對一題多解的辯證理解

435100 湖北省大冶市第一中學 余錦銀

1 一題多解的優(yōu)點

“一題多解”之所以深受數學教師的重視，就是因為在解題過程中能夠引導學生多層次、多角度的思考問題，全面地應用知識來分析問題與解決問題.

例如人教版第二冊(下B)的習題9.8的第4題：如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長為1，求直線 DA'與 AC的距離.教師可以引導學生從不同的入口，挖掘不同的解法.

解法1∵AC∥平面A'DC'，

∴點A到平面A'DC'的距離h就等于異面直線AC與DA'的距離，從而轉化為點面距.

解法2不妨在AC上任取一點H，過H作GH⊥AD交AD于點G，則GH⊥平面ADD'A'，

∴GH⊥A'D，在A'D上再任取一點F，轉化為異面直線上任意兩點距離的最小值.

解法3以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D'(0，0，1)，A'(1，0，1)，設MN的一個方向向量為a=(x，y，1)，利用a⊥→—AC，

在教學中，教師應發(fā)掘問題的多解因素，結合學生的實際情況，鼓勵學生以問題為出發(fā)點，不囿于單一的解題思路和方法，引導學生在解法上求異，盡可能尋求較多的解題思路、方法.而教學中通過一題多變的教學手段，能使學生深刻吃透知識的外延與內涵，同時培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力，挖掘出學生的創(chuàng)新潛力，形成探究意識，從而達到以一勝多的功效.

2 一題多解的常見誤區(qū)

在高三復習中，許多教師都非常重視一題多解教學，因為一題多解教學既能幫助學生夯實“雙基”，又可以培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和靈活性，提高學生能力，從而提高高三習題教學的復習效果.然而筆者發(fā)現，有些深愛學生的老師，正是用自己的奮斗——“一題多解”的使用不當，去摧毀自己的復習目標——老師精彩講解后，很多學生卻感慨“老師講的頭頭是道，可是我為什么就想不到?”.

常見誤區(qū)一教師或尖子生唱“獨角戲”.有的教師在課堂上常把自以為得意的“巧解妙法”大肆羅列，或將個別尖子學生的思維代替全班學生的思維，把大多數學生放在一邊作陪襯，以至于很多的巧解妙法難于為多數學生所理解和接受.

高效原則1面向大多數.試想，對一名基礎題型都搞不明白的學生，大談什么“一題多解”有什么實際意義呢?這樣做恐怕只能是麻雀跟著蝙蝠飛——熬了眼睛受了罪.結果越聽越糊涂.如同邯鄲學步——跑沒學會，走也忘了.這顯然與我們實施“一題多解”的初衷背道而弛.對這樣的學生，教師必須先解決好他們的基礎知識和基本技能，然后循序漸進，登堂入室.在基礎條件不具備的情況下，“一題多解”先緩一緩也未嘗不可.雖然我們一貫強調面向全體卻無法使所有的學生齊頭并進，但我們必須面向絕大多數學生——以獲得復習效益的最大化.

高效原則2時機要恰當.一題多解教學要在學生對有關的知識和技能熟練掌握的基礎上進行.如果學生對有關的知識和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運用，就談不上縱向、橫向聯(lián)系，也就不能進行一題多解.所以，一題多解教學一般應在學生對某一部分知識或某幾部分知識熟練掌握的時候，在綜合練習時進行.學生對基礎知識掌握得越深刻，越透徹，基本技能越嫻熟，越靈活，就越能夠進行一題多解，上這種課就越能收到好的效果.

高效原則3選題要得當.選題得當是學生一題多解的前提條件.它既要能夠一題多解，又要顧及班上差生、好生的具體情況，使差生想想也能找出幾種解法，使好生也有用武之地.

常見誤區(qū)二忽視學生主體.學生面對一道例習題的多種解法，為什么會發(fā)出“想不到”“到底哪種解法好”的困惑?

高效原則4學生參與.開展一題多解的教學，首先要把各種解法的發(fā)言權徹底交給學生，讓學生在主動參與、獨立探索中充分暴露解決問題的思維過程.這樣，學生解題過程中思維受阻的現象、典型錯誤、閃光點等會充分展示出來.接著，引導學生逐一剖析、交流、反思，讓學生在激烈的多樣化的思維碰撞中感悟各種解法的本質.最后，教師再有針對性的加以引導、點撥與評價，從而最大限度的促進每個學生的發(fā)展.這樣的一題多解教學才是有效的.

常見誤區(qū)三教師“啟發(fā)”過多.過多的“啟發(fā)”就會剝奪學生思維“長度”，甚至打斷學生思維.

高效原則5還課于生.擠牙膏式的“啟發(fā)”并不是真正的啟發(fā)!并不能真正培養(yǎng)學生的思維.因為這樣的教學并沒有讓學生整體地面對問題、整體地思考問題、獨立地探究問題，不僅對培養(yǎng)學生的思維沒有實質幫助，甚至連學生探求知識的熱情也會扼殺.因此，教師在備課時一定要搞清楚的一個問題就是：“什么內容是非講不可的?什么內容可以不講?”

高效原則6適時靜默、少講多聽多看.中國古代哲學認為治國的最高境界是“無為而治”，與此類比，我們的教學是否也可以“不教而學”呢?“練在講之前”，只有在老師講解之前學生已經深入地鉆研了問題，他才能有“資本”與老師進行平等的對話、交流，他才能真正成為學習的主體.但學生思考練習時，教師要靜默，不能用所謂的啟發(fā)打斷學生的思維，即使輪到自己講時，也只能“講在關鍵處”，一是以學生的學定老師的教，讓學生得到真正的啟發(fā)，而不是以教代學;二是確保能夠騰出時間、空間讓學生投入到問題的探究之中，讓他們真正成為課堂學習的主人.

常見誤區(qū)四忽視總結規(guī)律.在教學中，有些教師常常忽視了多解教學中的歸納概括，孤立地看待多解中的各種解法，從而使學生的思維滯留在感性階段，不能產生質的飛躍.

高效原則7目的明確.不但一題多解，還要善于歸納：應該說，一題多解對于培養(yǎng)學生從不同角度、不同側面去分析問題、解決問題，加深對教材和知識的理解，提高他們的學習能力是十分必要的.但一題多解的最終目的不是來展示有多少種解決問題的途徑，也不是所有的題目都需要用多種方法去解決，而是要尋找一種最佳、最近的途徑，也就是說，掌握“一題多解”的最終目的是為了“一題一解”.不要胡亂堆砌，讓學生驚嘆于教師的高明之余卻茫然于各種解法，而要突出解題分析和解題回顧，引導學生提煉數學思想方法，優(yōu)化已有的解題習慣與方法.

高效原則8反思回顧.在學生了解多種解題方法之后，學生的解題思維不能到此完結，因為學生此時對各種解題方法的認識還不是非常深刻：幾種解題方法是否完全正確，分析解題的過程是否都很恰當，哪些是一般的解法，哪些是創(chuàng)新的巧法，哪種最簡便的解法等等，這些都要引導學生自己去進一步思維，進一步去認識.否則是對是錯，是優(yōu)是劣，是簡是繁，學生都不知道，這樣就不能達到提高學生解題能力的目的.只有通過引導學生自己對上述求得的各種解題方法進行逐一比較，展開熱烈的討論或爭論，才能真正把握該題型的最簡便的解題方法，才能進一步提高解答數學題的能力和效率.這一過程，就是一個繼續(xù)思維的過程，也是一個對應用題的各種解法的再認識的過程.它是一題多解訓練的一個不可忽視的環(huán)節(jié).只有這樣，學生遇到陌生的問題，便會迅速抓住各種方法的精神實質，迅速尋找到(或靈活變換)解題的切入點和突破口.

常見誤區(qū)五忽視講解順序.若忽視講解順序，則各種解法之間容易造成學習心理學中的“前抑攝制”或“后攝抑制”.

高效原則9精心設計各種解法的“出場”順序.若一開始就講“非常簡潔的巧法”，學生就對相對繁瑣的通法沒興趣，因為很多學生都滿足于一種解法，結果將通性通法沖淡了.反之，學生就會驚嘆于巧法之簡潔美.再將之對比，學生才恍然大悟：原來通法才是最重要的方法——它是“救命的稻草”.也因此而讓我們在思考問題時，底氣十足，沒有任何心理負擔.若一開始就講“技巧性很強的巧法”，善于思考的學生就會就可能對其中的某些細節(jié)去冥思苦想，從而失去對后面解法的興趣，這從心理學角度看，就是前面的學習對后面造成前攝抑制作用，此時，剩余解法的探究對這些學生就沒有多大價值了.

常見誤區(qū)六片面追求多解，沖淡通性通法.一題多解是培養(yǎng)學生解題能力以及發(fā)散性思維的好方法，但應把握度.其前提是必須考慮到學生的可接受性，全體學生在教學計劃規(guī)定的時間內能夠掌握的方法必須講，而且要講清講透.某些入口窄、思路獨特的方法、特殊技巧方法只適合個別優(yōu)生學懂的，可少講或在課堂上不講.有些教師停留在對解法的盲目求多以及對解法數量的表面欣賞上，片面求多，甚至逢題必“多解”，這樣泛濫成災的“多解”往往會弄巧成拙.因為并不是所有的一題多解都能起到培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維的作用.學生不同于科學家，學生真正能掌握的僅僅是一兩種.

高效原則10適度原則.“一題多變”、“一題多解”是數學教學中實施創(chuàng)新教育的重要手段，它對于開拓學生思路，觸類旁通，舉一反三，具有重要的不可替代的作用.但有的教師似乎對此過于執(zhí)著，言必談“多變”，逢題必“多解”，甚至對某些比較簡單的題目也化簡為繁，變直為彎，思路怪異，鉆入牛角尖.教師對某一命題的多解教學設計應按照教學目的發(fā)揮其內在的功能和作用，給出的任何一種方法都應重在揭示它所蘊含的基本數學思想和方法這些本質屬性上，都應具有強烈的目的性，從而幫助學生提高數學素養(yǎng)，掌握學習方法.一題多解訓練的具體方式方法是很多的，不能死搬硬套，人云亦云.要從實際出發(fā)，不能千題一律，堂堂如此.要根據班上學生學習的具體情況和實際教學需要，靈活選擇教學方法.只有這樣，才能調動全班學生的學習積極性，取得好的教學效果.

只要運用得當，“一題多解”教學可以使學生思路開闊，思維活躍，使學生大膽質疑，大膽創(chuàng)新，找到解決問題的多種途徑和方法，對發(fā)展學生的思維，特別是創(chuàng)造性思維大有裨益.