基于PDE解析解的潛艇艇型設(shè)計(jì)

肖杰雄，段宗武，陳 虹

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢 430064)

0 引言

偏微分方程(Particial Differential Equation，PDE)方法使用1組橢圓偏微分方程產(chǎn)生曲面，是由英國(guó)Leeds大學(xué)的Bloor等首先于20世紀(jì)80年代末將其作為1種曲面設(shè)計(jì)工具引入CAD領(lǐng)域的。其思想起源于將過渡面的構(gòu)造問題看作是偏微分方程的邊值問題，而后發(fā)現(xiàn)使用該方法可以方便地構(gòu)造大量實(shí)際問題中的曲面形體。Bloor等探索了PDE方法在過度曲面、自由曲面及N邊域曲面構(gòu)造中的應(yīng)用，同時(shí)也探索了這種方法在功能曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。船體、飛機(jī)外形、螺旋槳葉片等外形都可以由PDE方法構(gòu)造。PDE方法的重要特點(diǎn)是:曲面形態(tài)完全由邊界條件控制，而邊界條件的幾何意義非常直觀，控制曲面形狀所需的參量也較少［1］。

除了美觀、光順要求外，飛機(jī)、汽車、船只等形體的曲面設(shè)計(jì)還有一些功能要求，如流體動(dòng)力學(xué)要求，在體積一定的條件下用料最省的要求等，這就是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。這些形體的設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為一些泛函的極值問題。這些泛函的自變量是形狀參數(shù)，形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛函極值問題時(shí)計(jì)算量的大小。如前所述，偏微分方程曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參量較少，這一點(diǎn)對(duì)功能曲面的優(yōu)化設(shè)計(jì)非常有利。Bloor等通過實(shí)例研究了用偏微分方程設(shè)計(jì)功能曲面的方法，如在固定體積下酒杯的設(shè)計(jì)、在最大散熱要求下散熱器的形狀設(shè)計(jì)以及船體形狀的最小波阻設(shè)計(jì)等，結(jié)果表明，這種方法是可行的。傳統(tǒng)的構(gòu)造曲面的方法需要較多的參數(shù)，而PDE方法所產(chǎn)生的曲面自然光滑，且確定一張曲面只需要少量的參數(shù)。

1 偏微分方程(PDE)解析解

用偏微分方程構(gòu)造曲面通常采用參數(shù)化的曲面表達(dá)式X(u，v)，參數(shù)(u，v)可以看作是平面區(qū)域Ω中的點(diǎn)，X可以視為由Ω到三維空間R3的映射X:Ω→R3。假設(shè)所求曲面X(u，v)滿足偏微分方程:

若要構(gòu)造C0曲面，N的取值為1;若要構(gòu)造C1曲面，N的取值為2，依此類推。要求解上述方程，必須給出≥2N個(gè)邊界條件，通常2N個(gè)邊界條件可以用如下的形式表示:

其中，f1(v)和f2N(v)分別為u=0和u=1的位置邊界條件;gi(v)可以是位置邊界條件，也可以是導(dǎo)數(shù)邊界條件，2種形式如下:

PDE生成的曲面形狀由邊界條件和所選擇的偏微分方程確定，PDE生成曲面具有如下特點(diǎn)［3］:

1)構(gòu)造過渡面簡(jiǎn)單易行，只需要給出過渡線并計(jì)算過渡線處的跨界導(dǎo)矢。

2)所得曲面自然光順，曲面由自由曲面的超越函數(shù)表示，而不是簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式。

3)確定1張曲面只需要少量參數(shù)，并且對(duì)設(shè)計(jì)者的數(shù)學(xué)背景要求較少，用戶只需要給出邊界曲線和導(dǎo)數(shù)就可以產(chǎn)生1張光順的曲面，因此用戶的輸入工作量較少。

4)可以通過修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢及方程的1個(gè)物理參數(shù)來調(diào)整曲面的形狀。

5)易于功能曲面設(shè)計(jì)。功能曲面設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為一些泛函的極值問題。這些泛函的自變量是形狀參數(shù)，形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛函極值問題時(shí)計(jì)算量的大小。PDE曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參數(shù)較少，從而可以降低計(jì)算耗費(fèi)。

為了使用解析方法來求解方程(2)的解，進(jìn)行如下假設(shè):

1)(u，v)的取值范圍:

2)邊界條件對(duì)于變量v是周期函數(shù):

3)所有的邊界條件函數(shù)是連續(xù)的。

基于上述假設(shè)，可以得到方程(2)的解析解為:

因?yàn)檫吔鐥l件都是連續(xù)的，且都是以2π為周期的周期函數(shù)，因此可以展開成傅立葉級(jí)數(shù):

假設(shè)邊界條件展開為有限項(xiàng)(m項(xiàng))，對(duì)于每一項(xiàng)n={1…m}，有下式:

其中:A(a，n)，B(a，n)都是2N ×2N 的矩陣。

目前在曲面造型中，國(guó)內(nèi)外使用最為廣泛的PDE是采用如下的雙調(diào)和方程［4］:

其周期邊界條件為:

其中:u∈［0 1］，v∈［0 2π］。

其解析解為

其中:

值得指出的是:方程(12)中的偏微分算子表示了一種光滑過程，即曲面內(nèi)任意點(diǎn)的函數(shù)值是其沿邊界的某種意義下的平均，所得曲面是邊界線之間的光滑過度，參數(shù)a控制著(u，v)這2個(gè)參數(shù)方向的相對(duì)光順率。

2 偏微分方程在潛艇艇型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

由上節(jié)討論可知，使用PDE生成曲面的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的位置邊界條件和導(dǎo)數(shù)邊界條件，當(dāng)邊界條件確定時(shí)，曲面的方程也就惟一確定了。潛艇外型部分包括基本主艇體、指揮室圍殼以及圍殼舵、方向舵、升降舵、垂直翼和水平翼等，其幾何描述如圖1所示［5］。

2.1 潛艇主艇體的構(gòu)造

潛艇主艇體的外形可用進(jìn)流段、去流段、平行中體三段描述，在已知潛艇主艇體的基本信息(如進(jìn)流段、去流段、平行中體的長(zhǎng)度)和潛艇最大寬度等參數(shù)時(shí)，通過構(gòu)造邊界條件，可采用PDE方法生成主艇體。

圖1 潛艇外形幾何描述Fig.1 Geometry description of submarine shape

1)對(duì)于進(jìn)流段，給定邊界條件:

u=0對(duì)應(yīng)的位置邊界條件為x=0，y=0，z=0，表示艇首，即原點(diǎn);u=1時(shí)的位置邊界條件表示進(jìn)流段與平行中體之間的橫截面，此時(shí)x=x0代表進(jìn)流段的長(zhǎng)度為x0，y2+z2=R2表示此截面為1個(gè)圓面，半徑為R，導(dǎo)數(shù)邊界條件有=0，可以保證進(jìn)流段與平行中體的光滑過渡。

2)對(duì)于去流段，給定邊界條件:

同理分析，u=0的位置邊界條件為表示平行中體與去流段之間的橫截面，此時(shí)x=x1代表去流段起始位置，y2+z2=R2表示此截面為1個(gè)圓面，半徑為R;導(dǎo)數(shù)邊界條件有=0，可以保證平行中體與去流段的光滑過渡;u=1時(shí)的位置邊界條件x=x2，y=0，z=0，表示艇尾，即終點(diǎn)。取參數(shù) a=2，a1=4，a2=20，a3=130，a4=30，a5=60，a6= － 10，R=4，x0=30，x1=75，x2=120，得到結(jié)果如圖2所示。

圖2 用PDE方法生成的潛艇主艇體形狀Fig.2 Using PDE method generated the surface of submarine body

2.2 指揮室圍殼的構(gòu)造

指揮室圍殼的俯視面為一個(gè)翼型，給定圍殼的基本信息，如長(zhǎng)度、最大寬度、頂點(diǎn)到最大寬度處的長(zhǎng)度、圍殼高度等，可以通過構(gòu)造合適的邊界條件生成指揮室圍殼，主要工作涉及翼型曲線的擬合，主艇體上過渡線的選取，倒數(shù)邊界條件的選取等問題。

指揮室圍殼在水平面上的投影為翼型曲線，可以用式(15)進(jìn)行描述:

其中:Le為進(jìn)流段長(zhǎng)度，即頂點(diǎn)到最大寬度處的長(zhǎng)度;Lk為去流段長(zhǎng)度;L為總長(zhǎng);L=Le+Lk，r為最大半寬。

為了得到PDE的解析解，首先對(duì)x(v)的表達(dá)式進(jìn)行傅立葉變化，使邊界條件的形式與標(biāo)準(zhǔn)解的形式相同，取展開項(xiàng)為8項(xiàng)，可得:

對(duì)于主艇體上的過渡線，即圍殼與主艇體的交線的選取問題，首先確定過渡線在水平面內(nèi)的投影，其形狀仍為翼型，可以使用式(15)進(jìn)行描述，由于過渡線又是主艇體上的1條曲線，因此滿足主艇體的參數(shù)方程，即y2+z2=R2，半徑R可以由x的值結(jié)合主艇體的方程得到。給定參數(shù)Lk=6，L=20，r=3，得到的指揮臺(tái)圍殼形狀如圖3所。

2.3 操縱面的構(gòu)造

圖3 用PDE方法生成的指揮臺(tái)圍殼Fig.3 Using PDE method generated the surface of sail

操縱面由多個(gè)部件組成，包括圍殼舵、方向舵、升降舵以及垂直翼和水平翼等。每一部件均通過2個(gè)典型剖面確定其外形，典型剖面選用性能優(yōu)良的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱翼型。操縱面的構(gòu)造都是類似的，此處以水平翼為例進(jìn)行說明，翼型邊界的選取與處理方式如上節(jié)所述，關(guān)鍵在于操縱面與艇體之間的過渡面的設(shè)計(jì)，過渡面要求與艇體以及操縱面之間進(jìn)行光滑過渡，構(gòu)造過渡面只要確定2個(gè)面上的過渡線及其過渡線處的跨界導(dǎo)矢。

圖4 用PDE方法生成的水平翼Fig.4 Using PDE method generated the surface of horizontal wing

其他的操縱面構(gòu)造方法都與水平翼的構(gòu)造方法類似。將所有的操縱面與之相對(duì)應(yīng)的過渡面都構(gòu)造完成后，就可以得出有PDE方法生成的潛艇艇型，如圖5所示。

由此可以說明，通過構(gòu)造一定的邊界條件，利用潛艇外型設(shè)計(jì)的基本信息，采用PDE方法，能快速生成潛艇的主艇體。

圖5 用PDE生成的潛艇艇型Fig.5 Using PDE method generated the surface of submarine

3 結(jié)語

本文主要闡述了四階橢圓偏微分方程的解析解法及其在自由曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，初步探討了PDE方法在潛艇艇型設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，利用潛艇外型設(shè)計(jì)的基本信息，采用PDE方法，可以快速地進(jìn)行潛艇外形設(shè)計(jì)。PDE方法是一種新的曲面造型技術(shù)，它在過渡面的構(gòu)造，功能曲面的設(shè)計(jì)等方面具有潛在的優(yōu)勢(shì)，但在理論和應(yīng)用方面還有許多問題有待進(jìn)一步的研究，接下來將考慮將PDE方法與優(yōu)化艇體的水動(dòng)力特性設(shè)計(jì)相結(jié)合，開展深一步的研究。

［1］MIG B，WILSON W J.Using partial differential equations to general free form surfaces［J］.Computer Aided design，1990，22(4):221 －234.

［2］UGAIL H.Methodofboundarybasedsmooth shape design，school of Informatics［J］.University of Bradford.

［3］丁正剛，張全伙.偏微分方程(PDE)曲面造型及其交互式曲面設(shè)計(jì)技術(shù)［D］.福州:華僑大學(xué)，2005.DING Zheng-gang，ZHANG Quan-huo.Partial differantial equation surface modeling and interactive design technology［D］.Fuzhou:Huaqiao University，2005.

［4］馬嶺，朱心雄.PDE造型方法在復(fù)雜曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，1998，(21):357 －362.MA Ling，ZHU Xin-xiong.Application of PDE method to free form surface design［J］.Chinese Journal Computers，1998，(21):357 －362.

［5］周春凱.參數(shù)化方法在潛艇外型三維設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.中國(guó)造船，2008，29(3):154 －159.ZHUO Chun-ka.The three-dimension design of submarine form based on parametric method［J］.Shipbuildingof China，2008，29(3):154－159.