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    高階變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則

    2016-05-25 00:46:16吳英柱
    關(guān)鍵詞:非線性高階振動

    吳英柱

    (廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

    ?

    高階變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則

    吳英柱*

    (廣東石油化工學(xué)院數(shù)學(xué)系,茂名 525000)

    摘要:利用反復(fù)迭代的思想方法,討論了一類高階變系數(shù)函數(shù)方程

    解的振動性,給出了這類函數(shù)方程一切解振動的幾個充分條件:如果存在整數(shù)n≥0,使得

    則上述方程的一切解振動;如果存在一個整數(shù)n≥0,使得

    則上述方程的一切解也振動. 并且給出了該方程在差分方程中的若干應(yīng)用.

    關(guān)鍵詞:高階; 函數(shù)方程; 非線性; 振動

    高階函數(shù)方程的振動性研究受到研究者的關(guān)注[1-16].周勇等[7-8]、戴麗娜等[15]研究了方程

    x(g(t))=p(t)x(t)+

    得到了一系列結(jié)果.

    在此基礎(chǔ)上,本文沿用文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[15]的方法,研究了高階非線性變系數(shù)函數(shù)方程

    x(g(t))=p(t)x(t)+

    (1)

    的振動性,其中函數(shù)p,Qi(i=1,2,…,m):I→+=(0,∞),I?(0,∞),I是+上的一個無界子集;g:I→I且g(t)不恒等于∞.定義gi為g的i次迭代,即g0(t)=t,gi+1(t)=g(gi(t)),t≥t0,i=0,1,2,…,tI.kj≥1為正整數(shù),aj為非負(fù)實數(shù),j=1,2,…,s且.

    1振動準(zhǔn)則

    如果函數(shù)x:I→使得sup{|x(s)|:sIt0=[t0,∞)∩I}>0對任何t0(0,∞)成立,且對tI滿足方程(1),則稱其為方程(1)的一個解.這樣的解稱作是振動的,如果存在一列點I,使得且x(tn)·x(tn+1)≤0,對n=1, 2, …成立,否則稱為非振動的.

    定理1如果存在整數(shù)n≥0,使得

    (2)

    則方程(1)一切解振動.

    x(g(t))≥p(t)x(t),

    (3)

    (4)

    把式(4)代入方程(1)得

    x(g(t))≥p(t)x(t)+

    (6)

    由式(6)可得

    x(g(t))≥p1(t)x(t),

    (7)

    (8)

    同樣對x(g(t))≥p1(t)x(t)進(jìn)行迭代,可得

    代入方程(1),可得

    x(g(t))≥p(t)x(t)+

    反復(fù)迭代,可得

    x(g(t))≥p(t)x(t)+

    推論1假設(shè)

    (9)

    其中β是方程

    (10)

    的最大正實根,則方程(1)的一切解振動.

    證明設(shè)x(t)>0是方程(1)的非振動解,由定理1,有p1(t)≥p(t)/(1-A),則

    因此,

    (11)

    當(dāng)K=1時,方程(10)為β2-β+A=0,可得:

    推論2當(dāng)A<1/4,且

    時,方程(1)的一切解振動.

    所得結(jié)論實質(zhì)改進(jìn)了文獻(xiàn)[11]187的定理3.1.

    (12)

    則方程(1)的一切解振動.

    (13)

    同理,由方程(1)可得:

    x(g2(t))=p(g(t))x(g(t))+

    (14)

    類似前面的證明,對x(g2(t))≥p(g(t))x(g(t))進(jìn)行kj+i次迭代,有

    (15)

    把式(13)和式(15)代入式(14)可得

    x(g2(t))≥

    這與條件(12)相矛盾,故不存在非振動解,則方程(1)的一切解振動.

    注1不難看出定理2實質(zhì)上改進(jìn)了文獻(xiàn)[8]416中定理2的結(jié)果;由定理2可知,若

    2應(yīng)用

    由于方程(1)以離散變量的差分方程和具連續(xù)變量的差分方程作為其特殊情形.對于g(t)=t-,+,I=+的情形,方程(1)化為具連續(xù)變量的差分方程:

    x(t-)=p(t)x(t)+).

    (16)

    由定理1和定理2,可得

    定理3假設(shè)p(t)>0,Qi(t)≥0,且下列條件之一成立

    其中n≥0為整數(shù).

    同理,考慮無窮時滯的差分方程

    (17)

    易得:

    定理4假設(shè)p(t)>0,Qi(t)≥0,且下列條件之一成立

    參考文獻(xiàn):

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    [2]司建國, 張偉年. 一個函數(shù)方程的C2解[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報,1998, 41(5):1061-1064.

    SI J G, ZHANG W N. OnC2solutions of a functional equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 1998, 41(5):1061-1064.

    [3]NOWAKOWSKA W, WERBOWSKI J. Oscillation of linear functional equations of higher order[J]. Arch Matharchiv Der Mathematik, 1995, 31:251-258.

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    ZHOU Y,YU Y H. Oscillation of solutions of functional equations with variable coefficients[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,1999,19(3):348-352.

    [8]周勇,劉正榮,俞元洪. 變系數(shù)函數(shù)方程解的振動準(zhǔn)則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,23: 413-419.

    ZHOU Y,LIU Z R,YU Y H. Oscillation criteria of functional equations with variable coefficients[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2000,23: 413-419.

    [9]ZHANG B G, CHOI S K.Oscillation and non-oscillation of class of functional equations[J]. Mathematische Nachrichten,2001(227):159-169.

    [10]SHEN J H, STAVROULAKIS I P. An oscillation criteria for second order functional equations[J]. Acta Mathematica Sinica, 2002, 22B(1):56-62.

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    LIN Q W,QUAN H,LIAO S Q,et al.Oscillation of higher-order functional equations with variable coefficients[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2009,39(12): 244-249.

    [14]LIN Q W, CHEN R L, DAI L N. Oscillatory behavior of solutions to higher order linear functional equations[J]. Journal of Biomathematics,2011,26(1): 9-16.

    [15]戴麗娜,吳英柱,林全文. 高階變系數(shù)泛函方程解的振動性[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2014,44(10): 271-275.

    DAI L N,WU Y Z,LIN Q W.Oscillatory behavior of solutions to higher order variable coefficient functional equations[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2014,44(10): 271-275.

    [16]申淑媛,翁佩萱. 具有脈沖的非線性時滯差分方程的振動性和漸進(jìn)性[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005(2): 93-98.

    SHEN S Y,WENG P X.Oscillation and asymptotic behavior of nonlinear delay differential equations with impulses[J].Journal of South China Normal University(Natural Science Edition),2005(2): 93-98.

    【中文責(zé)編:莊曉瓊英文責(zé)編:肖菁】

    Oscillation Criteria of Solutions to Higher Order Variable Coefficient Functional Equations

    WU Yingzhu*

    (Department of Mathematics, Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, China)

    Abstract:By utilizing iterative method, oscillation of solutions to high-order variable coefficient functional differential equations of the formajsgn x(gkj+i(t)) is discussed. When n≥0, n is an integer, andaj>1(tI), all the solutions of the above equations are oscillation. When n≥0, n is an integer, and

    all the solutions of the above equations are oscillation. Some sufficient conditions for these equations are established. Some applications in difference equations are given.

    Key words:higher-order; functional equations; nonlinear; oscillation

    中圖分類號:O175.1

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

    文章編號:1000-5463(2016)02-0107-04

    *通訊作者:吳英柱,講師,Email:wuyingzhu1978@163.com.

    基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(1127380);茂名市科技計劃項目(2014050);廣東石油化工學(xué)院自然科學(xué)研究基金項目(513021)

    收稿日期:2015-07-01《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址:http://journal.scnu.edu.cn/n

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