τ檢驗(yàn)在GPS后處理中對粗差的探測分析

王亦欣

(湖南省第一測繪院，湖南衡陽 421001)

1 概述

在GPS后處理中，經(jīng)過三維無約束平差(最小約束平差)后，一般要對基線殘差進(jìn)行分析以剔除粗差。無約束平差是以獨(dú)立基線向量及其方差－協(xié)方差陣為觀測量。平差后一般輸出基線向量各分量改正數(shù)(殘差)、基線邊長、方位和點(diǎn)位精度信息等。常用的對基線殘差探測分析方法有X2檢驗(yàn)、τ檢驗(yàn)、環(huán)閉合差和重復(fù)基線分析等。但τ檢驗(yàn)對粗差探測往往具有不確定性，以下筆者試對其詳細(xì)分析。

2 τ檢驗(yàn)

觀測值誤差是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故殘差/標(biāo)準(zhǔn)殘差的期望是可預(yù)計的。τ檢驗(yàn)就是用標(biāo)準(zhǔn)殘差去統(tǒng)計測定觀測值殘差是否位于期望界限之內(nèi)，再計算出一個閥值來檢驗(yàn)每個標(biāo)準(zhǔn)殘差。每個被檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差可能有兩種結(jié)果:

①τ檢驗(yàn)通過，標(biāo)準(zhǔn)殘差不大于閥值，通常表明觀測值中無粗差存在。

②τ檢驗(yàn)失敗，標(biāo)準(zhǔn)殘差大于閥值，應(yīng)進(jìn)一步查驗(yàn)粗差情況。

τ檢驗(yàn)的嚴(yán)密公式如下:

構(gòu)造統(tǒng)計量:

其中:

vi為第i個觀測值的殘差;^σ0為單位權(quán)中誤差估值;qi為第i個觀測值的協(xié)因數(shù);f為自由度，等于多余觀測值的個數(shù)。

那么有:

α為顯著性水平。因t(f)呈對稱分布，如圖1所示。

圖1 τ檢驗(yàn)置信區(qū)間圖

通常選擇顯著性水平α=0.05，置信水平為95%時，若:

(tα/2(f)可在t分布表中查得)即Vi大于其中誤差的2倍時，認(rèn)為與它相應(yīng)的觀測量含有粗差。

為了減少棄真概率，根據(jù)“3σ”原則，選擇置信水平接近99.7%時，即Vi大于其中誤差的3倍時，則認(rèn)為其觀測量含有粗差。

需要注意的是，殘差未通過統(tǒng)計檢驗(yàn)，并不意味著觀測值中必然存在粗差，只是應(yīng)進(jìn)一步查驗(yàn)粗差情況，對可能存在粗差的基線作出標(biāo)記。一個觀測值的粗差往往會影響到其他觀測值殘差的推算。因此，這種標(biāo)記可能會張冠李戴，如果有一個甚至多個觀測值做上了這樣的標(biāo)記，可逐一檢測是否真正存在粗差。

3 實(shí)例分析

以中海達(dá)Hi－TargetTMGPS數(shù)據(jù)處理軟件算例進(jìn)行分析。該軟件實(shí)際提供的τ值為檢驗(yàn)值與τ值的比值，如果該值小于±1.0，則說明該觀測值不含粗差，如它大于±1.0，則意味著該觀測值含有粗差。

例如:有GPS控制網(wǎng)如圖2所示。

經(jīng)三維無約束平差后進(jìn)行τ檢驗(yàn)，如表1所示。

表1和圖3表明有3條基線含有粗差。而這3條基線向量各分量的改正數(shù)如表2所示。

τ檢驗(yàn)列表 表1

圖3中，背景曲線為理論上的τ值分布曲線，直方圖為實(shí)際曲線。

圖3 τ檢驗(yàn)直方圖

基線分量改正數(shù) 表2

對基線向量各分量的改正數(shù)可以利用以下簡單公式進(jìn)行檢驗(yàn)(見《全球定位系統(tǒng)(GPS)測量規(guī)范》GB/T18314－2001)。

式中a為固定誤差，mm;b為比例誤差系數(shù)，ppm;d為相鄰點(diǎn)間的距離，km;對 GPS E級網(wǎng)，取 a=10 mm，b=10 ppm。

經(jīng)過計算，基線4001→4015.3165標(biāo)準(zhǔn)差 σ為4.40 cm;基線 4001→ZBXX.2971標(biāo)準(zhǔn)差 σ為4.97 cm;基線4002→4015.3164標(biāo)準(zhǔn)差 σ為3.18 cm。顯而易見，上述3條基線向量各分量的改正數(shù)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于各自的3σ，并不存在粗差。

接下來，我們刪除4004號站點(diǎn)(該點(diǎn)離這3條基線并不近)，變成如圖4所示網(wǎng)形。

重新平差，再進(jìn)行τ檢驗(yàn)，如表3、圖5所示。

圖4 改變后的GPS控制網(wǎng)圖

τ檢驗(yàn)列表 表3

圖5 τ檢驗(yàn)直方圖

結(jié)果顯示，基線4001→4015.3165還含有粗差，而另外 2條基線 4001→ZBXX.2971和基線 4002→4015.3164則不再含有粗差了。觀察這3條基線向量各分量的改正數(shù)與前次平差的改正數(shù)相比并沒有多大的改動。如表4所示。

基線分量改正數(shù) 表4

4 結(jié)語

從以上的算例分析可以看出，τ檢驗(yàn)對粗差的探測具有不確定性。如果殘差τ檢驗(yàn)通過則說明觀測值不包含粗差。如果τ檢驗(yàn)失敗，粗差不一定存在，需要進(jìn)一步探查?？刹捎米钣行У拇植钐綔y方法:獨(dú)立環(huán)閉合差檢驗(yàn)。也可采用式(6)檢驗(yàn)，如果 V△X、V△Y、V△Z大于3σ，那么可以肯定該基線或該基線附近存在粗差，需要剔除粗差基線。因此，在 GPS網(wǎng)數(shù)據(jù)處理中，對平差結(jié)果的分析，過于看重τ檢驗(yàn)的結(jié)果是沒有必要的。

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［4］GB/T18314－2009.全球定位系統(tǒng)(GPS)測量規(guī)范［S］.

［5］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，2008