Bloch型空間到Zygmund型空間的廣義Cesàro算子和復(fù)合算子的積

歐陽小榮

(浙江師范大學(xué)數(shù)理信息與工程學(xué)院,浙江金華321004)

Bloch型空間到Zygmund型空間的廣義Cesàro算子和復(fù)合算子的積

歐陽小榮

(浙江師范大學(xué)數(shù)理信息與工程學(xué)院,浙江金華321004)

ω和μ是[0,1)上的正規(guī)函數(shù),g是單位球Bn上的全純函數(shù),φ是Bn上的全純自映射,由g和φ誘導(dǎo)的算從Bloch型空間到Zygmund型空間有界和緊的充要條件.

Bloch型空間;Zygmund型空間;Cesàro算子;復(fù)合算子;有界性;緊性

MSC 2000:47B38

0 引言

以Bn={z∈Cn∶|z|<1}表示Cn上的單位球,H(Bn)表示Bn上全純函數(shù)的全體.設(shè)z=(z1,…,zn),w =(w1,…,wn)是Cn中的兩點(diǎn),其內(nèi)積定義為,其徑向?qū)?shù)和梯度分別是

于是,當(dāng)f∈H(Bn)時其中|α|=α1+α2+…+αn.

給定區(qū)間[0,1)上的正值連續(xù)函數(shù)ω,如果存在0≤δ<1和0

Bn上的Bloch型空間Βω和小Bloch型空間Βω,0分別定義為:

在范數(shù)‖f‖Βω=|f(0)|+‖f‖ω下,容易驗(yàn)證Bloch型空間和小Bloch型空間都是Banach空間.對這個空間的研究可見文[1]、[2]等.進(jìn)一步,若取ω(r)=(1-r2)α,分別取α=1和0<α<1,則Βω是Bloch空間和Lipschitz空間.對Bloch空間和Lipschitz空間的研究可見文[8]、[9]、[10]等.

給定正規(guī)函數(shù)μ(z)=μ(|z|),Bn上的Zygmund型空間定義為:

其中,μ(z)=μ(|z|).進(jìn)一步,稱f屬于小Zygmund空間Ζμ,0,如果f∈Ζμ且滿足

容易驗(yàn)證Ζμ和Ζμ,0在范數(shù)

下是Banach空間.

設(shè)g∈H(Bn),H(Bn)上的廣義Cesàro算子Tg定義為:

φ=(φ1,…,φn)是Bn上的全純自映射,復(fù)合算子Cφ定義為:

廣義Cesàro算子和復(fù)合算子的積為:

通過計算有:

其中,?φ(z)=(?φ1(z),…,?φn(z)).以下所出現(xiàn)的φ和?φ(z)都如這里所述.若n=1,g=φ,φ(0)=0,該算子就是Volterra型復(fù)合算子;若φ(z)=z,該算子就是廣義Cesàro算子(見文[4]、[6]、[7]).在文[3],Li首先引入算子TgCφ,并研究了該算子從H∞和Bloch空間到Zygmund空間的有界性和緊性.之后,Li和Stevic在文[10]又研究了該算子在Bloch空間上的有界性和緊性.本文主要研究TgCφ在單位球Bn上從Bloch型空間到Zygmund型空間的算子有界性和緊性.文[3]中的部分結(jié)果正好是本文在n=1,ω (r)=1-r2時的結(jié)果.

本文涉及的C表示正常數(shù),在不同的位置可表示不同的數(shù).A?B表示存在常數(shù)C使得

1 TgCφ的有界性

為了研究TgCφ的有界性,我們先引入幾個引理.引理1[6]設(shè)f∈Βω,則

文章所出現(xiàn)的函數(shù)h都如這里所述.

引理2 給定正規(guī)函數(shù)ω,則h∈H(Bn),|h(z)|≤h(|z|)∈R,z∈Bn.且

進(jìn)一步,對任意的r∈(0,1),ω(r)?ω(r2).

證明 可參見文[5].

定理1 設(shè)g∈H(Bn),φ是Bn上的全純自映射.則下列各條款等價:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ有界;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界;

證明 (i)?(ii)是顯然的.

(iii)?(i).對任意的f∈Βω,有:

由(2)、(3)、(4)、(6)、(7)、(9)式得:

結(jié)合(8)式得:

(i)?(iii).首先,假設(shè)TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界.令f(z)=1,則(f°φ)(z)=1,?(f°φ)(z)=0,由(8)、(2)式及TgCφ的有界性得:

再令f(z)=z,由(8)、(2)、(10)式知:

對任意w∈Bn,令

其次,設(shè)w∈Bn,當(dāng)|φ(w)|≤δ,δ∈(0,1),顯然有:

當(dāng)δ<|φ(w)|<1時,令

由引理2知,

由TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界.故對任意的w∈Bn,有:

定理證完.

定理2 設(shè)g∈H(Bn),φ是Bn上的全純自映射,則TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界的充要條件是TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界,且

成立.

證明 必要性 假設(shè)TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界,則TgCφ∶Βω,0→Ζμ有界,且對任意的f∈Βω,0有TgCφf∈Ζμ,0.取f(z)=1,則

取f(z)=z,則

所以(12)、(13)式成立.

充分性 設(shè)p是一多項(xiàng)式,由(13)、(14)式知,當(dāng)|z|→1時,

所以TgCφp∈Ζμ,0.又因?yàn)槎囗?xiàng)式集是Βω,0中的稠密集,所以對任意的f∈Βω,0,存在多項(xiàng)式列{pk}k∈N＊,使得‖Pk-f‖Βω→0,(k→∞).于是,對任意的f∈Βω,0,當(dāng)k→∞時,由TgCφ∶Βω,0→Ζμ的有界性,

所以TgCφf∈Ζμ,0.由閉圖像定理,所以TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界.定理證畢.

2 TgCφ的緊性

引理3 閉集K?Ζμ,0是緊集當(dāng)且僅當(dāng)K有界且滿足:

證明 類似于文[11]中引理1.

引理4 設(shè)g∈H(Bn),φ是Bn上的全純自映射,有界算子TgCφ∶Βω(Βω,0)→Ζμ是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)對Βω(Βω,0)中任意有界且在Bn內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于零的序列{fk}k∈N＊有‖TgCφfk‖μ→0(k→∞).

定理3 設(shè)g∈H(Bn),φ是Bn上的全純自映射,TgCφ∶Βω→Ζμ有界.則下列各條款等價:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ是緊算子;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ是緊算子;

證明 (iii)→(i).設(shè)(15)、(16)式成立,則對任意的ε>0,存在δ∈(0,1),當(dāng)δ<|φ(z)|<1時,有:

由于{fk}與{▽fk}在Bn內(nèi)內(nèi)閉一致收斂以及ε的任意性知,當(dāng)k→∞時,

由引理4知TgCφ∶Βω→Ζμ是緊算子.

(ii)→(iii).事實(shí)上,(16)式的成立等價于

設(shè){zk}k∈N＊是Bn中的序列,滿足|φ(zk)|→1(k→∞).令

則fk∈Βω,0,‖fk‖Βω≤C.且

由(5)和(2)式得:

由TgCφ的緊性可得(16)式.

對上述的{zk},令

于是,由引理2得:

由于TgCφ的緊性和(16)式成立,得:

定理證畢.

定理4 設(shè)g∈H(Bn),φ是Bn上的全純自映射,則下列各條款等價:

(i)TgCφ∶Βω→Ζμ,0是緊算子;

(ii)TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0是緊算子;

證 (i)→(ii)是顯然的.

(iii)→(i).由引理3知,TgCφ∶Βω→Ζμ,0是緊算子當(dāng)且僅當(dāng)

設(shè)‖f‖Βω≤1,由(19)、(20)式得:

所以TgCφ∶Βω→Ζμ,0是緊的.

(ii)→(iii).假設(shè)TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0是緊的,則TgCφ∶Βω,0→Ζμ是緊算子.由定理3(15)式知,對任意的ε>0,存在δ∈(0,1),使得當(dāng)δ<|φ(z)|<1時,有:

因?yàn)門gCφ∶Βω,0→Ζμ,0是緊算子,所以TgCφ∶Βω,0→Ζμ,0有界,由定理2知:

故對上述的ε,存在r∈(0,1),使得當(dāng)r<|z|<1時,有:

因此,當(dāng)δ<|φ(z)|<1,r<|z|<1時,

當(dāng)|φ(z)|≤δ,r<|z|<1時,

由(21)、(22)式及ε的任意性可得(15)式.同樣的方法可得到(16)式.證畢.

致謝:衷心感謝胡璋劍教授的精心指導(dǎo).

[1]ZHU K H.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball[M].New York:Springer,2005:79～103.

[2]COWEN C C,MACCLUER B D.Composition Operators on Spaces of Analytic Functions[M].Boca Raton:Studies in Advanced Mathematics,CRC Press,1995:15～94.

[3]LI S X,STEVO S.Products of Volterra type operator and composition perator fromH∞and Bloch spaces to Zygμnd spaces[J].J Math Anal Appl,2008(345):40～52.

[4]HU ZJ.Extended Cesgrave aro operators on the Bloch space in the unit ball ofCn[J].Acta Math Sci Ser B Engl Ed, 2003,23(4):561～566.

[5]HU ZJ,WANG S S.Compositions operators on Bloch-type spaces[J].Proc Royal Soc Edinburgh,2005(135):1229～1239.

[6]TANG X M.Extended esgrave aro operators between Bloch-type spaces in the unit ball ofCn[J].J Math Anal Appl, 2007(326):1199～1211.

[7]ZHOU Z H,ZHU M.Extended Cesàro operators between generalized Besov spaces and Bloch type spaces in the unit ball[J].Journal of Function Spaces and Applications,2009,7(3):209～223.

[8]FL ETT TM.Lipschitz spaces offunctions on the circle and the disc[J].J Math Anal Appl,1972(39):125～158.

[9]JANSON S.Generalization on Lipschitz spaces nd applications to Hardy spaces and bounded mean oscillation[J].Duke Math J,1980(47):959～982.

[10]LI S X,STEVO S.Products of inegral-type operators and composition operators between Bloch-type spaces[J].J Math Anal Appl,2009,49(2):596～610.

[11]MADIGAN K,MATHESON A.Compact composition operators from Zygund spaces into Bloch spaces[J].Trans A-mer Math Soc,1995(347):2679～2687.

Products of ExtendedCesàroOperator and Composition Operator fromBloch-typeSpaces toZygmund-typeSpaces

OU YANG Xiao-rong
(College of Mathematica,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

Letωandμbe normal function,gbe holomorphic function on the unit ball andφbe holomorphic self-mapping ofBn.The operatorTgCφ∶Bω(Bω,0)→Zμ(Zμ,0)induced bygandφ,defined byTgCφfditions for the operatorTgCφfromBloch-ty pespaces toZy gmund-ty pespaces.

Bloch-ty pespaces;Zy gmund-ty pespaces;extended Cesàrooperator;composition operator

O175.14

A

1009-1734(2011)01-0018-07

2010-10-24;

2010-11-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10771064);浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y7080197,Y6090036,Y6100219).

歐陽小榮,浙江師范大學(xué)數(shù)理信息與工程學(xué)院2008級在讀碩士,從事函數(shù)論研究.

MSC 2000:47B38