhǎng)后，空溝深度對(duì)隔振效果影響較為復(fù)雜;而空溝寬度影響相對(duì)較小，過(guò)大的空溝寬度并不能取得更好的隔振效果;飽和地基中空溝隔振規(guī)律與彈性介質(zhì)相似;

(3)飽和地基的滲透系數(shù)κ、泊松比ν對(duì)空溝隔振效果影響不大;此外，飽和地基表面透水時(shí)的隔振效果要稍好于不透水的情況。

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