一類矩陣方程最小二乘問題的LSQR方法

胡善瑞，王明輝，田保光

(青島科技大學數(shù)理學院，山東青島266061)

一類矩陣方程最小二乘問題的LSQR方法

胡善瑞，王明輝，田保光

(青島科技大學數(shù)理學院，山東青島266061)

討論了對稱斜反對稱矩陣的結構，應用LSQR方法求解最小二乘問題‖XTAX－B‖=min(A為待求對稱斜反對稱矩陣)，并給出了相應的算法及數(shù)值例子．

對稱斜反對稱矩陣;LSQR方法;最小二乘問題;矩陣拉直①

0 引言

約束矩陣方程問題在結構動力學、分子光譜學、電力學、參數(shù)識別、生物學、熱力學、線性最優(yōu)控制、自動控制理論等領域有著重要的應用．目前為止，約束矩陣方程在涉及對稱矩陣等問題，應用SVD、GSVD、QSVD、Schur分解等已取得豐碩的成果［1－4］.近年來，隨著求解約束矩陣方程問題的研究不斷深入，一些新的問題不斷被提出和解決，人們在討論解的存在性的同時也提出了許多有效的數(shù)值方法［5－7］.

考慮約束最小二乘問題

其中X∈Rn×m，B∈Rm×m為給定矩陣，A∈ASn為待求矩陣.

對于該問題，周碩和吳柏生［8］已經(jīng)提出了一種求最小二乘解的方法，即應用矩陣標準相關分解(CCD)的方法，推導給出了A的表達式;但由于矩陣分解的方法針對較大型矩陣時，計算量過于龐大，此時不宜采用直接方法.這里，我們提出一種迭代算法，即將LSQR［9］方法應用到問題(1)，得到一類算法，進而求解問題的最小二乘解.

在本文中，我們記所有n×m階的矩陣的集合為Rn×m;所有n階對稱斜反對稱矩陣的集合記為ASn;‖A‖代表矩陣A的Frobenius范數(shù);A?B表示兩個矩陣A與B之間的Kronecker乘積;vec(A)表示對矩陣A中的元素按列作拉直運算組成的一組向量.

1 等價問題

最小二乘問題(1)的約束條件為A∈ASn，需要將約束條件進行無約束轉化，在這之前，我們先考察ASn的結構問題.

定義1［10］當矩陣A∈Rn×n中的元素關于對角線是反對稱，并且關于反對角線是對稱，即滿足時，我們稱A為對稱斜反對稱矩陣.滿足條件的矩陣A的集合記為ASn.關于對稱斜反對稱矩陣的逆特征值及其近似解的問題都已有所討論［10］.

記

且k=［n/2］(即k為不大于n/2的最大整數(shù)).

當k=2n時，令

當k=2n+1時，令

引理1 DTD=I.

引理2［10］A∈ASn當且僅當

引理3［10］A∈ASn當且僅當

記DTX=，其中X1∈R(n－k)×m，X2∈Rk×m.由上面的討論及引理，我們得到下面的定理:

定理1 最小二乘問題

等價于

這里F為

的最小二乘解.

證明:因為A∈ASn，由引理3，存在D∈Rn×n，F(xiàn)∈R(n－k)×k使

另一方面，

定理得證.

2 最小二乘問題(2)的LSQR方法

2.1 LSQR方法簡單回顧

Paige與Sauders于1982年提出的LSQR算法［9］，用以解決下面的最小二乘問題:給定A∈Rm×n，b∈Rm，計算x滿足

它的法方程為

考慮到文獻中已經(jīng)有詳細的討論，這里我們簡單給出它的算法:

1 初始化

2 迭代，對于i=1，2，…

(1)雙對角化

(2)構造和應用Householder變換

(3)更新xi和hi+1

3 檢查收斂性.

易知，如果(4)有解x*∈R(ATA)=R(AT)，那么x*是(3)的極小范數(shù)解，顯然，由LSQR算法得到的xk屬于R(AT).

2.2 最小二乘問題(2)的LSQR算法

考慮最小二乘問題(2)，我們需要先將其轉化為向量的形式，再應用LSQR算法.

引理4［11］對于任意的S1∈Rm×n，S2∈Rp×q，定義p(l，k)形式如下:

則

這里P(i，j)=P(j，i)T=P(j，i)－1.由此，我們得到如下定理:

定理2最小二乘問題

等價于

證明:對

對矩陣作拉直運算

記

則問題化為

定理得證.

下面對‖Mx－b‖2=min應用LSQR方法，把其中的向量迭代寫成矩陣的形式，從而避免Kronecker積的出現(xiàn).為此，我們需要把LSQR方法中的v和u轉化成矩陣V和U，因此必須先把MTu和Mv轉化成矩陣形式.

用符號mat(a)表示向量a的矩陣化，在這里也是算子vec的逆運算，對v∈Rk·(n－k)，u∈Rm2，令V=mat(v)∈Rk×(n－k)，U=mat(u)∈Rm×m，則我們有

現(xiàn)在，我們給出求解問題(2)的LSQR算法:

1 初始化

2 迭代，對于i=1，2，…

3 檢查收斂性.

注2:當XTAX=B是相容方程時，由算法可以計算它的極小范數(shù)解.

3 數(shù)值例子

本節(jié)通過兩個例子看看算法的執(zhí)行情況，所有結果都是在matlab7.0運行得到.

例1考慮矩陣方程XTAX=B，其中

圖1(Fig.1)

圖2(Fig.2)

可以驗證方程是相容的，而且有唯一解

應用上面的算法，當?shù)M行到第k步，得到Fk，進而可求得Ak.我們以δk=‖Ak－A*‖/‖A*‖表示解的相對誤差，rk=‖B－XTAkX‖表示殘差，計算結果見圖1.可見，隨著迭代的進行，δk和rk最終趨于一個穩(wěn)定值(如圖1)，其對應解為最優(yōu)解.

例2對于‖XTAX－B‖=min(A∈ASn為待求)，已知

求解問題的最小二乘解.

用上面的算法進行計算時，考慮(2)的法方程.由(5)可得法方程為MTMx=MTb，通過一系列變換(矩陣與向量之間的轉換)得到

記

為迭代進行到第i步的殘量.則由圖2可以看到，隨著迭代的進行，當?shù)降?1步以后的時候，殘量值趨于穩(wěn)定，此時迭代得到的解A為最優(yōu)解，并且有

［1］臧正松．矩陣方程AXB=C的實部半正定解［J］．華東船舶工業(yè)學院學報，2002，16(02):50－53．

［2］彭振赟．幾類矩陣擴充問題和幾類矩陣方程問題［D］．湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，2003．

［3］廖安平，白中治．矩陣方程A^TXA=D的雙對稱最小二乘解［J］．計算數(shù)學，2002，24(1):9－20．

［4］袁仕芳，廖安平，雷淵．四元數(shù)體上矩陣的最小化問題［J］．數(shù)學物理學報，2009，29A(5):1298－1306．

［5］Sun Jie．The Iterative Method for the Solution to the Restricted Matrix Equation［J］．Journal of Shanghai Institute of Technology，2007，7(01):4－9．

［6］田兆祿．線性方程組Ax=b和矩陣方程Sylvester的迭代解法［D］．上海大學，2008．

［7］Fang Ling，Li Bo and Fu Shilu，et al．Iternative Solutions of the Inconsistent Matrix Equation AXB=D in Anti－centrosymmetric Matrix Set［J］．Journal of Logistical Engineering University，2010，26(04):86－91．

［8］Zhou Shuo and Wu Bai－sheng．Least－square Solutions of Inverse Problems for Anti－symmetric and Skew－symmetric Matrices．Northeast．Math．J，2007，23(3):189－199．

［9］C．C．Paige and A．Saunders．Lsqr:An Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares．ACMTrans．Math．Software，1982:8(1):43－71．

［10］Xie Dongxiu and Sheng Yanping．Inverse Eigenproblem of Anti—Symmetric and Persymmetric Matrices and Its Approximation，Inverse Problems，2003，19:217－225．

［11］R．A．Horn and C．R．Johnson．Topics in Matrix Analysis［D］．Cambridge University Press，Cambridge，UK，1991．

［責任編輯:陳慶朋］

Abstract:The structure of anti－symmetric and skew－symmetric matrix is discussed．The LSQR method is applied to solve the least－square problem‖XTAX－B‖=min(where A is a anti－symmetric and skew－symmetric matrix)and the corresponding arithmetic together with some numerical examples are given．

Key words:anti－symmetric and skew－symmetric matrix;the LSQR method;least－square problem;matrix straighten

The LSQR Method to the Least－square Problem of a Class of Matrix Equation

HU shan－rui WANG Ming－h(huán)ui TIAN Bao－guang
(College of Mathematical and Physical Sciences，Qingdao University of Science＆Technology，Qingdao 266061，China)

O151

A

1004－7077(2011)02－0051－06

2011－01－27

國家自然科學基金資助項目(11001144)

胡善瑞(1987－)，男，山東濟寧人，青島科技大學數(shù)理學院應用數(shù)學專業(yè)2009級在讀碩士研究生，主要從事數(shù)值代數(shù)方向的研究．