一類(lèi)高考題解法再思考——高數(shù)背景下，慎用高數(shù)結(jié)論

441021 湖北襄陽(yáng)四中 馬海俊

近幾年，高考數(shù)學(xué)壓軸題中常出現(xiàn)函數(shù)型不等式的恒成立問(wèn)題，可歸結(jié)為“對(duì)?x≥0時(shí)，f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立，其中g(shù)(x)含有參數(shù)a，試確定a的范圍”.此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度大，能力要求高.對(duì)于考生能夠起到一定的甄別及選拔功能.張潤(rùn)平老師在文［1］中，利用高數(shù)知識(shí)，給出如下命題，并通過(guò)此命題解決了幾例高考題.筆者在學(xué)習(xí)了張老師的文章之后深受啟發(fā)，感覺(jué)如果老師能站在高數(shù)背景下講解數(shù)學(xué)考題，勢(shì)必會(huì)有一種高屋建瓴之氣勢(shì)，對(duì)于學(xué)生開(kāi)拓視野，提升能力也極為有用.可是，當(dāng)我再細(xì)細(xì)品味張老師文章，發(fā)現(xiàn)張老師的命題稍有瑕疵.今整理出來(lái)與張老師及各位同行交流.

張老師在文［1］中給出以下證明過(guò)程：

則F(x)在［m，t］上連續(xù)，在(m，t)內(nèi)可導(dǎo).

由拉格朗日中值定理知：?ξ∈(m，t)，使得

成立，

則F(t)=F'(ξ)t，

∴F(x)=F'(ξ)x，由于F(x)=f(x)-g(x)≥0，

∴ 當(dāng)x＞0 時(shí)，F(xiàn)'(ξ)≥0，即F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0，

∴ 當(dāng)x＞0時(shí)，f'(x)≥g'(x)恒成立.

細(xì)細(xì)推敲張老師的證明過(guò)程發(fā)現(xiàn)問(wèn)題出在ξ上.證明過(guò)程中ξ只是存在，卻不是任意的.盡管t是任意的，但是對(duì)應(yīng)于每個(gè)t，一旦取定，在區(qū)間(m，t)內(nèi)，都是存在ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0成立，即 ξ不是取遍區(qū)間(m，t)內(nèi)所有值.所以不能因?yàn)槟苷业玫?ξ使得F'(ξ)=f'(ξ)-g'(ξ)≥0 成立，就下結(jié)論對(duì)任意的x＞0，f'(x)≥g'(x)恒成立.

通過(guò)以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，盡管目前高考?jí)狠S題雖然大多具有高數(shù)背景，具備一定的高數(shù)知識(shí)有助于解題，但在使用有關(guān)結(jié)論及定理時(shí)，要慎重考慮定理成立的條件，不然就會(huì)出現(xiàn)以特例代替一般而犯錯(cuò).

事實(shí)上，張老師在文［1］中選擇的五個(gè)例題之所以使用命題可以解答，得到正確答案，就在于題目本身隱含了一個(gè)條件，那就是構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)后二階導(dǎo)數(shù)是大于或等于零的，這就說(shuō)明F'(x)是一個(gè)增函數(shù)，再有初始條件F'(x0)=0，就能得到x＞x0時(shí)，f'(x)≥g'(x)恒成立.

下面僅以文［1］中例1為例說(shuō)明.

(Ⅰ)，(Ⅲ)略

(Ⅱ)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求a的取值范圍;

此時(shí)，令 F(x)=f(x)-lnx，則

上述過(guò)程再次告訴我們，利用高數(shù)命題簡(jiǎn)化證明的過(guò)程中，一定要注意充分挖掘隱含條件，慎將高數(shù)結(jié)論推廣.

1 張潤(rùn)平.高等數(shù)學(xué)背景下一類(lèi)壓軸題的簡(jiǎn)解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版).2011，2