浸水板式結(jié)構(gòu)的動力特性與聲輻射特性數(shù)值分析

施衛(wèi)華，鄧海華，陳 明

(武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢 430064)

0 引言

加筋結(jié)構(gòu)是船舶與海洋工程中常采用的典型結(jié)構(gòu)，也經(jīng)常處于與流體接觸的工作環(huán)境。通過調(diào)節(jié)板上加筋數(shù)目、加筋尺寸、加筋位置和材料參數(shù)得到不同的振動和聲輻射特性，可以滿足工程問題中剛度、穩(wěn)定性以及強度等需要。因此研究加筋板與平板的聲振特性對比可以為實際問題中提供相應(yīng)的參考數(shù)據(jù)，具有重要的工程意義。同時由于流體的加載效應(yīng)，觸水結(jié)構(gòu)的振動特性和振動響應(yīng)與空氣中相比有較大改變。因此研究流體特性對浸水板式結(jié)構(gòu)聲振特性的影響，對于艦船結(jié)構(gòu)振動噪聲預(yù)報有著重要的理論意義和實用價值。

對板和加筋板結(jié)構(gòu)的聲輻射計算目前基本上都是基于Rayleigh積分進行的［1－3］，也就是說在計算加筋板的聲輻射時實際上是近似按鑲嵌在無限大剛性障板中的板的聲輻射來計算的。本文應(yīng)用表面Rayleigh積分法，求取鑲嵌在無限大剛性障板上板和板加筋結(jié)構(gòu)在水中的附加質(zhì)量，建立了考慮流體加載效應(yīng)的流固耦合振動方程，計算板式結(jié)構(gòu)振動與聲輻射特性，計算對比板式結(jié)構(gòu)分別處在重流體和輕流體時的固有頻率和振型，并探討了流體可壓縮性對振動特性的影響。僅考慮加強筋對板的振動響應(yīng)的影響，忽略加強筋對聲輻射過程的影響［4］，對比分析了流體介質(zhì)、流體可壓縮性、激勵位置、板厚、加筋方式和邊界條件對板式結(jié)構(gòu)的聲輻射特性的影響，并得到了一些有意義的結(jié)論。

1 浸水板式結(jié)構(gòu)振動聲輻射計算基本理論

1.1 表面Rayleigh積分方程

對于鑲嵌在無限大剛性障板上的結(jié)構(gòu)，Helmholtz積分方程可以簡化成Rayleigh積分形式［5－6］:

其中:p(P)為結(jié)構(gòu)振動向流體域輻射的聲壓;格林函數(shù)G(P，Q)=e－ikr/4πr;k= ω/c為波數(shù);ω為圓頻率;c為流體介質(zhì)中聲速;r為P，Q兩點之間的距離，Q為結(jié)構(gòu)表面上任意點(源點)，P為空間中任意點(場點);ρ為流體介質(zhì)的密度;為結(jié)構(gòu)法向加速度。

1.2 結(jié)構(gòu)流場耦合動力方程

對于板式結(jié)構(gòu)振動與聲場耦合問題，本文以基于Mindlin一階剪切板理論的4節(jié)點殼單元建立結(jié)構(gòu)有限元模型，采用Rayleigh積分法得到流體附加質(zhì)量疊加到結(jié)構(gòu)動力方程中，建立結(jié)構(gòu)流固耦合方程。

邊界單元與有限單元采用完全相同的劃分方式，對式(1)進行數(shù)值離散，

式中:［H］為Green函數(shù)的積分矩陣。

考慮結(jié)構(gòu)觸水后流體對結(jié)構(gòu)的加載效應(yīng)，結(jié)構(gòu)振動的動力方程有限元描述為［7］:

式中:［MS］和［KS］分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣;{Ff}為表面聲壓所引起的流體對結(jié)構(gòu)的作用力向量;{u}為結(jié)構(gòu)位移向量。

以及結(jié)構(gòu)表面聲壓所引起的流體對結(jié)構(gòu)的作用力向量為:

其中:［T］為方向余弦轉(zhuǎn)換矩陣;［A］為結(jié)構(gòu)濕表面面積的對角矩陣，［A］= ∫S［N］T［N］dS。

將式(2)和式(4)代入式(5)可得:

將式(6)代入式(3)可得流體固體耦合運動方程:

式中:r(m，n)為場點單元與源點單元形心之間的距離;Sn為面元面積;ω'為附加質(zhì)量計算圓頻率［8］。當流體不可壓縮時，波數(shù)k=0，Green函數(shù)的積分矩陣［H］中的元素表達式為:

由上式可知，可壓縮流體的附加質(zhì)量矩陣是激勵頻率的函數(shù);不可壓流體時的附加質(zhì)量矩陣與計算頻率無關(guān)。

將求得的附加質(zhì)量陣［MA］代入耦合方程式(7)中，針對附加質(zhì)量矩陣不對稱的特點應(yīng)用Lanczos-QR算法求取非對稱陣的廣義特征值和特征向量問題［9］。

1.3 輻射聲功率和聲輻射阻尼

結(jié)構(gòu)的輻射聲功率可由結(jié)構(gòu)表面聲壓p(P)和表面法向速度vn(P)表示為:

將式(1)代入式(11)，并考慮速度與加速度的關(guān)系可得:

將積分表面S均分為N個面積為ΔS的面元，單元 Sn(n=1，2，…，N)上近似取 vn(P)=vn，rmn為單元Sm(P∈Sm)中心到單元Sn(Q∈Sn)中心之間的距離，方程(13)離散可得:

式中:輻射算子矩陣R的第m行第n列元素表達式如下:

采用Wallace［10］基于能量概念對聲輻射阻尼的定義，假設(shè)結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)態(tài)振動，振動一周內(nèi)系統(tǒng)以聲波輻射形式耗散的能量與結(jié)構(gòu)振動總能量的比值即為聲輻射阻尼，相應(yīng)聲輻射阻尼數(shù)學(xué)表達式可為［10］:

式中:ER為1個振動周期內(nèi)結(jié)構(gòu)向介質(zhì)輻射的聲能;EV為結(jié)構(gòu)振動總能量;W為輻射聲功率;T為結(jié)構(gòu)振動周期;ω為結(jié)構(gòu)振動圓頻率。

假設(shè)板的材料密度和厚度分別為ρS和h且為定值，則結(jié)構(gòu)振動總能量可以表示為:

其中，結(jié)構(gòu)表面振動速度均方值表達式如下［11］:

2 數(shù)值算例和分析

2.1 矩形板的振動和聲輻射特性

以0.6 m×0.4 m×0.004 m的四邊簡支板為研究對象，材料密度ρ=7850 kg/m3，結(jié)構(gòu)材料彈性模量為210 GPa，泊松比取0.3;空氣密度為1.29 kg/m3，空氣中聲速取340 m/s，水的密度取1000 kg/m3，水中聲速取1450m/s。

2.1.1 附加質(zhì)量計算頻率對固有頻率的影響

將流體視為可壓縮模型時，采用不同的附加質(zhì)量計算頻率ω，計算出的板前10階固有頻率結(jié)果如圖1所示。圖1中的數(shù)據(jù)表明，在低頻范圍內(nèi)附加質(zhì)量計算頻率ω的取值大小對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響非常小，僅當附加質(zhì)量計算頻率ω增大到高頻范圍才有較明顯的變化，因此只要在計算可壓縮流體附加質(zhì)量時取較低的附加質(zhì)量計算頻率對結(jié)果影響不大。

2.1.2 附加水質(zhì)量影響系數(shù)隨板厚變化

設(shè)結(jié)構(gòu)無觸水和觸水第i階固有頻率分別為f0i和fi，第i階模態(tài)附加水質(zhì)量影響系數(shù)定義:

圖1 取不同流體附加質(zhì)量計算頻率得出的各階固有頻率比較Fig.1 Comparison of natural frequency for different added mass frequencies

板厚分別取4 mm，6 mm，8 mm，10 mm，10 mm 和30 mm計算相同尺寸和邊界條件板的附加水質(zhì)量影響系數(shù)，得到附加水質(zhì)量影響系數(shù)隨板厚變化趨勢如圖2所示。

圖2 簡支板附加水質(zhì)量影響系數(shù)隨板厚的變化Fig.2 Effect of plate thickness on added mass coefficients

圖2表明，隨著板厚的增加，四邊簡支板的附加水質(zhì)量影響系數(shù)均相應(yīng)增加，且隨模態(tài)階數(shù)增加而呈上升趨勢。由附加水質(zhì)量影響系數(shù)計算式(19)可知，φi越大等同于流體加載對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響越小。從圖中可看出，板厚增大時附加水質(zhì)量對板的固有頻率影響減小。因而板厚是影響流體對結(jié)構(gòu)作用的一項因素。同時隨著模態(tài)階數(shù)的增加，流體的動壓力對板高階固有頻率影響逐漸減小。

2.1.3 可壓縮性對動力特性的影響

利用編寫的有限元及Rayleigh積分程序計算板在空氣中和水中(可壓縮和不可壓2種模型)的固有頻率。將空氣中計算結(jié)果與推導(dǎo)的解析解進行比較，水中則就可壓縮模型與不可壓縮模型的計算結(jié)果進行比較，驗證流體的可壓縮性對固有頻率的影響如何，可壓縮模型時取附加質(zhì)量計算頻率為100 Hz，對比結(jié)果見圖3。

將空氣中板的固有頻率計算結(jié)果與解析解進行對比，表明程序計算結(jié)果精度是可靠的，而水中的結(jié)果顯示可壓縮與不可壓縮流體模型下計算出的板的各階固有頻率相差很小，表明流體的可壓縮性對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響亦是極其微小的。因此可以說，在分析結(jié)構(gòu)流固耦合自由振動頻率時，把流體視為不可壓縮是合理的。

固有頻率是求解結(jié)構(gòu)動力方程特征值問題得到的，與固有頻率相對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的固有振型。若不考慮重根問題，固有頻率與振型為一一對應(yīng)關(guān)系。圖4給出了四邊簡支板分別在空氣中與不可壓流體模型中的前10階固有振型圖?？梢钥闯?，四邊簡支板在不可壓流體中的振型與空氣中除了第5階、6階和9階相位相反之外，幾乎沒有變化，連振型順序也沒有改變。

2.1.4 可壓縮性對聲輻射特性影響

如圖5所示，若在平板上A(0.32，0.20)點加載交變幅值大小為1 N的簡諧激勵，計算在該激勵作用下水中平板的輻射聲功率與聲輻射阻尼。流體模型分別取可壓縮與不可壓縮2種，本文只在結(jié)構(gòu)模態(tài)計算的意義上考慮流體是否可壓而并非針對計算其聲輻射特性。所以本文討論方式是假設(shè)流體可否壓縮前提下計算出板的表面法向振速，然后在可壓縮模型下計算輻射聲功率與聲輻射阻尼，結(jié)果見圖6和圖7。本文計算中結(jié)構(gòu)的參考聲功率取為10－12W。

圖6與圖7兩種流體模型下的聲功率和聲阻尼就曲線上看幾乎重合。因而可以認為流體的可壓縮與否對結(jié)構(gòu)聲輻射特性的影響是可以忽略的，在接下來的計算中，本文僅以不可壓縮流體模型為例。

2.1.5 激勵位置對聲輻射阻尼影響

如圖 5所示，在平板表面點 A(0.32，0.20)，B(0.12，0.08)和C(0.20，0.16)處分別單獨作用交變幅值大小為1 N的簡諧激勵，計算3個激勵位置的聲輻射阻尼如圖8和圖9所示。

激勵點A，B和C分別處于板的正中、邊緣和靠近中點3個位置。從圖8和圖9可以看出，在低階范圍內(nèi)(空氣中f＜100 Hz，水中f=40 Hz)，不同激勵位置下的聲輻射阻尼曲線基本重合;激勵頻率逐漸增大時(空氣中 100 Hz＜f＜300 Hz，水中 40 Hz＜f＜200 Hz)，圖中A點(板的正中)產(chǎn)生的聲輻射阻尼明顯大于其他激勵位置產(chǎn)生的阻尼。本文定義聲輻射阻尼為結(jié)構(gòu)向外輻射能量的能力，則圖中曲線反映出在這一激勵頻率范圍內(nèi)，激勵位置越靠近板的中心輻射出的能量就越強;若激勵頻率繼續(xù)增大，輻射阻尼的變化變得更加復(fù)雜，因而激勵位置的選取對于聲輻射阻尼的影響很大。

2.1.6 板厚對聲輻射特性的影響

為探討彈性板板厚對輻射阻尼的影響，如圖5所示，選擇激勵位置為A(0.32，0.20)，激勵力為幅值大小1 N的簡諧激勵，模型其他參數(shù)不變。板厚分別取為3 mm，4 mm和5 mm，計算3種板厚下空氣中及水中的聲輻射阻尼，結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10和圖11反映出在一定頻率范圍內(nèi)(主要為一階固有頻率之前)，聲輻射阻尼的大小隨板厚增加而遞減，但此后的趨勢有所變化。圖10為空氣中的聲輻射阻尼隨板厚變化。從一階的峰值分析，隨著板厚的增加，空氣中板的聲輻射阻尼峰值呈遞減趨勢。相反，水中板的聲輻射阻尼峰值隨著板厚的增加而增加。當激勵頻率較大時，聲輻射阻尼的變化趨勢更加復(fù)雜，可見板厚對結(jié)構(gòu)聲輻射的特性有一定影響。

2.2 矩形加筋板振動和聲輻射特性

2.2.1 加筋方式對振動和聲輻射特性的影響

在之前的四邊簡支板基礎(chǔ)上，采用3種不同的加筋方式，如圖12所示。加筋尺寸參數(shù):高度為40 mm，厚度為4 mm。材料和物理參數(shù)與矩形板相同。具體加筋方式為:

①橫向加筋(Y)，沿坐標軸Y向在X=0.20 m和X=0.40 m處加筋;

②縱向加筋(X)，沿坐標軸X向在Y=0.12 m和Y=0.28 m處加筋;

③雙向加筋(XY)，同時采用以上2種加筋。

分別計算不可壓水中上述3種形式的四邊簡板加筋結(jié)構(gòu)的固有頻率，與四邊簡支板的固有頻率進行對比，如圖13所示?？梢钥闯?，3種加筋方式對固有頻率的提高起到的效果為:雙向加筋＞縱向加筋＞橫向加筋。圖14中是3種板加筋結(jié)構(gòu)的附加質(zhì)量系數(shù)。從圖中可以得到以下結(jié)論:將橫向加筋方式與不加筋板的附加水質(zhì)量系數(shù)對比，加筋后某一階固有頻率的附加水質(zhì)量系數(shù)可能增大也可能減小;不同加筋方式對某一階固有頻率的附加水質(zhì)量系數(shù)的影響也是不確定的。

激勵點選在如圖5所示的A(0.32，0.20)點上，加載交變幅值大小為1 N的簡諧激勵，分別計算空氣和不可壓水模型中在該激勵作用下加筋板的表面均方速、輻射聲功率與聲輻射阻尼，如圖15～圖20所示。

圖14 水中加筋板的附加水質(zhì)量系數(shù)Fig.14 Comparison of the added mass coefficients of different types of stiffener

對結(jié)構(gòu)來說，加筋可以提高相應(yīng)的各階頻率，能有效減小結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)。而不同的加筋方式對結(jié)構(gòu)固有頻率的提高效果也是有所差異的。從圖15～圖20中觀察第1個峰值處對應(yīng)的一階頻率，均同樣可以看到:第1種加筋方式(短邊方向加筋)對板結(jié)構(gòu)的固有頻率提高貢獻最小;沿長邊方向加筋的效果則較好;而雙向加筋能大幅度提高板結(jié)構(gòu)固有頻率。

圖15和圖18分別為空氣中和不可壓水中加筋板的均方速。從圖中可以看到，由于雙向加筋有效地提高了板式結(jié)構(gòu)的一階固有頻率，空氣中0 Hz＜f＜400 Hz和水中0 Hz＜f＜150 Hz板均方速明顯小于另外2種加筋方式，對結(jié)構(gòu)振動的控制起著較為有效和良好的作用。

圖16為空氣中加筋板的聲輻射功率。由于一階固有頻率的提高和均方速的降低，雙向加筋的低頻輻射聲功率大幅度降低。因此加筋是減少空氣中板的聲輻射的有效方法。圖17為空氣中加筋板的聲輻射阻尼。文中應(yīng)用的聲輻射阻尼定義反映的是結(jié)構(gòu)向外輻射的能力，從圖17中同樣可以看出雙向加筋有效地降低了噪聲輻射。

不可壓水中的聲輻射功率和聲輻射阻尼分別如圖19和圖20所示。從圖中可以看出，加筋方式的變化對聲輻射功率和阻尼的影響并不如在空氣中的影響效果顯著。這是由于水的特性阻抗遠大于空氣的特性阻抗，水中的聲輻射阻尼遠大于空氣中的聲輻射阻尼。因此可以說，加筋并不是減少水中板式結(jié)構(gòu)低頻輻射噪聲的有效方法。

2.2.2 流體介質(zhì)對聲輻射特性的影響

激勵點選在圖5所示的A(0.32，0.20)點上，分別將空氣和不可壓水中的雙向加筋板的聲輻射功率和聲輻射阻尼進行對比。如圖22所示，水中加筋板的聲功率較大。從圖23中可以看到空氣中聲輻射阻尼與水中相比，小到貼近X軸，重流體中聲輻射阻尼遠大于輕流體中聲輻射阻尼。

2.2.3 邊界條件對聲輻射特性的影響

圖21 空氣和水中加筋板的均方速Fig.21 Mean square velocity of the stiffener panel

以圖12雙向加筋方式為例，對比分析加筋板在空氣中和不可壓水中的振動特性和聲輻射特性。激勵點同樣選在圖5所示的A(0.32，0.20)點上?？梢钥吹?，邊界條件由四邊簡支改為四邊剛固后，由于基頻的后移，空氣中0 Hz＜f＜480 Hz和水中0 Hz＜f＜220 Hz之間板的均方速和聲功率有一定的減小，如圖24，25，27和28所示，但之后的均方速和聲功率曲線無明顯趨勢。如圖26和圖29所示，四邊剛固輻射阻尼在空氣中0 Hz＜f＜530 Hz和水中0 Hz＜f＜260 Hz低頻區(qū)與四邊簡支有一定的降低，但之后一段頻率區(qū)反而增大了。

圖29 水中加筋板的聲輻射阻尼Fig.29 Radiation damping of the stiffener panel(in water)

3 結(jié)語

本文對鑲嵌在無限大剛性障板上的板式結(jié)構(gòu)動力和聲輻射特性的數(shù)值計算表明:

1)計算可壓縮流體附加質(zhì)量時取較低附加質(zhì)量計算頻率對結(jié)果影響不大;流體介質(zhì)的可壓縮性對結(jié)構(gòu)動力和聲輻射特性的影響極微小。

2)板厚增大時附加水質(zhì)量對板的固有頻率影響減小。同時隨著模態(tài)階數(shù)的增加，流體的動壓力對板高階固有頻率影響逐漸減小。對于四邊簡支板來說，流體的作用并不改變前十階振型形狀和順序。

3)加筋能明顯提高板振動頻率。加筋后某一階固有頻率的附加水質(zhì)量系數(shù)可能增大也可能減小;不同加筋方式對某一階固有頻率的附加水質(zhì)量系數(shù)的影響也是不確定的。

4)結(jié)構(gòu)在第一階共振區(qū)域的輻射阻尼最大，且遠大于其他各處峰值;激勵位置越靠近板的中心輻射出的能量就越強，聲輻射阻尼越大，而且隨著激勵頻率的增大，輻射阻尼的變化變得更加復(fù)雜，因而激勵位置的選取對于聲輻射阻尼的影響很大;聲輻射阻尼受板厚影響較大，且在空氣中和水中的變化趨勢有所不同;四邊剛固與四邊簡支相比，低頻區(qū)輻射阻尼有一定的降低，但之后一段頻率區(qū)反而增大了;復(fù)雜的加筋方式能減小振動并在一定程度上降低輻射聲功率，但是在聲輻射阻尼方面較難控制。

5)水的特性阻抗遠大于空氣的特性阻抗，重流體中聲輻射阻尼遠大于輕流體中聲輻射阻尼。因此可以說，加筋并不是減少水中板式結(jié)構(gòu)低頻輻射噪聲的有效方法。

［1］MAIDANIK G，DICKEY J.Acoustic behavior of ribbed panels［J］.J.Sound and Vibration，1988，123:293 －307.

［2］MACE B R.Sound radiation from fluid loaded orthogonally stiffened plates［J］.J.Sound and Vibration，1981，79:439－452.

［3］FAHY F.Sound and structural vibration:radiation，transmission and response［M］.London:Academic Press，1985.

［4］MOYNE S L，TEBEC J L，KRAEMER J C.Source effect of ribs in sound radiation of stiffened Plates:experimental and calculation investigation［J］.ACUSTICA，2000，86:457 －464.

［5］FAHY F.Sound and structural vibration:radiation，transmission and response［M］.London:Academic Press，1985.

［6］NORTON M P.工程噪聲和振動分析基礎(chǔ)(盛元生，等譯)［M］.北京:航空工業(yè)出版社，1993.

［7］EVERSTINE G C，HENDERSON F M.Coupled finite element/boundaryelementapproach forfluid-structure interaction［J］.J.Acoust.Soc.Amer.，1990，87(5):1938－1947.

［8］CISKOWSKI R D，BREBBIA C A.Boundary element methods in acoustics［M］.Southampton:Computational Mechanics Publications，1991.

［9］ALI A，RAJAKUMAR C，YUNUS S M.On the formulation of the acoustic boundary element eigenvalue problems［J］.Int.J.Numer.Methods Eng.，1991，31:1299 －1309.

［10］WALLACE C E.Radiation resistance of a rectangular panel［J］.J.Acoust.Soc.Am.，1970，51(3):946 －952.

［11］EALLACE C E.The acoustic radiation damping of the modes of a rectangular panel［J］.J.Acoust.Soc.Am.，1987，81(6):1787 －1794.