測度鏈上具有多時滯的非線性中立型泛函微分方程的振動性

劉光輝，夏文華

（湖南工程學(xué)院 理學(xué)院，湘潭411104）

1 預(yù)備知識

近年來，中立型時滯差分方程和時滯微分方程的研究已有不少結(jié)果［1－5］，而將離散和連續(xù)形式統(tǒng)一起來的測度鏈（實數(shù)R的任意閉子集，通常記作T）上泛函微分方程的各種理論研究才剛開始［6－9］.測度鏈上時滯泛函微分方程的研究是目前國際上關(guān)注的一個新課題，對其研究具有重要的理論價值和實際應(yīng)用價值.本文考慮測度鏈上時滯泛函微分方程：

的振動性.其中0＜p（t）≤1，qi（t）∈ （Crd）（［t0，∞），R＋），τ≤σiqi（t）不最終恒為零fi∈Crd（R，R）且當(dāng)u≠0，uf′i（u）＞0，fi（u）≥λi＞0.

文［1］討論了T＝N時單滯量的非線性差分方程：Δ（yn－pnyn－k）＋qnf（yn－m）＝0的振動性.

顯然，文［1，2］均為方程（1）的特殊情形.

本文記z（t）＝x（t）－p（t）x（t－τ）.

2 主要結(jié)果

引理1.設(shè)x（t）為（1）的非振動解，若x（t）最終為正（負(fù)），則最終有

zΔ（t）≤0，z（t）＞0.（zΔ（t）≥0，z（t）＜0）

若結(jié)論不成立，則最終有z（t）≤0，因為q（t）不最終恒為零，故z（t）不最終恒為零.從而z（t）＜0，存在α＞0，t2≥t1，使得t≥t2時，z（t）≤－α即有：

x（t）－x（t－τ）≤x（t）－p（t）x（t－τ）＝z（t）≤－α x（t）≤－α＋x（t－τ）從而有

x（t＋nτ）≤－α＋x（t＋（n－1）τ）≤－2α＋x（t＋（n－2）τ）≤ … ≤－（n－1）α＋x（t－τ）

故z（t）≤z（t－σ）≤x（t－σ）.

證明：假設(shè)x（t）為（1）的最終正解（最終為負(fù)同樣可證）.存在t1≥t0＞0，當(dāng)t≥t1時，x（t）＞0，x（t－τ）＞0，x（t－σi）＞0.由引理1知 ?t2≥t1，使t≥t2時，z△（t）≤0，z（t）＞0.

從t到t＊積分（1）式得：

故

從t＊－τ到t積分（1）式，同理得：

因此

（1）式兩邊同除以x（t）－p（t）x（t－τ），

從t＊－τ到t積分上式，有：

從而有：

與

矛盾，故（1）的所有解振動.證畢.

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