基于形函數(shù)方法快速識別結(jié)構(gòu)動態(tài)荷載的試驗(yàn)驗(yàn)證

張青霞，段忠東，Lukasz Jankowski，王 豐

(1.大連民族學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，大連 116600;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，深圳 518055;3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090;4.Smart－Tech Centre，Institute of Fundamental Technological Research，Polish Academy of Sciences，02 －106，Warsaw，Poland)

準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動態(tài)荷載信息是確定結(jié)構(gòu)動態(tài)行為的關(guān)鍵因素之一，對于結(jié)構(gòu)損傷識別、安全評定等具有重要的作用。此外，它為災(zāi)難性事故的分析評估提供了科學(xué)依據(jù)，有益于預(yù)防和避免類似事故的重發(fā)生。荷載識別屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的反問題分析，由結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)和其動態(tài)特性確定。

目前的荷載識別方法［1－4]中，大多數(shù)屬于頻域［5，6]、時(shí)域［7，8]或小波域［9]內(nèi)分析，基本思想是通過計(jì)算實(shí)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和提前獲取的系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)的反卷積計(jì)算荷載，也就是所謂的反卷積方法［2]。此外，還有時(shí)間有限元法［10]，基于魯棒觀測器(robust observer)法［11]，逆結(jié)構(gòu)濾波法(ISF)［12]等。每種方法具有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，但均面臨反問題分析中常存在的病態(tài)性問題，如解的唯一性、穩(wěn)定性等。反卷積法以其形式簡單、可靈活采用時(shí)域和頻域內(nèi)分析的特點(diǎn)應(yīng)用較廣泛;但若測量時(shí)間長或采樣頻率高時(shí)，則導(dǎo)致脈沖響應(yīng)函數(shù)(傳遞函數(shù))組成的系數(shù)矩陣維數(shù)很大，從而使該方法數(shù)值求解困難。

文獻(xiàn)［8] 提出荷載形函數(shù)方法來改善荷載識別反卷積方法中的不足，利用有限元中的形函數(shù)概念逼近動態(tài)荷載曲線，從而把識別未知荷載的時(shí)間歷程轉(zhuǎn)變?yōu)樽R別數(shù)目有限的荷載形函數(shù)的權(quán)重或系數(shù)，大大降低了系數(shù)矩陣的維數(shù)，提高計(jì)算效率。另外，荷載形函數(shù)是連續(xù)的，在一定程度上能夠過濾噪聲的影響，提高逆問題對噪聲的魯棒性。本文對荷載形函數(shù)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了理論補(bǔ)充，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 反卷積方法

假定所考慮的結(jié)構(gòu)為線彈性而且在荷載作用期內(nèi)為小變形即忽略幾何非線性，那么結(jié)構(gòu)的響應(yīng)線性依賴于外部荷載作用。設(shè)結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)為零，根據(jù)杜哈姆積分，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可由外部荷載通過卷積表示為:

式中:α為測點(diǎn)編號;fi為作用在結(jié)構(gòu)上的第i個(gè)外部荷載，hαi(t)為測點(diǎn)α和荷載fi之間的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)一般通過測量或數(shù)值模擬得到，從而是離散化的，因此考慮測量時(shí)間內(nèi)所有的離散的結(jié)構(gòu)測點(diǎn)響應(yīng)，并按一定順序排列，式(1)可以表示為如下的矩陣形式:

式中yM匯集了所有測點(diǎn)在測量時(shí)間內(nèi)的離散響應(yīng);f匯集了所有外部荷載的離散時(shí)間歷程;矩陣h是分塊矩陣，子矩陣是由測點(diǎn)和外部荷載之間的相關(guān)脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)成的Toeplize矩陣。

由式(1)、(2)知，通過解實(shí)測結(jié)構(gòu)響應(yīng)和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)計(jì)算反卷積可以得到未知荷載，即求解方程(2)。這是一個(gè)線性方程組，為保障所求解的唯一性，需要獨(dú)立測點(diǎn)(傳感器)的數(shù)目至少等于可能的未知荷載數(shù)目。在實(shí)際應(yīng)用中，需要預(yù)先知道或假定荷載可能存在的位置信息以確定傳感器的數(shù)目和構(gòu)造對應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

解式(2)就是解線性方程組Ax=b或求解min Ax=b2，往往面臨病態(tài)問題。實(shí)測響應(yīng)中一個(gè)小的擾動，比如無法避免的測量誤差，將會引起很大的荷載識別誤差，即方程的解對擾動非常敏感［3]。因此，有必要對解進(jìn)行數(shù)值正則化，常用的正則化技術(shù)有截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒?TSVD)或 Tikhonov方法［3]。

另外，式(2)中方程組和未知數(shù)的數(shù)目與時(shí)間步數(shù)成正比，當(dāng)采樣頻率高或測量時(shí)間較長時(shí)，比如離線荷載識別中，線性方程組可能會很大，導(dǎo)致計(jì)算操作難以實(shí)現(xiàn)。利用提出的荷載形函數(shù)方法可以改善荷載識別方法中存在的病態(tài)問題，減小計(jì)算工作，提高識別效率。

2 荷載形函數(shù)方法

2.1 基本原理

荷載形函數(shù)的基本思想源于有限元中的形函數(shù)。不同的荷載形式?jīng)Q定了不同類型的形函數(shù)類型，如荷載只作用在一點(diǎn)時(shí)，其時(shí)間歷程是一個(gè)曲線，可以采用梁單元的形函數(shù)，本質(zhì)上是采用曲線插值的方法對荷載曲線進(jìn)行逼近。如果結(jié)構(gòu)上作用一個(gè)線荷載，其時(shí)間歷程就是一個(gè)曲面，需要選用板的形函數(shù)進(jìn)行曲面插值。對于面荷載，則需要借用實(shí)體單元的形函數(shù)進(jìn)行插值。因此選擇形函數(shù)類型時(shí)，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷荷載的類型。

本文假定荷載的時(shí)間歷程是一個(gè)曲線，如圖 1，可以比擬為一個(gè)“時(shí)間梁”的變形，其中荷載的時(shí)間軸比擬為

圖1 荷載的時(shí)間歷程曲線Fig.1 The load time history

“梁”長度方向的位置坐標(biāo)。只考慮梁的彎曲變形，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有豎向和轉(zhuǎn)動兩個(gè)位移。假如把荷載歷程按時(shí)間劃分為四段，那么該“時(shí)間梁”單元有五個(gè)結(jié)點(diǎn)，十個(gè)形函數(shù)，定義為荷載形函數(shù)，如圖2，其意義為“時(shí)間梁”某個(gè)結(jié)點(diǎn)在豎向或轉(zhuǎn)動方向發(fā)生單位位移引起的荷載歷程。記荷載形函數(shù)矩陣N=［N1N2…Nnl] ，nl是形函數(shù)的個(gè)數(shù)。

圖2 荷載形函數(shù)Fig.2 Load shape function

根據(jù)形函數(shù)的意義可知，動態(tài)荷載時(shí)間歷程f(t)可由若干個(gè)形函數(shù)近似表示:

式中:α=［α1α2… αnl]T，αi是對應(yīng)第 i個(gè)形函數(shù)的“時(shí)間梁”結(jié)點(diǎn)的位移，稱為該形函數(shù)的系數(shù)。

2.2 形函數(shù)的選取

圖2給出了形函數(shù)的形式，具體表達(dá)式參考有限元中梁單元形函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，荷載歷程一般被均勻劃分為若干段。設(shè)相鄰每段兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的時(shí)間長度定義為形函數(shù)的半個(gè)周期Tf/2，則形函數(shù)的頻率為ff=1/Tf，兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間為lnt=Tf/(2Δ)=fs/(2ff)個(gè)時(shí)間步，其中fs為采樣頻率，采樣時(shí)間間隔為Δ=1/fs。若分析的離散荷載時(shí)間為t，共含nt個(gè)時(shí)間步，則形函數(shù)的個(gè)數(shù)nl:

由上可知，形函數(shù)內(nèi)時(shí)間步數(shù)取決于采樣頻率fs和形函數(shù)的頻率ff，而形函數(shù)個(gè)數(shù)取決于形函數(shù)的頻率ff和測量時(shí)間t。測量時(shí)間一定時(shí)，形函數(shù)個(gè)數(shù)由形函數(shù)頻率決定，形函數(shù)的頻率選取會影響識別精度。結(jié)構(gòu)動態(tài)荷載往往含有多個(gè)頻率成分，為能夠準(zhǔn)確逼近動態(tài)荷載曲線，要求形函數(shù)的頻率大于荷載所分析的最高截?cái)囝l率。形函數(shù)的頻率小于荷載的截?cái)囝l率時(shí)，它不能準(zhǔn)確地逼近荷載;而形函數(shù)的頻率較高時(shí)，取極限類似單位脈沖，識別結(jié)果對噪聲敏感。另外，較高的形函數(shù)頻率意味著形函數(shù)個(gè)數(shù)多，這時(shí)系數(shù)矩陣的維數(shù)大，計(jì)算效率低。因此，選取合適的形函數(shù)頻率是基于形函數(shù)法識別荷載的關(guān)鍵之一。對未知荷載而言，鑒于線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)線性依賴于外部荷載，確定其所需的形函數(shù)頻率可以通過對結(jié)構(gòu)實(shí)測響應(yīng)的頻譜分析決定。

設(shè)F(ω)代表響應(yīng)的傅里葉變換，定義下式:

對于一般荷載，可取r(ωc)=95%對應(yīng)的頻率ωc為截?cái)囝l率，視ωc為荷載可能的最高頻率，即把ωc作為逼近未知荷載所需的形函數(shù)的參考頻率。實(shí)際操作中根據(jù)荷載形式，r(ωc)的取值可適當(dāng)增減。那么兩個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)含的時(shí)間步lnt=fs/2ωc，代入式(4)可確定所需的形函數(shù)個(gè)數(shù)nl。

2.3 荷載識別

實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)式(3)，式(2)中離散的荷載歷程可以表示為:

式中:Nf=Inf×nf?N 是 nfnt× nfnl的矩陣，N 是 nt× nl維的離散的荷載形函數(shù)矩陣。是nfnl維的列向量，由各個(gè)荷載的形函數(shù)的系數(shù)組成，αi(j)是荷載i的第j個(gè)形函數(shù)的系數(shù)。

把式(7)代入式(2)得到:

式(8)中的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣、荷載形函數(shù)矩陣均可以提前構(gòu)造。形函數(shù)的個(gè)數(shù)nl一般遠(yuǎn)小于測量時(shí)間步數(shù)nt，因此把式(2)直接計(jì)算荷載轉(zhuǎn)化為先求解式(8)中荷載形函數(shù)的系數(shù)，然后計(jì)算荷載，使未知數(shù)個(gè)數(shù)大大減少，顯著提高計(jì)算效率。另外，荷載形函數(shù)是連續(xù)光滑的，根據(jù)式(8)計(jì)算荷載在一定程度上能削減噪聲的影響。

利用式(8)計(jì)算荷載，其系數(shù)矩陣的維數(shù)得以減小，采用截?cái)嗥娈愔捣纸夥椒?TSVD)對解進(jìn)行數(shù)值正則化更簡單快捷，即:

式中:ui是酉矩陣 U=［u1，…，unfnt] 的第 i個(gè)列向量，vi是酉矩陣V=［v1，…，vnfnl] 的第i個(gè)列向量，酉矩陣U，V由式(8)中系數(shù)矩陣B的奇異值分解得到。σi是矩陣B的第i個(gè)正奇異值。q指選用前q個(gè)正奇異值求解。奇異值截?cái)鄶?shù)目可以根據(jù)L－曲線計(jì)算。通過L－曲線的拐點(diǎn)來權(quán)衡響應(yīng)殘差和荷載光滑度。

根據(jù)公式(9)，系數(shù)矩陣很小的奇異值會放大結(jié)構(gòu)測量中的響應(yīng)誤差的影響，從而使識別的結(jié)果嚴(yán)重偏離真實(shí)值。利用反卷積方法識別荷載時(shí)，公式(2)中系數(shù)矩陣由脈沖響應(yīng)函數(shù)組成，而脈沖響應(yīng)的振動一般比較劇烈，頻率成分含量比較豐富，特別是高頻成分，系數(shù)矩陣中小的奇異值可認(rèn)為是由脈沖響應(yīng)中的高頻成分導(dǎo)致的，因此在計(jì)算反卷積時(shí)需要通過截?cái)嗥娈愔捣纸獾日齽t化方法去掉較小的奇異值，以改善解的識別精度。當(dāng)采用荷載形函數(shù)識別荷載時(shí)，系數(shù)矩陣由脈沖響應(yīng)函數(shù)組成的矩陣和形函數(shù)矩陣相乘得到(見式(8))，該系數(shù)矩陣中的每列元素相當(dāng)于對應(yīng)每個(gè)荷載形函數(shù)引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。因?yàn)楹奢d形函數(shù)是連續(xù)光滑的，它引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)也相對光滑，相對于單位脈沖引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)而言，它含有高頻成分很少或幾乎沒有，使系數(shù)矩陣中只存在少數(shù)幾個(gè)或不存在特別小的奇異值，因此采用荷載形函數(shù)識別荷載時(shí)，系數(shù)矩陣只截?cái)嗌贁?shù)幾個(gè)奇異值或不需截?cái)嗥娈愔怠?/p>

另外，已知結(jié)構(gòu)的有限元模型，荷載形函數(shù)方法結(jié)合“移動時(shí)間窗”［13]可以推廣到在線識別，也就是式(8)中的實(shí)測響應(yīng)yM被替代為，其中，yM(n)是第n個(gè)時(shí)間窗的采樣數(shù)據(jù);假定前面時(shí)間窗內(nèi)的荷載已被識別，該時(shí)間窗內(nèi)的結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)和非零初始狀態(tài)引起的橋體的自由振動根據(jù)結(jié)構(gòu)模型易求。

3 數(shù)值算例

首先借助一個(gè)兩跨連續(xù)梁模型(圖3)來驗(yàn)證所提出的荷載識別方法的有效性。

梁每跨5 m，工字型組合截面55 mm×100 mm×7.2 mm ×4.5 mm。彈性模量 E=210 GPa，密度 ρ=7 800 kg/m3，截面面積為1 200 mm2，受彎慣性距為1 943 800 mm4。有限元梁模型被均勻劃分為20個(gè)單元，在距左端2.26 m、5.26 m的截面底部分別布一個(gè)應(yīng)變傳感器，記為 S1，S2。取前兩階瑞利阻尼比為0.01。

假定結(jié)構(gòu)承受兩個(gè)豎向荷載f1，f2(圖4)，分別作用在距梁左端4.5 m、6.5 m截面上。結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計(jì)算采用Newmark逐步積分方法，Newmark參數(shù)α=0.25，β=0.5。積分步長0.001 s，即采樣頻率1 000 Hz。測量時(shí)間為0.9 s。考慮響應(yīng)含有5%的高斯隨機(jī)噪聲。

假定外部荷載未知，采用荷載形函數(shù)法進(jìn)行識別，并與荷載識別的基本方法—反卷積法(解式(2))進(jìn)行比較。鑒于荷載識別等反問題往往是病態(tài)的，采用TSVD正則化方法求解。奇異值截?cái)嗟膫€(gè)數(shù)k即正則化程度通過L－曲線確定。

考慮5%的高斯噪聲，反卷積法識別荷載的L－曲線(圖5)的拐點(diǎn)對應(yīng)k=470，也就是小于最大奇異值0.14%的奇異值都被截?cái)?，識別的相應(yīng)荷載(見圖6)與真實(shí)值相比有明顯振蕩，說明直接利用反卷積方法識別荷載對噪聲敏感。

利用形函數(shù)進(jìn)行荷載識別時(shí)，荷載形函數(shù)通過測點(diǎn)響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變換確定。兩個(gè)測點(diǎn)響應(yīng)的各頻率含量相似，以測點(diǎn)S1的傅里葉變換為例進(jìn)行分析，如圖7。選取ωmax=100 Hz，根據(jù)式(6)得到的形函數(shù)的頻率ωc=14.43 Hz，見圖8，根據(jù)此確定每個(gè)荷載需要62個(gè)形函數(shù)?？紤]5%的高斯噪聲，得到的L－曲線如圖9。該曲線沒有典型的L－曲線拐點(diǎn)，說明解式(8)條件數(shù)好，k=1即可得到不錯(cuò)的識別結(jié)果，如圖10，與真實(shí)值非常接近。

從上面的分析可知荷載識別的主要計(jì)算工作來自系數(shù)矩陣的奇異值分解，對一個(gè)m×n維的矩陣(m≥n)的計(jì)算量為O(mn2)階［14]?；痉淳矸e法的系數(shù)維數(shù)矩陣為1 802×1 802，利用形函數(shù)方法后變?yōu)? 802×124，因此這里形函數(shù)方法能使計(jì)算量降低幾乎兩個(gè)數(shù)量級?；痉淳矸e方法識別荷載對噪聲敏感，需要通過合適的奇異值截?cái)鄟磉M(jìn)行，而且仍存在明顯的識別誤差。形函數(shù)方法不但降低計(jì)算量，而且能夠在一定程度上過濾噪聲的影響，識別結(jié)果抗噪能力強(qiáng)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

圖11 試驗(yàn)裝置Fig.11 Experimental setup

試驗(yàn)裝置如圖11所示，試件為一個(gè)懸臂鋁梁，長136.15 cm，矩形截面 2.7 cm ×0.31 cm。固定端夾在一個(gè)穩(wěn)定框架上。梁的彈性模量為70 GPa，密度是2 700 kg/m3。采用壓電激勵(lì)器APA(Amplified Piezo Actuator)對試件施加一個(gè)純彎矩激勵(lì)，結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)利用貼在梁上的三個(gè)壓電應(yīng)變片(PVDF)測量，記為傳感器S1～S3。試驗(yàn)中設(shè)計(jì)了光滑連續(xù)荷載、三角形荷載，見圖12。為保證測得的樣本數(shù)據(jù)含有必需的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息，采樣頻率為2 500 Hz。兩種工況對應(yīng)的測點(diǎn)傳感器的響應(yīng)見圖12。

圖12 兩種工況下的實(shí)測結(jié)構(gòu)響應(yīng)和激勵(lì)Fig.12 Measured responses and excitations

利用移動時(shí)間窗進(jìn)行荷載在線識別，每個(gè)窗內(nèi)采用形函數(shù)方法識別。首先以測點(diǎn)S1為代表，對各工況的前2 000個(gè)點(diǎn)的實(shí)測響應(yīng)進(jìn)行傅里葉變化，根據(jù)式(6)計(jì)算形函數(shù)的參考頻率，從而確定每個(gè)窗內(nèi)形函數(shù)的個(gè)數(shù)。兩種工況取lnt分別為30、40，定每個(gè)窗含的時(shí)間步數(shù)分別為420、400。移動時(shí)間窗前后重疊一半。兩種工況的總識別時(shí)間步分別為8 821、8 801。

這里激勵(lì)器施加的荷載是一個(gè)純彎矩，因此，至少需要一個(gè)傳感器才能準(zhǔn)確識別荷載。分別利用單個(gè)測點(diǎn)S1，兩個(gè)測點(diǎn)S1－S2，三個(gè)測點(diǎn)S1－S3進(jìn)行識別。為避免贅述，本文僅針對工況1給出了由不同測點(diǎn)數(shù)目識別的結(jié)果，見圖13。其中當(dāng)沒有截?cái)嗥娈愔禃r(shí)，由S1識別的荷載尾部發(fā)散，使荷載計(jì)算收斂的奇異值截?cái)鄶?shù)目為4;利用多個(gè)測點(diǎn)識別時(shí)不需奇異值截?cái)唷?/p>

由圖13可以看出，利用單個(gè)傳感器可以識別荷載，但識別精度稍差。利用兩個(gè)傳感器和三個(gè)傳感器識別的結(jié)果基本上是一致的，識別精度更高。采用不同傳感器識別的荷載誤差曲線見圖14，考慮所有測量時(shí)間內(nèi)的荷載識別相對誤差 F計(jì)算－F實(shí)測2/F實(shí)測2分別為51.83%，32.46%，26.6%。針對工況二只給出了利用兩個(gè)測點(diǎn)S1－S2識別的結(jié)果，見圖15，未采用奇異值截?cái)?，荷載識別相對誤差為22.93%。

可以看出，兩種工況下利用提出的荷載形函數(shù)識別方法均能較好地識別未知荷載。識別的荷載歷程曲線與實(shí)際曲線吻合較好，能夠反映實(shí)際荷載信息。與多個(gè)傳感器相比，利用單個(gè)傳感器識別荷載，結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)信息相對較少，由于噪聲和測量誤差的影響，識別精度相對較低。移動時(shí)間窗在線識別荷載時(shí)，利用反卷積方法需要每個(gè)窗內(nèi)重新計(jì)算L－曲線，確定奇異值截?cái)鄶?shù)目，這很耗時(shí)，難于實(shí)現(xiàn)。而荷載形函數(shù)在一定程度上能夠過濾噪聲的影響，不需要或只需少數(shù)幾個(gè)奇異值截?cái)?，避免?jì)算L－曲線。這進(jìn)一步驗(yàn)證在線荷載識別中形函數(shù)方法的重要角色。

5 結(jié)論

本文介紹并理論補(bǔ)充了基于形函數(shù)的荷載識別方法，通過數(shù)值算例和一個(gè)懸臂梁的試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性，并得到以下主要結(jié)論:

(1)針對反卷積方法識別荷載中存在的測量時(shí)間長或采樣頻率高時(shí)數(shù)值求解困難的問題，利用有限的形函數(shù)逼近未知荷載，將識別離散的荷載歷程轉(zhuǎn)化為識別有限的荷載形函數(shù)系數(shù)，提高計(jì)算效率。

(2)荷載形函數(shù)是連續(xù)光滑的，在一定程度上能夠過濾噪聲的影響，提高逆問題對噪聲的魯棒性。

(3)通過實(shí)測結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻譜分析可以確定逼近未知荷載所需的形函數(shù)個(gè)數(shù)。

(4)形函數(shù)與移動時(shí)間窗相結(jié)合，每個(gè)窗內(nèi)不需或只需截?cái)嗌贁?shù)幾個(gè)奇異值就可以有效地識別未知荷載，從而實(shí)現(xiàn)荷載的在線識別。

［1] 瞿偉廉，王錦文.振動結(jié)構(gòu)動態(tài)荷載識別綜述［J] .華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)(城市科學(xué)版)，2004，21(4):94－99.

［2] Inoue H，Harrigan JJ，Reid SR.Review of inverse analysis for indirect measurement of impact force［J] .Applied Mechanics Reviews，2001，54(6):503 －524.

［3] Jacquelin E，Bennani A，Hamelin P.Force reconstruction:analysis and regularization of a deconvolution problem［J] .Journal of Sound and Vibration，2003，265(1):81－107.

［4] Uhl T.The inverse identification problem and its technical application［J] .Archive of Applied Mechanics， 2007，77(5):325－337.

［5] 智 浩，文祥榮，繆龍秀，等.動態(tài)載荷的頻域識別方法［J] .北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2004(4):5－10.

［6] Inoue H，Ishida H，Kishimoto K.et al.Measurement of impact load by using analysis technique［C] .JSME Int.J.Series 1，1991，34(4):453 －458.

［7] Jankowski?.Off－line identification of dynamic loads［J] .Structural and Multidisciplinary Optimization，2009，37(6):609－623.

［8] Zhang Q，Jankowski?，Duan Z.Identification of coexistent load and damage based on virtual distortion method［C] .In:Proceedings of the 4th European Workshop on Structural Health Monitoring，Cracow，Poland，DEStech，2008:1121－1128.

［9] Doyle J F.A wavelet deconvolution method for impact force identification［J] .Experimental mechanics ，1997，37(4):403－408.

［10] 張 方，朱德懋，張福祥.動荷載識別的時(shí)間有限元模型理論及其應(yīng)用［J] .振動與沖擊，1998，17(2):1－4.

［11] Ha QP，Trinh H.State and input simultaneous estimation for a class of nonlinear systems［J] .Automatica，2004，40:1779－1785.

［12] Allen M S，Carne T G.Delayed，multi－step inverse structural filter for robust force identification［J] .Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22:1036－1054.

［13] Hansen P C.Numerical tools for analysis and solution of Fredholm integral equations of the first kind［J] .Inverse Problems 8，1992:849 －872.

［14] Zhang Q，Jankowski?，Duan Z.Identification of coexistent load and damage［J] .Structural and Multidisciplinary Optimization，2010，41(2):243－253.

［15] Dahlquist G，Bj?rck ?.Numerical methods in scientific computing，volⅡ［M] .2008，to be published by SIAM，URL http://www.mai.liu.se/～ akbjo/NMbook.html.