一個(gè)不等式試題的研究

●王紅權(quán) 潘一力 (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)

在2010年浙江省第1次五校聯(lián)考自選模塊試題(簡稱1B試題)中，“數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊的試題是：

筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，該試題有多種解法，并得到了推廣后不等式的上界和下界，現(xiàn)整理如下，供同行參考.

證法1 (分析法)設(shè)a+4b=t，則原不等式等價(jià)于

式(1)顯然成立.

顯然成立.令 t=a+4b，得

又由均值不等式知

上述2個(gè)式子相加即得所證不等式.

證法3 (利用Cauchy不等式)因?yàn)?/p>

筆者研究發(fā)現(xiàn)，該不等式可推廣為命題1.

命題1 對(duì)任意的正數(shù)a，b，有

(2008年浙江大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)

證明由Cauchy不等式知

寧波大學(xué)陳計(jì)老師把該不等式加強(qiáng)為：

根據(jù)命題2的證明，容易推廣得到

于是又得到如下推廣.

命題3 對(duì)任意的正數(shù)a，b，n∈N+，有下面不等式成立：

命題4 對(duì)任意的正數(shù)a，b，n∈N+，有下面不等式成立：

筆者在研究過程中，曾得到：

前面等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)成立，后面等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí)成立.

推廣到n元后，可得

命題6 對(duì)任意的非負(fù)實(shí)數(shù)數(shù)a，b(a，b不同時(shí)為0)和正實(shí)參數(shù)xi(i=1，2，3，…，n)，不等式

成立.前面等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)成立，后面等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí)成立.

證明不等式的左邊可以由Cauchy不等式得到，下面只證不等式的右邊.利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

顯然成立，且當(dāng)ab=0時(shí)等號(hào)成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)，命題成立，即

顯然成立，且當(dāng)ab=0時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)n=k+1，命題成立.

綜上所述，對(duì)任意的n≥2，n∈N+，原不等式都成立.