正弦交流電教學(xué)中的解題技巧

徐志躍

（北京航空航天大學(xué) 電工電子中心，北京 100191）

0 引言

對于工科學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)“電路分析”、“電工學(xué)”和“電工電子技術(shù)”這一類專業(yè)基礎(chǔ)課時，必須做夠一定數(shù)量的習(xí)題，才能對教師講述的內(nèi)容進(jìn)行消化和掌握［1］。然而在學(xué)習(xí)正弦交流電的內(nèi)容時，除了有原來較為熟悉的電阻元件R之外，還有儲能元件、電容器C和電感器L。電阻元件R上的電壓和電流成比例關(guān)系，電容器C和電感器L上的電壓和電流為導(dǎo)數(shù)或積分的關(guān)系。由RLC組成的正弦交流電路，不論是串聯(lián)、并聯(lián)還是混聯(lián)，各元件之間的電壓和電流不再是簡單的加減關(guān)系，由于相位差形成了三角形的關(guān)系［2］。學(xué)生有時簡單地把交流電路當(dāng)作直流電路來處理，導(dǎo)致使解題結(jié)果發(fā)生錯誤［3］。

我們可以利用相量圖描繪出各個電壓、電流之間的大小和相位關(guān)系。從相量圖的幾何關(guān)系上找到解決問題的突破口，可以起到事半功倍的效果［4］。下面我們對正弦交流電路中的幾個典型例題加以分析，希望能夠幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)交流電的困難，找到一些交流電路解題規(guī)律和技巧，建立學(xué)習(xí)的自信心。

1 電容補償

［例1］RLC并聯(lián)電路如圖1（a）所示。已知開關(guān)K閉合前后電流表A的讀數(shù)不變，試求電容器的容抗XC與電感器的感抗XL之間的關(guān)系，其解法如下。

（1）開關(guān)K斷開時的相量圖如圖1（b）中實線所示。以輸入電壓U為參考相量，電阻里的電流IR與電壓U同相；電感里的電流IL滯后于電壓U90°。電路的總電流滯后于輸入電壓，電路為感性的。電流表的讀數(shù)為電路的總電流

圖1 阻抗測量

（2）開關(guān)K閉合時的相量圖如圖1（b）中虛線所示［5］。為了使開關(guān)K閉合前后電流表的讀數(shù)不變，即OA＝OB，此時電路必為容性的，并且IC＝2IL，即XC＝XL／2。

2 電感線圈參數(shù)測量

［例2］電感線圈參數(shù)（直流電阻r和電感量L）的測量電路如圖2（a）所示。將被測電感（r，L）與一個已知的電阻R串聯(lián)后接到交流電壓U，用交流電壓表分別測量U1、U2及U 的值，試計算參數(shù)r和L［6］，其解法如下。

以電流I為參考相量，電阻R上的電壓與I同相。被測電感線圈上的電壓可以分解為與I同相的電阻r上的電壓Ur和與I垂直的純電感上的電壓UL，如圖2（b）所示。（雖然它們并不存在，但可以這樣去想象）［7］。

圖2 參數(shù)測量

由余弦定理可知

則純電感電壓UL＝Usinφ

線圈電阻電壓Ur＝Ucosφ－U1

電路中電流I＝U1／R

則線圈電阻r＝Ur／I

線圈的電感L＝UL／（ωI）

3 利用諧振解題

［例3］電路發(fā)生諧振如圖3（a）所示。已知電壓U，及I1＝I2，且電流I與電壓U同相，試求電路參數(shù)R、XL和XC。其解法如下。

因為電路中電流I與電壓U同相，所以電路發(fā)生諧振，即整個電路的復(fù)阻抗的虛部為零，由此可以得到R、XL和XC的一些關(guān)系式。這時求解較為復(fù)雜的方程式，容易出錯。我們可以利用相量圖地描繪出電路中各個電壓和電流之間的相位關(guān)系，如圖3（b）所示［8］。

圖3 電路諧振狀態(tài)

現(xiàn)以電容器C上的電壓U2為參考相量，則電阻R里的電流I1與U2同相，電容器C里的電流I2超前于U2為90°，總電流I ＝，且超前于U2為45°。電感上的電壓UL超前于其電流I為90°，即UL超前于U2為135°。最后，由于電壓U與電流I同相，所以電壓U與電流I平行，并與UL相交。顯然，電壓U、UL和U2構(gòu)成了等腰直角三角形，即U＝UL＝U2／。由此很容易計算出電路參數(shù)R、XL和XC：

4 復(fù)阻抗的測量

［例4］測量復(fù)阻抗Z的電路如圖4（a）所示。將可變電阻器R接到交流電壓上，將被測復(fù)阻抗Z與已知的電阻R1串聯(lián)后接到同一交流電壓上。改變滑動端C的位置，電壓表V的讀數(shù)隨之改變。當(dāng)C滑動到某一位置時電壓表V的讀數(shù)達(dá)到最小值，試計算復(fù)阻抗Z值［8］。其解法如下。

（1）一般解法

以Uab作為參考相量，假設(shè)復(fù)阻抗Z為容性的，即電流I1超前于電壓Udb，阻抗角為φ3，畫出電路的相量圖如圖4（b）實線所示。

圖4 阻抗測量

根據(jù)題意，當(dāng)滑動端c達(dá)到某一特定位置時，電壓表V的讀數(shù)達(dá)到最小值，即電壓Ucd達(dá)到最小，并且線段cd⊥ab。此時電壓Ucb、Uac、Ucd均已知，可以計算出電壓Udb、Uad。再由余弦定理得到φ1、φ2，從而得到復(fù)阻抗Z的阻抗角φ3。復(fù)阻抗Z的模為｜Z｜＝Udb／I1＝ Udb／（Uad／R1）。

因此，復(fù)阻抗Z＝｜Z｜∠φ3

（2）最簡解法

相量圖如圖4（b）實線所示，仍然假設(shè)復(fù)阻抗Z為容性的。注意到電阻R1上的電壓Uad可以從兩方面得到。

一方面，從原理圖上看，Uad是R1，與Z串聯(lián)后對輸入電壓U 分壓的結(jié)果。即ad＝ （Z）／（R1＋Z）。另一方面，從相量圖上看，ad＝ac＋cd＝Uac＋j Ucd。

不難求得復(fù)阻抗Z＝ （Uac＋j Ucd）R1／（Ucb－j Ucd）

（3）綜合分析

以上分析是假設(shè)復(fù)阻抗Z為容性，如果Z為感性，則其中的電流I1滯后于電壓Udb，得到的相量圖如圖4（b）虛線所示。顯然，它與實線的情形是完全對稱的。綜合以上兩種情形，有（Z）／（R1＋Z）＝Uac±j Ucd。因此，Z＝ （Uac±j Ucd）R1／（Ucb－j Ucd）。

5 功率因數(shù)的提高

正弦交流電路中，有功功率p取決于電壓U、電流I以及U、I之間的夾角的余弦cosφ（功率因數(shù)）的乘積。提高電路的功率因數(shù)，可以充分提高電源的潛力，降低電網(wǎng)傳輸線的功率損耗，具有重要的意義［9］。功率因數(shù)低下的主要原因是感性負(fù)載使用過多，如工廠里的電動機(jī)，日常生活中的日光燈、節(jié)能燈等。要想提高功率因數(shù)可以并聯(lián)電容進(jìn)行補償，如圖5（a）所示。補償?shù)脑砣鐖D5（b）所示。

圖5 提高功率因數(shù)

并聯(lián)電容C之前，線路上的電流I等于電感里的電流I1。盡管電流I1很大，但由于U與I1的相位差φ1很大，cosφ1很低，即I1的有功分量IP很小。并聯(lián)電容C之后，由于電容里的電流IC超前于電壓U為90°，線路上的電流I等于電感電流I1與電容電流IC的相量和。I比I1小得多，但是兩者的有功分量卻是相同的。此時總電流I與電壓U之間的夾角φ比之前的φ1減小，功率因數(shù)cosφ大為提高。從這個意義上講，并聯(lián)電容C提高功率因數(shù)的實質(zhì)就是保持有功分量不變的前提下，降低線路上的總電流。

從圖5（b）不難看出，此時電路里的電流I落后于電壓U，電路仍然是感性的。這種情況稱為欠補償。當(dāng)IC與電壓U相交時，電流I與電壓U同相位，cosφ＝1.0，稱為完全補償。當(dāng)IC超過電壓U時，電路變?yōu)槿菪缘模Q為過補償。

如果要求將電路的功能因數(shù)從cosφ1提高到cosφ，補償電容C的值如何計算呢？

從電路圖上看IC＝UωC

從相量圖上看IC＝I1sinφ1－Isinφ

因為有功功率P＝UI1cosφ1＝UIcosφ

因此I1＝P／（Ucosφ1）；I＝P／（Ucosφ）

所以IC＝P／U（tanφ1－tanφ）

電容器C的值C ＝P／［U2ω（tanφ1－tanφ）］

［1］ 秦增煌.電工學(xué)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2004

［2］ 邱關(guān)源.電路（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2006

［3］ 上官左黎.“電路分析基礎(chǔ)”課程改革的思考［J］.北京：北京郵電大學(xué)學(xué)報，2000.3，2（1）：44－46

［4］ 周茜，徐亞寧.《電路分析基礎(chǔ)》課程教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新與實踐［J］.桂林：桂林電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報.2004.8，24（4）：113－116

［5］ 唐介.電工學(xué)（少學(xué)時）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2005

［6］ 孫玉坤，陳曉平.電路原理［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006

［7］ 陳曉平，付海軍.電路原理學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題全解［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2007

［8］ 劉崇新，羅先覺.電路（第五版）學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題分析［M］.北京：高等教育出版社，2006

［9］ 唐介.電工學(xué)（少學(xué)時）［M］.北京：高等教育出版社，2005