善用數(shù)學課堂錯誤 促進學生認知發(fā)展

●趙向陽 (陶朱初中 浙江諸暨 311800)

“錯誤”是指師生在認知過程中的偏差或失誤.在常規(guī)的數(shù)學課堂教學中，學生出錯是常見的現(xiàn)象，許多教師對此頭疼不已.事實上，學生出錯是正常現(xiàn)象，新課標在情感與態(tài)度的目標中明確提出：學生要能在他人的指導下，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)學活動中的錯誤并及時改正.在學生的學習過程中，“正確，有可能是一種模仿;錯誤，卻大凡是一種經(jīng)歷”.學生的數(shù)學知識與能力水平在正確與錯誤的交錯下提升與發(fā)展，錯誤與正確是每個學生成長過程中必經(jīng)的階梯.因此，教師應(yīng)當正視錯誤，善用錯誤資源，借力于“錯誤”提高課堂教學的有效性，化“腐朽”為“神奇”.

1 預設(shè)錯誤，引發(fā)學生認知沖突

課堂上的錯誤，有些是教師能夠預料到的.教師通過認真鉆研教材，研究學情，憑借教學經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)學生發(fā)生錯誤的規(guī)律，預設(shè)學生學習認知過程中可能發(fā)生的錯誤.教學不僅僅是單向地組織學生學習正確的知識，更重要的是讓學生在正確與錯誤之間不斷碰撞、思索、討論，從而展現(xiàn)多姿多彩、充滿挑戰(zhàn)的課堂.

1.1 預設(shè)錯誤，引入新知

弗賴登塔兒認為，數(shù)學學習是基于學生數(shù)學現(xiàn)實的數(shù)學化過程.一線教師普遍認為數(shù)學現(xiàn)實是學生已掌握的數(shù)學知識與相關(guān)的數(shù)學現(xiàn)實背景.實際上，數(shù)學現(xiàn)實也包括一些未能完全掌握的數(shù)學知識，數(shù)學的再創(chuàng)造也是可以以不正確的認知為出發(fā)點的.教師通過預設(shè)錯誤，引發(fā)認知沖突，從而導入新知.這樣，學生更有學習興趣，同時更容易留下深刻印象.

案例1 八年級數(shù)學上冊“直角三角形全等的判定”引入.

課始，投影展示一道幾何證明題過程如下：

例1 在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，求 證：△ACB ≌△A'C'B'.

證明在△ACB和△A'C'B'中，因為

問題 請學生談?wù)剬@一道例題及證明過程的看法.

一部分學生很快發(fā)現(xiàn)證明過程中全等判定方法應(yīng)用出錯，錯在SSA不是普通三角形的全等判定方法，并及時回顧全等三角形的判定方法.進一步提問：SSA判定普通三角形全等為什么不行?進而引導學生發(fā)現(xiàn)命題為真命題，引出直角三角形全等的判定方法，并探究這一命題的證明方法.

1.2 預設(shè)錯誤，辨析新知

對新知的認識，要從正、反面去理解.在新概念或新性質(zhì)學習之后，利用預設(shè)的錯誤現(xiàn)象，引導學生在辨析中更加完整、全面地認知新知識，是學習新知識常用的方法.這種預設(shè)的錯誤有時來自教師提供的材料，但缺少親和力，教師應(yīng)盡可能從學生問題解決過程中擷取看似隨意產(chǎn)生、實際上是預設(shè)的一些錯誤以供辨析.因為這些錯誤就發(fā)生在學生身邊，所以更有真實感與沖擊力.

案例2 七年級數(shù)學上冊“數(shù)軸概念”辨析.

師生共同合作將溫度計抽象成數(shù)軸并定義數(shù)軸，讓每個學生動手畫一條數(shù)軸，并與同桌交換自己所畫的圖形，交流所畫的數(shù)軸是否完整，如果不完整或不正確，記錄錯誤并加以完善.達成共識后，請學生匯報作圖過程中的一些錯誤(如圖1)，師生共同歸納畫數(shù)軸的注意點，強調(diào)數(shù)軸的三要素缺一不可.

圖1

1.3 預設(shè)錯誤，鞏固新知

在數(shù)學應(yīng)用過程中，不同層次的問題，反映不同層次的應(yīng)用水平，也反映學生新知掌握的不同程度.教材中的例題通常是針對大眾化的學生設(shè)計，面對真實有鮮活個性的學生，課堂教學往往會做適當?shù)淖兓环矫孢M行開放訓練或是探究數(shù)學應(yīng)用，另一方面通過更高要求的變式問題發(fā)現(xiàn)學生中存在的問題.教師結(jié)合教學經(jīng)驗和學生的認知水平，可以在教學中創(chuàng)設(shè)一些變式問題，挖掘出學生認知的局限性，進而更好地完善新知應(yīng)用能力.

案例3 九年級數(shù)學上冊“圓的軸對稱性”的例題變式.

例2 已知(如圖2)，用直尺和圓規(guī)作這條弧的中點.

變式用直尺和圓規(guī)求作的四等分點.

圖2

圖3

圖4

2 捕捉錯誤，疏通學生認知盲點

許多學生課內(nèi)外錯誤的產(chǎn)生具有隨機性，這些錯誤有些是可利用的認知錯誤，有些則是無價值的.對于極具教學價值的錯誤，教師要及時捕捉并遴選，加以合理利用，為高效的課堂增添色彩.

2.1 捕捉錯誤，開拓思路

正確的方法，可能就在錯誤的認識隔壁.發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤后，或溯源而上或背道而行，可能得到正確的思路.因此，在教學過程中，可以捕捉與解題相關(guān)的錯誤信息，或逆推或反向或發(fā)散分析，也是開拓思路的好方法.

案例4 中考模擬題講評：直角三角形面積平分.

例3 用12根相同的火柴棒首尾順次相接，搭成一個三角形(如圖5).若要平分這個三角形的面積，則至少還需要同樣的火柴棒 ( )

A.1根 B.2根 C.3根 D.4根

一次初三模擬考中有一道題來源于小學的數(shù)學智慧題，以考查學生的數(shù)學應(yīng)用能力.大部分學生選擇C，理由是斜邊上的中線可以將面積平分，但中線長為2.5根火柴，故選C.而個別選擇正確答案B的學生反饋，也是根據(jù)2.5根猜答案不可能那么簡單，故猜B.在試卷講評課時，發(fā)現(xiàn)一部分學生不知道自己的答案是否正確，一部分學生知道自己的答案錯誤但不明白錯誤發(fā)生在哪里.學生的思維局限在分割后的圖形仍然為三角形，故有2.5根的結(jié)論，點破后，學生的思維就打開了，通過嘗試發(fā)現(xiàn)了2種分割方法(如圖6).

圖5

圖6

2.2 捕捉錯誤，探索創(chuàng)新

正確的思維是解決問題的成功途徑，那么錯誤的思維是否是解決問題時的失敗途徑呢?回答是否定的，一個錯誤的方法，也是基于相關(guān)的數(shù)學現(xiàn)象而產(chǎn)生的，只不過這個方法尚未完善，它可能是另一種問題解決的方法.錯誤也是成功的必經(jīng)之路，甚至是創(chuàng)新的起點.

案例5 形如ax2=bx(a≠0)一元二次方程的特殊解法.

例4 解方程3x2=x.

一位學生在解此方程時，2邊同除以x得3x=1，從而 x=.教師沒有批評學生，而是引導學生與正確解法進行比較，比較正解與錯解的不同之處，分析錯解中漏解的原因是方程2邊同除以x時，忽略了x=0所造成的.找出問題所在后，教師就勢提出一問：你能將錯解補充成正確的解答嗎?學生在略微思考后，提出自己一個特殊解法：分類討論法.當x=0時，是方程的解，當x≠0時，解得x=，所以原方程的解為x=0，x=.經(jīng)過認真

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思考，這位學生的解法得到了大家的認同，并在此基礎(chǔ)上，總結(jié)出形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的特殊解法：分類討論法.

2.3 捕捉錯誤，及時糾正

不是所有錯誤都有利用價值，也不是所有錯誤都可以引發(fā)新方法與新思路.大部分錯誤的產(chǎn)生是因為學生的認知存在盲點，及時捕捉這些錯誤，共同解決，有利于學生及時清理知識盲區(qū)，從而實現(xiàn)高效課堂教學.

案例6 七年級數(shù)學上冊“用字母表示數(shù)”引例.

引例 一只青蛙一張嘴，二只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水;二只青蛙二張嘴，四只眼睛八條腿，撲通撲通跳下水……

問題1 如果有更多數(shù)量的青蛙，那么這首兒歌該怎么唱?

問題2 如果青蛙的數(shù)量用字母n表示，那么這首兒歌又該怎么唱?

這個引例用了很多年，在初中數(shù)學課堂中基本都能順利地引入新課.有一次，與一位小學教師同課異構(gòu)時出現(xiàn)了意外，一個小學生答“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”，在座的學生中還有不少支持者.在這些學生的認知中，n是代表說不清、數(shù)不完的數(shù)，有些學生在網(wǎng)絡(luò)語言表達中會用“n多”.因此青蛙太多，數(shù)不清，用n代替，嘴太多，也是數(shù)不清，故也是用n代替，以此類推.此類錯誤不可馬虎，要及時捕捉，引導學生發(fā)現(xiàn)錯誤所在.當時筆者就引導學生將n取2代入得到“2只青蛙2張嘴，2只眼睛2條腿”，這顯然與前面事實相矛盾，并及時引導學生發(fā)現(xiàn)n并不是代表數(shù)不清的數(shù)，而是一個具體數(shù)量的代替.而青蛙、嘴、眼睛、腿之間存在著數(shù)量聯(lián)系，在字母表示數(shù)時，這種數(shù)量關(guān)系要通過代數(shù)式表示出來，學生在錯誤分析“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”的基礎(chǔ)上及時糾錯得到“n只青蛙2n張嘴，2n只眼睛4n條腿……”.

3 反思錯誤，完善學生認知結(jié)構(gòu)

錯誤是始終伴隨著學生學習過程的，學生在不斷糾正錯誤的過程中，應(yīng)當學會處理錯誤更高層次的方法——反思錯誤.反思是一種主動“再認識”的過程，是思維的高級形式.培養(yǎng)學生的反思習慣，有助于學生更好的學習，但初中階段的學生畢竟在自控力方面有限，自主反思的習慣不易建立，往往需要一些方法督促其反思.

3.1 集錯

集錯，是廣大數(shù)學教師熟悉的引導學生整理學習的方法.事實證明，這是一個行之有效的方法.集錯本常用于收集作業(yè)或試卷中的錯題，側(cè)重在解題錯誤的整理，平時可以要求學生在問題邊空白處簡單注明錯誤的原因，學生用于復習查看效果較好.當然教師也應(yīng)適當?shù)卣韺W生的作業(yè)錯誤，積累經(jīng)驗，為以后的復習或下一輪的教學提供參考.

3.2 記錯(日記)

每天選取課堂或課外的典型錯誤，不拘于作業(yè)或試卷，也可以是課堂學習中未明白的知識點等，并加反思，形成日記，有利于學生對錯誤進一步認識，也可以加深對正確認識的鞏固.記錯，應(yīng)當有問題，有解決方案，有反思的完整錯誤認識過程，也是自身元認知水平發(fā)展的體現(xiàn).

3.3 評錯

在反思錯誤過程中，要學會對錯誤進行合理的評價，對錯誤的產(chǎn)生要有合理對待的態(tài)度.產(chǎn)生錯誤是正常現(xiàn)象，糾正錯誤是自身的一種成長，而由錯誤引發(fā)創(chuàng)新思維就是一種自身成長的突破.學生不僅要對自身錯誤有公正的評價，同時對其他學生所產(chǎn)生的錯誤也應(yīng)該有正確的評價.因此，正確評價錯誤，也是學習水平發(fā)展的代表.

追求高效的課堂教學，體現(xiàn)數(shù)學教學價值，是每一個數(shù)學教師的目標.我們應(yīng)當重視課堂“意外”，關(guān)注學生的“錯誤”.“意外”、“錯誤”的應(yīng)對，需要一定的教學智慧，這是教師多種教育能力的結(jié)合，需要我們在日常教學中做有心人，時刻留意學生的所思所想，關(guān)注學生的知識生成，當然也包括學生的錯誤生成，積極研究學生的錯誤，只有這樣才能取得更好的教學效果.