課堂教學中體現(xiàn)大學數(shù)學趣味性之探究

周小燕

(浙江科技學院 理學院,杭州 310023)

2002年8 月在北京舉行第24屆國際數(shù)學家大會期間,91歲高齡的數(shù)學大師陳省身先生題詞,寫下了“數(shù)學好玩”4個大字。數(shù)學真的好玩嗎?數(shù)學是一門科學,從人類社會發(fā)展的最初階段至科學技術(shù)飛速發(fā)展的今天,數(shù)學都體現(xiàn)著它獨有的魅力。數(shù)學是有趣的,不過卻被一大堆公式和符號所掩蓋,讓人覺得枯燥、乏味。法國大數(shù)學家帕斯卡曾指出:數(shù)學這一學科是如此的嚴肅,我們應(yīng)當千方百計地把它趣味化。

1 古今中外對趣味數(shù)學的研究

美國的馬丁?加德納和薩姆?勞埃德及英國的亨利?歐內(nèi)斯特?杜德尼號稱世界上著名的“趣味數(shù)學三杰”。馬丁?加德納(1914—)是美國名聲顯赫的業(yè)余數(shù)學大師,被譽為“數(shù)學園丁”,從1957年到1981年他是《科學美國人》的長期專欄作家,他所包辦的“數(shù)學游戲”專欄,成為該雜志的一個“特色產(chǎn)品”[1]。薩姆?勞埃德(1841—1911)是偉大的趣題家和智力玩具專家,他的《世界經(jīng)典智力游戲》至今仍是世界上最激動人心的單卷本趣題集。亨利?歐內(nèi)斯特?杜德尼(1857—1930)是英國著名的趣味數(shù)學家,他的主要作品有《數(shù)學中的娛樂》《坎特伯雷趣題集》等,是世界趣味數(shù)學史上的經(jīng)典文獻。談祥柏教授與張景中院士、李毓佩教授一起,被人稱為“中國數(shù)學科普的三架馬車”。談祥柏先生具有扎實的古文功底與淵博的文史知識,并通曉英、日、德、法等多種語言,其科普作品題材廣泛,妙趣橫生;張景中先生創(chuàng)作的數(shù)學科普作品比之一般數(shù)學科普讀物具有更大的啟迪性,是中國數(shù)學科普創(chuàng)作的一次突破性進展;李毓佩先生擅長用少年兒童喜聞樂見的童話故事形式,將抽象、枯燥的數(shù)學知識,講得深入淺出,讀起來輕松自如。

2 研究大學數(shù)學趣味性教育的意義

蘇聯(lián)科學家加里寧說:數(shù)學是思維的體操。數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用。數(shù)學為其他學科提供了語言、思維和方法,是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。物理、計算機、化學、生物、天文、地理等,幾乎每一門學科要想學好,都要用到數(shù)學知識。有人把數(shù)學對于人類的意義比作生活中不能缺少鹽一樣,離開了數(shù)學,人們的生活將寸步難行。幾乎世界上所有的學校都把數(shù)學作為一個基本課目,這不僅是科技發(fā)展的需要,也是每一個人發(fā)展自己基本智能的需要。而在大學的所有理工類、經(jīng)管類專業(yè)中,大學數(shù)學總是被列為重要的基礎(chǔ)理論課。目前大學數(shù)學必修課包括微積分、向量代數(shù)與空間解析幾何、無窮級數(shù)、微分方程、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計等內(nèi)容。但是在日常的教學中,使用的仍然是傳統(tǒng)的教學方式,即重灌輸式講授,輕探究式教學,教師只是一味地把課本上的知識傳授給學生,概括地講,就是“定義+定理+例題”,要求學生死記硬背、生搬硬套,脫離實際,把數(shù)學教學變成了枯燥無味的活動,使學生覺得數(shù)學學習是很痛苦的,自然也就失去了學習數(shù)學的興趣和熱情[2]。在多年的大學數(shù)學教學工作中,筆者經(jīng)常聽到學生有這樣那樣的抱怨,數(shù)學太難了,數(shù)學給人的印象總是冷冰冰的,枯澀的語言、冷峻的定義和公式、抽象的結(jié)構(gòu)、艱澀的推理常常使人望而卻步?！皵?shù)學的好玩之處,并不限于數(shù)學游戲。數(shù)學中有些極具實用意義的內(nèi)容,包含了深刻的奧秘,發(fā)人深思,使人驚訝”,這是張景中先生在《好玩的數(shù)學》叢書中的題詞。那么如何做到知識性和趣味性的統(tǒng)一,這是值得數(shù)學教學工作者去研究的。目前,教育正經(jīng)歷著深刻的變革,正處于應(yīng)試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)型期,這場變革要求改變原有的教學方式和學習方式[3]。首先要讓學生覺得數(shù)學是好玩的,然后讓他們認識到數(shù)學的重要性和數(shù)學的實用價值。興趣能夠解決一系列的矛盾,只有喜歡數(shù)學、愛上數(shù)學,才能學好數(shù)學,感受到數(shù)學的魅力,而不再把數(shù)學看成是艱難的學科。

3 在課堂教學中體現(xiàn)大學數(shù)學的趣味性

一直以來,趣味數(shù)學擁有廣大的讀者,受到大眾的青睞,可謂是老少皆宜。如果能將適合學生水平的、與課堂教學內(nèi)容相關(guān)的趣味數(shù)學問題引入大學課堂,將一些內(nèi)容變成一個個生動的故事和美妙的應(yīng)用,相信學生會對數(shù)學產(chǎn)生全新的認識,不再認為數(shù)學是枯燥無味的,而是充滿了吸引力的,從而提高學習的興趣,進而提高課堂的教學質(zhì)量與學習效果。具體地講,可以通過介紹社會和生活中(如政治、經(jīng)濟、企業(yè)經(jīng)營、組織管理、軍事、社會生活)出現(xiàn)的諸多數(shù)學問題,展示數(shù)學的趣味性、數(shù)學在生活中的廣泛應(yīng)用及數(shù)學對人的深遠影響。以下幾個例子作為如何在課堂教學中體現(xiàn)大學數(shù)學趣味性的初步探究。

3.1 莫比烏斯帶

高等數(shù)學中提到了雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面。在日常生活中,雙側(cè)曲面比比皆是,但單側(cè)曲面少之又少,如何讓學生直觀地想象這種曲面,筆者就給學生介紹非常特別的莫比烏斯帶[4]。上課前,準備好二張呈長方形的長紙條,先將第一張長紙條兩端粘連成環(huán)狀,從紙條外側(cè)某一點開始順著帶子畫一條線,最后回到始點,然后再將第二張長紙條先扭轉(zhuǎn)180°,再粘連兩端成環(huán)狀,從紙條一點開始順著帶子畫一條線,等畫回到始點時,可以發(fā)現(xiàn)帶子里外都畫有線條,這時學生已經(jīng)覺得有趣了,因為第一張紙條從里畫,線就始終在里面,從外畫,線就始終在外面,二張紙條截然不同。然后再順著線條用剪刀剪一下,第一張紙條被剪成了兩段,而出乎意料的是第二張紙條沒有被剪成兩段,而是變成一條薄長的普通帶子,這時課堂氣氛已經(jīng)非常熱烈了,學生都在驚嘆這是怎么回事,這時再給大家介紹第二張紙條稱為莫比烏斯帶,是經(jīng)典的單側(cè)曲面,相信任何一個學生都可以輕松地理解這個概念了。再適當?shù)亟o學生介紹一些關(guān)于莫比烏斯帶的實用性,比如在工廠里有很多扭轉(zhuǎn)呈莫比烏斯帶形狀的輸送帶,原因是扭轉(zhuǎn)起來比直接掛上更不容易掉落下來;另外,由于莫比烏斯帶是單側(cè)曲面,每旋轉(zhuǎn)一圈皮帶都平均接觸機械,磨損均衡,有利于延長輸送帶的壽命。另一利用莫比烏斯帶的實例是Seike裝置,這種裝置是組合電磁鐵和永久磁鐵的反重力裝置,這種裝置可減少自重而懸浮于空中,在制作電磁鐵時將電線呈莫比烏斯帶狀纏繞是這個裝置的核心。這樣學生就會覺得數(shù)學原來也可以非常有趣,可以在輕松中學好數(shù)學了。

3.2 拉格朗日中值定理

超速是現(xiàn)代生活中經(jīng)常被提起的一個話題,如何確定司機超速了,交警自然有先進儀器可以檢測,但其實也可以用一點點的數(shù)學知識去判斷。筆者在介紹著名的拉格朗日中值定理前,給學生提出了這樣一個問題:“假設(shè)有一輛汽車在從杭州繞城高速公路留下收費站到下沙收費站共花了15 min,繞城高速公路上的限速是120 km/h,你能判斷司機超速了嗎?”學生回答說超速了,也有回答說沒有超速。筆者告訴學生先來介紹拉格朗日中值定理,然后再回答這個問題。定理內(nèi)容如下:如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點 ξ(a＜ξ＜b),使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。該定理有明確的幾何意義,即一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點,它的斜率與整段曲線平均斜率相同,一般掌握問題不大,但要深刻認識定理的內(nèi)容,特別是點ξ的含義,就有較大難度。所以可以借上面的例子來對定理深入理解。司機通過了留下收費站后,設(shè)汽車在t時間內(nèi),行駛的距離為f(t),則 f(t)在區(qū)間0,14-f(0),滿足滿足拉格朗日中值定理的條件,所以可得至少存在一ξ0＜ξ＜1 4 f 13=45=13-013135=f′(ξ),即至少在某個時間點,汽車行駛的瞬時速度是135 km/h,顯然,司機超速了。學生聽到這里發(fā)現(xiàn),原來數(shù)學真的無處不在,原來數(shù)學不是枯燥無味的,從而發(fā)自內(nèi)心地對數(shù)學產(chǎn)生興趣。

3.3 生日的巧合

在教概率統(tǒng)計這門課程時,第一堂課筆者就會問學生,班級里是不是有同學是同一天生日啊,學生覺得很奇怪,好像真的有啊,怎么這么巧呢,告訴大家原來是概率在作怪呢。有這樣一個經(jīng)典的概率題目:n個人中,至少有2人相同生日的概率是多少?可以計算出,這一概率是并且可以計算出,當n≥23時,居然有所以班級中有2個人是同一天生日的概率是非常高的。另外,統(tǒng)計一下美國歷屆總統(tǒng),從華盛頓任第一任總統(tǒng)以來不過200多年,在44位美國總統(tǒng)中,有2人的生日相同,即第11任總統(tǒng)詹姆斯?諾克斯?波爾克和第29任總統(tǒng)沃倫?蓋瑪利爾?哈定都生于11月2日。還有,這一有趣的概率規(guī)律也可以在中國四大名著之一《紅樓夢》中找到驗證。書中第62回“憨湘云醉眠芍藥茵,呆香菱情解石榴裙”中寫到:當下又值寶玉生日已到,原來寶琴也是這日,二人相同。后來又知道,原來平兒與刑岫煙的生日也是在同一天,于是史湘云拉寶琴岫煙說:“你們四個人對拜壽,直拜一天才是。”探春笑道:“倒有些意思,一年十二個月,月月有幾個生日。人多了,便這等巧,也三個一日、兩個一日的。大年初一日也不白過,大姐姐占了去,怨不得他福大,生日比別人就占先,又是太祖太爺?shù)纳?。過了燈節(jié),就是老太太和寶姐姐,他們娘兒兩個遇的巧。三月初一日是太太,初九是璉二哥哥。二月沒人?！币u人道:“二月十二是林姑娘,怎么沒人?就只不是咱家的人?！睂氂裥χ敢u人道:“他和林妹妹是一日,所以他記的?！薄都t樓夢》是中國封建社會的一部百科全書,曹雪芹不惜花費筆墨對這種生日巧合現(xiàn)象加以描寫,絕非隨意杜撰,大觀園里眾多人物,生日相同的概率自然是較大了。把數(shù)學與歷史、文學作品聯(lián)系在一起,使學生忘記自己是在學數(shù)學,而倒像是在聽什么奇異的故事,自然能提高學習數(shù)學的興趣了。

3.4 Google公司

現(xiàn)在的大學生應(yīng)該是非常熟悉Google的,它是大家上網(wǎng)時常用的搜索軟件,所以在課堂上介紹一下Google公司對數(shù)學的偏愛,相信更能引起學生對數(shù)學的興趣。首先從Google的名字談起,它來源于Googol,Googol表示10的100次方,即非常巨大的數(shù)字。當年公司的創(chuàng)始人選擇了這個名字,意在表現(xiàn)該引擎“搜集和駕御浩瀚無窮的網(wǎng)絡(luò)信息”的宏圖。Google的辦公樓第二、第三、第四大樓分別被命名為無理數(shù)e、圓周率π、黃金比例φ,足以顯示出公司對數(shù)學的情有獨鐘[5]。而Google公司用于招聘的面試題,有些就更像是數(shù)學題目了。如有這么一個題目:假設(shè)某個國家的夫婦都喜歡生男孩,每個家庭都會一直生孩子,直到生出一個男孩為止,另外假設(shè)當前的男女比例是均衡的,請問若干年后該國家的男女比例會呈現(xiàn)什么樣的趨勢?這個題目,第一感覺就是男的應(yīng)該會增多,就好像中國當前男多女少一樣。但如果仔細算一下,因為生男孩生女孩的概率都是,那么第k個小孩為男孩的概率為k可以從1到無窮大,它的期望值為而要計算這個式子,可以作如下考慮:由于利用和函數(shù)的可微性 對 此級 數(shù)作 逐 項求 導(dǎo),得也就是說最后的男女比例照樣是均衡的,出乎意料的結(jié)果,所以有時直覺不一定是對的,特別是在數(shù)學問題上。經(jīng)過這樣一個例子的講解,既可以使學生更好地理解數(shù)學期望的概念,還可以掌握無窮級數(shù)利用函數(shù)可微性的求和計算,一舉兩得,關(guān)鍵是學生還會覺得一點都不枯燥、難學,非常有趣,增加了學生學習的興趣和熱情。

4 結(jié) 語

在數(shù)學教學中,教師可以力爭內(nèi)容新穎、風格多變,活躍課堂氣氛,使學生開闊眼界、拓廣思維,改變大學生認為大學數(shù)學枯燥乏味的觀點,使他們在趣味中學好數(shù)學,進而使他們把學習數(shù)學過程中所培養(yǎng)的思維能力用于專業(yè)知識的學習上。

[1] 李正偉.馬丁?加德納與他的“數(shù)學游戲”專欄回顧[J].科普研究,2009(2):56-60.

[2] 陳仁政.“數(shù)學游戲”的價值[J].知識就是力量,2004(4):60-62.

[3] 石國輝.淺談數(shù)學課堂趣味引入[J].承德職業(yè)學院學報,2005(3):74.

[4] 樸京美.數(shù)學維生素[M].姜镕哲,譯.北京:中信出版社,2006.

[5] 宋宇.數(shù)學思維與生活智慧[M].北京:中國和平出版社,2006.