約束阻尼管動(dòng)態(tài)特性分析方法與應(yīng)用

楊瓊梁，劉靖華，陳 健，唐國(guó)安

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433;2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201108)

為了改善衛(wèi)星在發(fā)射過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)環(huán)境，避免設(shè)備儀器因過(guò)大的振動(dòng)而損壞，提高任務(wù)的可靠性，通常在振動(dòng)傳遞路徑上附加約束阻尼層，用來(lái)消耗振動(dòng)機(jī)械能，降低衛(wèi)星對(duì)振動(dòng)沖擊的響應(yīng)［1，2]。常見(jiàn)的有:在衛(wèi)星和適配器之間引入帶有阻尼材料的隔振器［3－5];將約束阻尼層布置在適配器上［6]。由于粘彈性阻尼材料的力學(xué)性能不同于一般的線彈性材料，在結(jié)構(gòu)引入粘彈性阻尼材料后，其損耗因子等隨著頻率改變，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析將遇到困難［7]。

本文以帶約束阻尼層的空心圓管作為研究對(duì)象，建立這一類阻尼管的數(shù)學(xué)模型，為阻尼管各項(xiàng)幾何及物理參數(shù)設(shè)計(jì)提供方法，通過(guò)擬合及變換將不同頻率下阻尼管的動(dòng)剛度以一組參數(shù)表示，將其表示為能夠嵌入結(jié)構(gòu)通用有限元程序(NASTRAN)的形式，便于含阻尼部件的結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)分析。

1 具有支撐功能的約束阻尼管的構(gòu)型和力學(xué)性能分析

具有支撐功能的約束阻尼管由外管、內(nèi)管和填充在中間的粘彈性阻尼材料構(gòu)成。其中，外管是主要承力構(gòu)件，通常用鋁合金等金屬材料構(gòu)成，內(nèi)管主要用于約束阻尼層的表面位移增加阻尼層的變形量，通常用鋁合金或者碳纖維構(gòu)成。在振動(dòng)時(shí)，由于內(nèi)管和外管位移量不同，導(dǎo)致中間的阻尼材料發(fā)生剪切變形，從而使得振動(dòng)機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芎纳⒌簟?/p>

在阻尼管的設(shè)計(jì)中要綜合考慮多方面的因素，一方面要盡量提高減振耗能的效果，即使得阻尼材料盡可能大的發(fā)生剪切變形，通常可以通過(guò)降低外管剛度并增加內(nèi)管剛度來(lái)實(shí)現(xiàn);另一方面又要使得阻尼管的剛度、質(zhì)量等滿足結(jié)構(gòu)整體的剛度、質(zhì)量等要求及限制。其次又要考慮阻尼材料填充量對(duì)減振性能的影響。為此，希望建立阻尼管關(guān)于上述一些幾何及物理參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，例如總體長(zhǎng)度、內(nèi)外管壁厚和剛度、阻尼材料長(zhǎng)度等等。得到動(dòng)剛度、損耗因子等在該數(shù)學(xué)模型下的解析解，以便對(duì)以上參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，達(dá)到最佳的減振效果。

圖1 阻尼管軸向剖面圖Fig.1 Profile of the axial direction of the damping pipe

下面推導(dǎo)計(jì)算交變軸向力作用下，阻尼管的軸向動(dòng)剛度和損耗因子。

其中，外管外徑為D0、壁厚為T0，內(nèi)管外徑為 Di、壁厚為Ti，阻尼層厚度為Tv=(D0－Di)/2－T0，外管長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，內(nèi)管長(zhǎng)度為L(zhǎng)i，阻尼層填充長(zhǎng)度為L(zhǎng)v。

由于阻尼管結(jié)構(gòu)在軸向是對(duì)稱模型，以下推導(dǎo)沿阻尼管對(duì)稱軸取右半部分，并且取內(nèi)外管長(zhǎng)度的一半同為L(zhǎng)。邊界條件變?yōu)樽蠖藘?nèi)外管固定，在另一端外管上施加軸向簡(jiǎn)諧力F=F*eiωt。以下將根據(jù)基本力學(xué)關(guān)系以及必要的假設(shè)，推導(dǎo)出右端的位移響應(yīng) u(ω)eiωt。

圖2 阻尼管右側(cè)示意圖Fig.2 Profile of the right－ half of the damping pipe

假設(shè)內(nèi)外管均為薄壁結(jié)構(gòu)，且不計(jì)內(nèi)外管的剪切變形，取平行于軸線截面長(zhǎng)度為d x的微元分析其受力情況，在結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率不高的情況下，忽略慣性力，其力平衡關(guān)系為:

圖3 微元受力情況Fig.3 Force condition of the differential element

對(duì)于內(nèi)外管有平衡方程

其中，σ*是內(nèi)外管的正應(yīng)力幅值;τ*是阻尼層的剪應(yīng)力幅值;A是內(nèi)外管的橫截面積;l是阻尼層橫截面的環(huán)向周長(zhǎng)l=π(Di+Tv);，下標(biāo)o表示外管，i表示內(nèi)管(以下同)。

內(nèi)外管和阻尼層［8]本構(gòu)關(guān)系:

由上述的內(nèi)外管的力平衡關(guān)系和本構(gòu)關(guān)系，可以得到內(nèi)外管的位移需要滿足如下方程:

以上公式中，E是材料楊氏模量，Tv是阻尼層厚度，Gv是復(fù)剪切模量。

首先，農(nóng)業(yè)龍頭企業(yè)生產(chǎn)生活條件差，特別是種養(yǎng)企業(yè)生產(chǎn)環(huán)境差，沒(méi)有穩(wěn)定的職稱、收入與福利保障，難以吸引優(yōu)秀人才。

右端x=L，有應(yīng)力邊界條件:阻尼層左側(cè)的內(nèi)外管均為常應(yīng)變，即:

在阻尼層左端x=L－Lv，有應(yīng)力連續(xù)條件:

將(5)代入(6)，得到阻尼層左端的邊界條件:

由方程(3)和邊界條件(4)和(7)可以得到內(nèi)外管位移函數(shù)(x)和(x)，最終阻尼管的動(dòng)剛度和損耗因子分別為

上述方程用 MATHEMATICA［9]符號(hào)求解，便可得到包含阻尼管各項(xiàng)幾何及物理參數(shù)的符號(hào)解(x)、(x)、k*和β。具體表達(dá)式較為復(fù)雜，故不在此處列出，附錄給出計(jì)算的MATHEMATICA程序。在得到損耗因子β的符號(hào)解后，便可非常方便的通過(guò)調(diào)整各項(xiàng)幾何及物理參數(shù)來(lái)計(jì)算相應(yīng)的損耗因子，并考察該組參數(shù)下的阻尼管的剛度及質(zhì)量。

2 約束阻尼層填充長(zhǎng)度對(duì)損耗因子的影響

附加約束阻尼在衛(wèi)星減振適配器中有著廣泛的應(yīng)用(如圖4)，如何選取阻尼管內(nèi)外管材料、幾何尺寸以及阻尼填充長(zhǎng)度對(duì)適配器整體的減振效果有著重要的影響。

通常根據(jù)直觀的判斷，阻尼材料填充越多減振效果越好，這個(gè)結(jié)論在大多數(shù)復(fù)剪切模量數(shù)值范圍內(nèi)成立。但是，本文作者在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在一定復(fù)剪切模量的條件下，阻尼層填充長(zhǎng)度需要進(jìn)一步優(yōu)化，并非填充越多阻尼材料減振效果就越好、損耗系數(shù)越大。

圖4 附加約束阻尼的衛(wèi)星適配器Fig.4 PAF composition of the constrained damping material

給定計(jì)算參數(shù):L=0.095 m，Do=0.03 m，To=0.001 m，Ti=0.003 m，Tv=0.001 m，Gv=5 × 107(1+0.5i)Pa，內(nèi)外管均為鋁合金，改變阻尼填充長(zhǎng)度，可以得到損耗因子隨阻尼層長(zhǎng)度的變化情況。

如圖所示，阻尼層填充長(zhǎng)度在Lv=0.015 5 m時(shí)得到的損耗因子最大，這時(shí)的減振效果最好。損耗因子也可以由阻尼層在某一交變力作用下的應(yīng)變能來(lái)描述，阻尼層填充越多，剪切變形越小，阻尼層整體吸收的應(yīng)變能是沿阻尼層長(zhǎng)度對(duì)剪切變形的積分決定，故并不是長(zhǎng)度越長(zhǎng)吸收的應(yīng)變能就越多。因此為了使得損耗因子最大，需要對(duì)阻尼層填充長(zhǎng)度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

如上所述，在得到以阻尼管各項(xiàng)參數(shù)描述的損耗因子函數(shù)后，調(diào)整某一個(gè)參數(shù)重新計(jì)算損耗因子的計(jì)算量可以忽略不計(jì)，于是可以在參數(shù)的取值范圍內(nèi)進(jìn)行遍歷，方便地確定一個(gè)最優(yōu)值，相對(duì)于試驗(yàn)［6]以及其他數(shù)值方法［10]在設(shè)計(jì)階段有著一定的優(yōu)勢(shì)。

3 阻尼管動(dòng)力學(xué)建模及有限元應(yīng)用

由于阻尼材料的特性隨著頻率改變，阻尼管的動(dòng)剛度也隨著頻率改變，不能將其產(chǎn)生的阻尼力表示為正比于運(yùn)動(dòng)速度的簡(jiǎn)單形式，而需要表示成卷積形式:文獻(xiàn)［11] 提出一種含阻尼材料結(jié)構(gòu)的建模方式，將動(dòng)力學(xué)方程以式(9)形式表達(dá)的結(jié)構(gòu)經(jīng)過(guò)變換嵌入到整體結(jié)構(gòu)的有限元模型中，方便NASTRAN求解。由上一節(jié)得到的動(dòng)剛度的結(jié)果(式(8))，我們對(duì)不同頻率下的動(dòng)剛度在頻域下進(jìn)行有理多項(xiàng)式擬合，具體參數(shù):內(nèi)外管均為鋁合金，L=0.095 m，Do=0.03 m，To=0.001 m，Ti=0.003 m，Tv=0.001 m，Lv=L，阻尼材料特性 Gv=G(ω)(1+b(ω)·i)隨頻率變化(圖6)。

在以上所述的約束阻尼管動(dòng)態(tài)特性分析方法中，引入了阻尼管變形模式等假設(shè)，并在低頻激勵(lì)下忽略了慣性力的影響。為了驗(yàn)證方法的正確性，特采用有限元方法按頻率逐點(diǎn)計(jì)算阻尼管的損耗系數(shù)，如圖7所示兩者能夠較好的吻合，在一定程度上說(shuō)明本方法是合理的。

用上節(jié)所述方法，計(jì)算出不同頻率下阻尼管的動(dòng)剛度k*(ωl)(l=1，2，…)，如圖8中的圓點(diǎn)所示。采用有理多項(xiàng)式擬合［12]方法，將k*(ω)表示為:

其中有理多項(xiàng)式系數(shù)的擬合結(jié)果如表1，擬合后動(dòng)剛度關(guān)于頻率的曲線如圖8中的實(shí)線所示。

圖8 動(dòng)剛度擬合結(jié)果Fig.8 Fitting results of the dynamic stiffness

表1 擬合得到的系數(shù)Tab.1 Coefficient of fitting

一旦動(dòng)剛度表示為有理多項(xiàng)式，那么阻尼管軸向力與端部位移的頻域關(guān)系可表示為:

令s=iω對(duì)上式進(jìn)行Laplace逆變換［9]得到軸向力與端部位移的時(shí)域關(guān)系:

式(12)與式(9)形式上一致，可以用文獻(xiàn)［11] 所述的方法將阻尼管模型加入到整體結(jié)構(gòu)的有限元模型中去，并運(yùn)用通用有限元程序進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

4 結(jié)論

本文建立了由外管、內(nèi)管和中間阻尼層構(gòu)成的約束阻尼管的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)符號(hào)求解得到了阻尼管在軸向交變外力下包含各項(xiàng)幾何及物理參數(shù)的位移、動(dòng)剛度和損耗因子的函數(shù)。便于對(duì)各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)來(lái)評(píng)估其對(duì)動(dòng)剛度、損耗因子等的影響。為該類型阻尼管的工程設(shè)計(jì)提供了快速、便捷的計(jì)算方法。

與有限元計(jì)算的損耗因子的結(jié)果作對(duì)比，驗(yàn)證了本方法的可靠性。進(jìn)一步，在頻域內(nèi)對(duì)動(dòng)剛度進(jìn)行擬合，通過(guò)Laplace逆變換將阻尼管動(dòng)力學(xué)方程變換為帶有積分項(xiàng)的形式，便于應(yīng)用現(xiàn)有的技術(shù)手段將該類型阻尼管加入到星箭整體有限元模型中去。

附錄

MATHEMATICA程序:

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