鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁固有頻率的數(shù)值計(jì)算

楊 斌 谷淡平

0 引言

鋼筋混凝土承彎梁是實(shí)際工程中常見(jiàn)的重要構(gòu)件，其損傷的識(shí)別、監(jiān)測(cè)對(duì)于確保整個(gè)構(gòu)筑物的安全，評(píng)估其服役狀態(tài)，都具有重要的意義。深入了解鋼筋混凝土梁的振動(dòng)特性，是采用動(dòng)力破損評(píng)估法對(duì)其損傷進(jìn)行辨識(shí)、監(jiān)測(cè)的前提和基礎(chǔ)[1］。

本文通過(guò)振型函數(shù)導(dǎo)出了求解梁橫向振動(dòng)固有頻率的微分方程，在基于組合梁理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了完整鋼筋混凝土梁固有頻率的計(jì)算公式，通過(guò)對(duì)實(shí)際簡(jiǎn)支梁進(jìn)行動(dòng)力試驗(yàn)，證實(shí)了相關(guān)理論和計(jì)算公式的正確性，能較好的滿(mǎn)足工程需要。

1 簡(jiǎn)支梁固有頻率的計(jì)算

梁在橫向荷載作用下，在長(zhǎng)為l的梁的軸向(x方向)處用相距無(wú)限小的dx兩橫向截面截取一微段，設(shè) y(x，t)，θ(x，t)，M(x，t)和Q(x，t)分別表示梁的x截面處在t時(shí)刻的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。它們必須滿(mǎn)足以下微分關(guān)系[2］:

其中，EI(x)，ρl(x)分別為所取微段處的截面抗彎剛度和單位長(zhǎng)度的質(zhì)量。

從式(1)可以得出:

由于梁在任一點(diǎn)、任一時(shí)刻的撓度可表示為無(wú)數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)下?lián)隙鹊寞B加，利用分離變量法[3］，設(shè)第m階簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率是ωm，再設(shè)Tm(t)，Ym(x)分別為振幅函數(shù)和振型函數(shù)，則在一定邊界條件下式(4)的解可表示為[4］:

由于撓度函數(shù)y(x，t)具有與時(shí)間無(wú)關(guān)而確定的振型特性[5］，為求出各種振型函數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，取y(x，t)=(Acosωt+Bsinωt)Y(x)，代入式(4)可得:

式(6)即為求解梁橫向振動(dòng)固有頻率的微分方程。

由于EI(x)和ρl(x)在任何截面都相等，則式(6)為四階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，求出其通解后根據(jù)邊界條件得出積分常數(shù)的關(guān)系，從而可求出固有頻率ω。

根據(jù)簡(jiǎn)支梁的邊界條件，由Y(0)=0有:C1+C2+C3=0;由M(0)=Y″(0)=0 有:C1+C2-C3=0，從而 C3=0。再由 Y(l)=0有:C1ekl+C2e-kl+C4sinkl=0;由 M(l)=Y″(l)=0有:C1ekl+C2e-kl-C4sinkl=0，從而C4sinkl=0，顯然 C4不能為0，否則只有平凡解，從而 sinkl=0，故有 kl=nπ(n=1，2，3…)，得出簡(jiǎn)支梁固有頻率為:

2 固有頻率參數(shù)值計(jì)算

鋼筋混凝土梁的橫截面如圖1所示，不計(jì)架立鋼筋與箍筋。鋼筋混凝土梁可以視作鋼筋與混凝土兩種材料的組合梁，按照材料力學(xué)的基本原理[6］，橫截面上軸力為零，由面矩關(guān)系解出中性軸位置坐標(biāo):

其中，Ec為混凝土彈性模量;Es為鋼筋彈性模量;As為鋼筋橫截面積，梁的幾何尺寸標(biāo)示于圖1中。

圖1 梁橫截面幾何參數(shù)

根據(jù)組合梁的理論，鋼筋混凝土梁橫截面的折算剛度為:

沿梁長(zhǎng)度方向取一梁的微段，長(zhǎng)度為dx，則此微段的質(zhì)量為:

此微段的體積為:dV=bhdx。

所以得到折算密度為:

式中:ρs——鋼筋密度;

ρc——混凝土密度。

將式(9)和式(10)代入式(7)可以得到完整鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁的固有頻率計(jì)算式:

其中，A為梁的橫截面積，A=bh。

3 鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力測(cè)試

3.1 試驗(yàn)梁的參數(shù)值

試驗(yàn)梁的物理參數(shù)及幾何尺寸如表1所示。根據(jù)表中的參數(shù)值代入式(11)，可以計(jì)算出健康的鋼筋混凝土梁的前四階固有頻率。

表1 試驗(yàn)梁的參數(shù)值

3.2 試驗(yàn)測(cè)試及方法

試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)采用杭州億恒科技有限公司的AVANT動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試分析儀，該系統(tǒng)采用錘擊法對(duì)試件施加瞬態(tài)脈沖激勵(lì)，計(jì)算機(jī)用專(zhuān)用信號(hào)處理軟件對(duì)激勵(lì)及響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析，從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

本試驗(yàn)在梁上布置若干測(cè)點(diǎn)，采用多點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)測(cè)響應(yīng)信號(hào)的方法采集試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

振動(dòng)測(cè)試示意圖如圖2所示。

圖2 振動(dòng)測(cè)試示意圖

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

將采集到的頻響數(shù)據(jù)導(dǎo)入ME′scopeVES可視化模態(tài)分析軟件中，采用峰值拾取法[7］，識(shí)別出梁的固有頻率。試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 固有頻率理論值及實(shí)測(cè)值

4 結(jié)語(yǔ)

梁的橫向振動(dòng)固有頻率的計(jì)算在實(shí)際工程中有極其重要的意義，通過(guò)振型函數(shù)導(dǎo)出了求解梁橫向振動(dòng)固有頻率的微分方程，在基于組合梁理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了完整鋼筋混凝土梁固有頻率的計(jì)算公式，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。加深了對(duì)固有頻率的認(rèn)識(shí)和理解，為進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析打下基礎(chǔ)。

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