超空泡射彈尾拍振動特性分析

張勁生，張嘉鐘，曹 偉，魏英杰，于開平

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，150001哈爾濱，zjn88@126.com)

水下航行體高速運動時(＞50 m/s)，航行體表面附近的水會發(fā)生空化相變，形成覆蓋航行體大部分或全部表面的超空泡.形成超空泡之后，航行體將在氣體中航行，從而極大地降低了所受的流體阻力[1].利用超空泡減阻，水下射彈可以實現(xiàn)超高速水下飛行.由于發(fā)射時射彈會受到擾動，當(dāng)飛行速度處于300～900 m/s時，彈體將發(fā)生尾拍.即射彈在前進(jìn)的同時，還繞著其前端擺動，使射彈的尾部與空泡壁面發(fā)生連續(xù)地碰撞和反彈，如圖1所示[2].在尾拍航行階段，過大的動應(yīng)力響應(yīng)會導(dǎo)致彈體結(jié)構(gòu)失效，過大的彎曲變形可以使射彈運動時發(fā)生翻滾失穩(wěn)[3]，因此研究超空泡射彈的尾拍振動特性具有重要意義.

圖1 射彈尾拍示意

尾拍過程中，射彈在繞頭部轉(zhuǎn)動的同時，彈體還發(fā)生振動.大范圍的剛體轉(zhuǎn)動與彈體變形運動發(fā)生相互耦合，使系統(tǒng)的振動特性與不考慮耦合效應(yīng)時的系統(tǒng)振動有很大的不同，產(chǎn)生“動力剛化”現(xiàn)象.這時系統(tǒng)的振動頻率和模態(tài)振型將是時變的，并隨角速度而變化，而不是無剛體轉(zhuǎn)動時系統(tǒng)振動的固有頻率和固有模態(tài)[4].

到目前，國內(nèi)、外對超空泡流的流體動力學(xué)特性已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究，對超空泡航行體自身的力學(xué)特性也開始進(jìn)行一些研究工作，主要是對超空泡魚雷的振動特性和超空泡射彈的彈道、動力學(xué)的研究[5－9].但對超空泡射彈尾拍航行時的振動特性的研究還很少;尤其是考慮到射彈的剛體轉(zhuǎn)動與振動發(fā)生了耦合作用，這時傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論不再適用，應(yīng)該采用剛－柔耦合動力學(xué)理論來研究系統(tǒng)的振動特性.

本文在前人關(guān)于剛－柔耦合動力學(xué)理論的基礎(chǔ)上[4，10－11]，針對射彈尾拍運動的特點，建立其邊界條件，得到了彈體橫向振動的基頻和一階模態(tài)，并對它們與轉(zhuǎn)速、長細(xì)比、彈體材料特性的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值模擬和分析.本文得到的結(jié)果可以為進(jìn)一步研究超空泡射彈的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計提供必要的參考.

1 動力學(xué)控制方程及邊界條件

為簡化起見，可以將彈體模型簡化為細(xì)長圓柱體，基于彈性梁變形理論和Hamilton變分原理，建立剛體轉(zhuǎn)動與變形運動相互耦合的系統(tǒng)動力學(xué)方程.本文只考慮彈體的橫向振動，不計其縱向振動，耦合動力學(xué)控制方程為[11]

其中:F2=w2x[(x2－l2)/2－I/A];E為彈性模量;I為截面慣性矩;w2為彈體中線上點的橫向位移;A為截面積;ω為轉(zhuǎn)動角速度;ρ為密度;l為彈體長度;x為彈體軸向坐標(biāo).無量綱化后的方程為[11]

t為運動時間.

采用分離變量法求解控制方程，令

其中φ(ξ)為模態(tài)函數(shù).對模態(tài)函數(shù)采用Frobenius法求解，則

其中cr為待定系數(shù)，vr(ξ)可由遞推關(guān)系求得.

在水阻力Fr、慣性力Fi、重力G和尾拍沖擊載荷Fim的作用下，射彈在前進(jìn)方向上作減速運動，同時彈體繞前端點o來回擺動，使尾部與空泡壁面不斷發(fā)生碰撞并被反彈.為簡化分析彈體的橫向振動，可以將彈體近似看作是前端受簡支約束，后端自由的梁，在外力作用下，以角速度ω做上下來回的擺動，如圖2所示.

圖2 射彈受力及約束

故可以建立無量綱化后的邊界條件有:

拉丁美洲和加勒比海地區(qū)2017年的核電裝機容量為5.1 GWe。該地區(qū)核電容量在2030年、2040年和2050年的高值情景預(yù)測值分別為10 GWe、17 GWe和20 GWe，低值情景預(yù)測值分別為8 GWe、7 GWe和8 GWe。

簡支端

自由端

2 彈體基頻和一階模態(tài)

由簡支邊界條件可得c0=c2=0，所以

由自由端邊界條件可得

方程要有非零解，則必須

當(dāng) v1ξξ、v3ξξ精確到 ξ5、v1ξξξ、v3ξξξ精確到 ξ4時，由式(1)可得系統(tǒng)橫向振動的頻率方程為

可解得系統(tǒng)一階頻率ωd(無量綱化值)為

其中c3為任意常數(shù).

3 數(shù)值模擬及分析

3.1 系統(tǒng)基頻的計算和分析

為了分析彈體長細(xì)比和轉(zhuǎn)速對橫向振動頻率的影響，取材料為鋼，直徑d=0.01 m，但長細(xì)比b=l/d不相同的系列射彈，利用前述的結(jié)果，分別對其一階頻率進(jìn)行計算.當(dāng)不考慮彈體轉(zhuǎn)動與橫向振動的耦合效應(yīng)時，算得彈體橫向振動的基頻值，無量綱化后近似為11.當(dāng)考慮轉(zhuǎn)動角速度ω對系統(tǒng)頻率的耦合影響時，可以得到如圖3所示的橫向振動基頻圖.

圖3 不同長細(xì)比時，基頻與轉(zhuǎn)速關(guān)系

從圖中可見，振動系統(tǒng)不存在所謂的固有頻率，其頻率值隨轉(zhuǎn)動角速度的增加而變大.同時，彈體長細(xì)比增大，使系統(tǒng)柔度增加，導(dǎo)致大范圍轉(zhuǎn)動對振動特性的影響更加顯著，從而使振動頻率隨角速度的變化更迅速.當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(ω ＜50 rad/s)，或者長細(xì)比較小時(b＜12)，轉(zhuǎn)動對振動頻率的影響很小，可以認(rèn)為系統(tǒng)的頻率保持不變，等于不計耦合作用的影響時系統(tǒng)的固有頻率.

為了分析材料特性對振動頻率的影響，分別選取 h= ρ/E=3 × 10－8、3.4 × 10－8、3.9 × 10－8、4.2 ×10－8、6.5 ×10－8的材料進(jìn)行計算，得到如圖4所示的振動基頻圖.

圖4 不同材料下，基頻與轉(zhuǎn)速關(guān)系

可見h越大時，基頻隨著角速度增加得越明顯.當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(ω ＜50 rad/s)，各種材料模型的頻率都近似相同，這時可以認(rèn)為基頻與材料參數(shù)無關(guān)，也不隨轉(zhuǎn)速變化，并近似等于系統(tǒng)的固有頻率.

3.2 系統(tǒng)一階模態(tài)的計算和分析

對材料相同，但長細(xì)比b不同的射彈，在不同角速度下，計算彈體的一階模態(tài).可得到如圖5、6所示的彈體一階振型.再對長細(xì)比相同而材料特性量h不同的射彈，計算其一階模態(tài).得到如圖7、8所示的彈體一階振型.

圖5 b=12時，一階模態(tài)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

圖6 b=30時，一階模態(tài)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

圖7 h=6.5×10－8時，一階模態(tài)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

圖8 h=3×10－8時，一階模態(tài)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系

從圖中可見，模態(tài)振型都隨角速度的不同發(fā)生變化;比較圖5和圖6可以看出，當(dāng)長細(xì)比b較大時，模態(tài)隨角速度的變化更劇烈，轉(zhuǎn)動與振動間的耦合效應(yīng)更強烈.

同樣，比較圖7和圖8，可見當(dāng)彈體材料參數(shù)h=ρ/E較大時，模態(tài)隨角速度的變化更顯著.

但當(dāng)轉(zhuǎn)速ω＜100 rad/s時，可近似地認(rèn)為彈體模態(tài)是不變的，不受轉(zhuǎn)速、長細(xì)比和材料的影響，并與不計轉(zhuǎn)動的耦合影響時系統(tǒng)的固有模態(tài)相同.

可見，彈體越細(xì)長，剛度越小，轉(zhuǎn)動角速度越大，都會使彈體的大范圍轉(zhuǎn)動對彈體振動的耦合作用增強，使模態(tài)出現(xiàn)明顯的變化.但當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(ω＜100 rad/s)，可忽略耦合作用的影響，并認(rèn)為系統(tǒng)模態(tài)是不變的，等于其固有模態(tài).

4 結(jié)論

1)彈體長細(xì)比的增大和材料常數(shù)h的增加，會使彈體的整體剛性降低，這將使大范圍轉(zhuǎn)動對彈體振動的耦合作用增強，從而導(dǎo)致振動頻率和模態(tài)隨轉(zhuǎn)速的變化更加顯著.

2)當(dāng)長細(xì)比較小時(b＜12)，彈體轉(zhuǎn)動對振動頻率的影響可忽略不計，認(rèn)為振動頻率等于不考慮轉(zhuǎn)動影響時系統(tǒng)的固有頻率.

3)較小的轉(zhuǎn)速下，可以忽略耦合作用對振動的影響;當(dāng)角速度ω＜50 rad/s，可采用系統(tǒng)的固有頻率值，當(dāng)ω ＜100 rad/s，可采用彈體的固有模態(tài).

[1]ANUKUL G.Robust control of supercavitating vehicles in the presence of a dynamic and uncertain cavity[D].Florida:University of Florida，2005.

[2]SAVCHENKO Y N.Control of supercavitation flow and stability of supercavitating motion of bodies[C]//RTO AVT lecture series on supercavitating flows.Brussels Belgium:[s.n.]，2001.

[3]HRUBES J D.High-speed imaging of supercavitating underwater projectiles [J]. Experiments in Fluids，2001，30:57 －64.

[4]蔣麗忠，周凌宇，羅小勇.剛一柔耦合系統(tǒng)動力學(xué)分析[J].長沙鐵道學(xué)院學(xué)報，2000，18(3):1－5.

[5]楊傳武，王安穩(wěn).動態(tài)軸向載荷對超空泡航行體振動特性的影響[J].華中科技大學(xué)學(xué)報，2008，36(12):71－74.

[6]RAND R，PRATAP R，RAMANI D.Impact dynamics of a supercavitating underwater projectile[C]//Proceedings of the 1997 ASME Design Engineering Technical Conference.Sacramento:ASME，1997.

[7]KULKARNI S S，PRATAP R.Studies on the dynamics of a supercavitating projectile[J].Applied Mathematical Modelling，2000(24):113－129.

[8]孟慶昌，張志宏，顧建農(nóng)，等.超空泡射彈尾拍分析與計算[J].爆炸與沖擊，2009，29(1):56－60.

[9]曹偉，魏英杰，韓萬金，等.超空泡航行體阻力系數(shù)的數(shù)值模擬研究[J].工程力學(xué)2008，25(12):208－212.

[10]YOO H H，SHIN S H.Vibration analysis of rotating cantilever beams[J].Journal of Sound and Vibration，1998，212(5):807－828.

[11]蔣麗忠，洪嘉振.大范圍運動對彈性梁振動頻率及模態(tài)的影響[J].振動與沖擊，1999，18(1):13－16.