雙層公路特大橋的模態(tài)參數(shù)識(shí)別及成橋模型分析*

王榮輝 蔡祿榮 黃永輝 陳孔亮

(1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640;2.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510640)

剛性懸索加勁鋼桁梁橋是一種新型的橋梁形式，它結(jié)合了傳統(tǒng)柔性懸索橋、自錨式懸索橋和連續(xù)鋼桁梁橋的部分優(yōu)點(diǎn)，其外形與懸索橋類似，但其采用剛性懸索和剛性吊桿，節(jié)點(diǎn)連接也都為剛性連接，在中等跨徑橋梁領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景.這種新型橋梁結(jié)構(gòu)受力復(fù)雜，在整體上同時(shí)具有變高度鋼桁梁橋與自錨式懸索橋的受力特點(diǎn);在局部上，剛性懸索加勁弦桿及剛性吊桿與桁梁的連接與傳統(tǒng)懸索橋又截然不同［1］.由于該新型復(fù)雜結(jié)構(gòu)在國(guó)內(nèi)首次應(yīng)用于公路橋梁，因此其整體協(xié)同工作性能、動(dòng)態(tài)特性和成橋所采用的有限元計(jì)算分析模型的可靠性等有待成橋試驗(yàn)來驗(yàn)證.

模態(tài)試驗(yàn)?zāi)軌蜃R(shí)別出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(主要為自振頻率、振型和阻尼)，其對(duì)驗(yàn)證橋梁設(shè)計(jì)、建立橋梁結(jié)構(gòu)基準(zhǔn)有限元模型以及營(yíng)運(yùn)狀態(tài)的健康監(jiān)測(cè)、安全評(píng)估具有重要意義［2-4］，因此模態(tài)識(shí)別及其應(yīng)用已成為近年來的研究熱點(diǎn).李愛群等［5］采用峰值法在環(huán)境激勵(lì)下對(duì)潤(rùn)揚(yáng)大橋斜拉橋的實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別，識(shí)別了潤(rùn)揚(yáng)大橋斜拉橋的主要模態(tài)頻率;任偉新［6］討論與比較了頻域識(shí)別的峰值法(PP)和時(shí)域識(shí)別的隨機(jī)子空間法(SSI)，建議在自然環(huán)境振動(dòng)條件下將兩者結(jié)合，以進(jìn)一步保證結(jié)果的準(zhǔn)確性;Lardies、Wu和Yang等［7-9］基于實(shí)測(cè)模態(tài)參數(shù)對(duì)有限元計(jì)算分析模型進(jìn)行了修正.

傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法采用人工激振，同時(shí)利用激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別.然而，對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量和剛度都較大，難以采用人工激振.文中直接基于自然環(huán)境激振，選擇在自然輸入更接近白噪聲的某晴天的后半夜進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，然后采用頻域法的自譜、互譜和加窗等相關(guān)數(shù)據(jù)處理技術(shù)識(shí)別模態(tài)參數(shù)，最后把三維有限元理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，修正理論計(jì)算模型.

1 激勵(lì)響應(yīng)函數(shù)

采用環(huán)境激勵(lì)法不能夠了解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)，只能依靠系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別.對(duì)整個(gè)橋梁系統(tǒng)而言，其豎向和橫向相當(dāng)于一根變截面梁.把整體連續(xù)結(jié)構(gòu)離散成N個(gè)有限自由度系統(tǒng)，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，可得具有比例阻尼系統(tǒng)的一般性振動(dòng)方程:

為了方便固有頻率的識(shí)別，將式(1)轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析.對(duì)式(1)進(jìn)行傅里葉變換，得

式中:ω為角頻率，j為虛數(shù)單位，X(ω)、F(ω)分別為x和f(t)的傅里葉變換函數(shù).令

則有

式中，H(ω)為頻率響應(yīng)函數(shù).自然環(huán)境激勵(lì)相當(dāng)于一個(gè)隨機(jī)信號(hào)輸入系統(tǒng)，在外界影響因素(風(fēng)、溫度和地脈動(dòng)等)穩(wěn)定的情況下，此隨機(jī)信號(hào)接近白噪聲，通?？烧J(rèn)為其功率譜密度為一常數(shù)，即

式中，B為常數(shù)矩陣.

令無阻尼自由振動(dòng)的模態(tài)振型為φ，可把x看作是該振型的線性疊加，即

式中，n為模態(tài)階數(shù)，qr為模態(tài)坐標(biāo)，φr為M¨x+Kx=0所確定的第r階模態(tài)振型.由各振型之間的正交性，把式(5)代入式(1)后，可推得響應(yīng)函數(shù)X(ω)為

式中，mr、cr、kr分別為系統(tǒng)中的第r階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度.

式(6)即為用模態(tài)疊加法表示的輸出響應(yīng)函數(shù)，主要與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān).

2 模態(tài)參數(shù)識(shí)別原理

結(jié)合頻域識(shí)別的峰值法和互譜分析，可以有效地識(shí)別出僅由環(huán)境激勵(lì)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù).由激勵(lì)和響應(yīng)之間的關(guān)系式(6)，可得頻率響應(yīng)函數(shù)為

從而由任意節(jié)點(diǎn)s激勵(lì)引起節(jié)點(diǎn)i響應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)Hi，s(ω)為

式中，s為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)號(hào)，s=1，2，…，m，m為結(jié)構(gòu)離散后的節(jié)點(diǎn)數(shù)，φi，r和 φs，r分別為在任意節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)s處的第r階振型矢量;λr和為方程 －ω2mr+jωcr+kr=0的一對(duì)共軛解.結(jié)合式(6)和(8)不難得知，在輸入為常數(shù)時(shí)，響應(yīng)函數(shù)峰值處的頻率即為固有頻率，在頻率響應(yīng)函數(shù)中包含了所有模態(tài)信息.

在結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可測(cè)，而激勵(lì)輸入不可測(cè)的情況下，可假想結(jié)構(gòu)上某一參考節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)為輸入激勵(lì)，其他測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)與此節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)有某種線性相關(guān)性，從而建立起響應(yīng)節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)來進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別.假定給結(jié)構(gòu)施加的激勵(lì)力信號(hào)為平直譜信號(hào)，其功率譜密度函數(shù)在覆蓋結(jié)構(gòu)全部模態(tài)頻率范圍內(nèi)為近似均勻分布，即Fs(ω)=d(d為常數(shù)).在結(jié)構(gòu)上取一固定參考節(jié)點(diǎn)P，則任意節(jié)點(diǎn)i的響應(yīng)Xi(ω)與節(jié)點(diǎn)P的響應(yīng)XP(ω)的比值為

式中:節(jié)點(diǎn)P作為參考節(jié)點(diǎn)是固定不動(dòng)的，所以對(duì)于一個(gè)確定的固有頻率是個(gè)定值，式(9)即為固定節(jié)點(diǎn)P與移動(dòng)節(jié)點(diǎn)i的模態(tài)響應(yīng)傳遞系數(shù)，令其為αi(ω)，即αi(ω)= φi，r/φP，r，從而通過讀取測(cè)試曲線αi(ω)在ωr處的值(幅值和相位)就可得到固有頻率為ωr時(shí)的工作曲線，依此可得到結(jié)構(gòu)的第r階振型.

移動(dòng)節(jié)點(diǎn)i和固定節(jié)點(diǎn)P響應(yīng)信號(hào)的互功率譜Gi，P(ω) 為

式中“*”為共軛符號(hào).互功率譜的幅值大小是兩個(gè)響應(yīng)信號(hào)中各個(gè)頻率上聯(lián)合功率的量度，而相位則是聯(lián)合功率在各頻率上的相對(duì)出現(xiàn)時(shí)間.移動(dòng)節(jié)點(diǎn)i和固定節(jié)點(diǎn)P的相干函數(shù)為

式中，Gi，i、GP，P分別為節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)P的自功率譜.相干函數(shù)反映了兩個(gè)信號(hào)進(jìn)行互功率譜計(jì)算中外來不相干的噪聲影響的大小，其區(qū)間為［0，1］，相干越大則表示外來影響越小.

大型復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的阻尼比一般采用半功率帶寬法來識(shí)別，此方法是利用自功率譜的共振峰值尋找系統(tǒng)的固有頻率，再根據(jù)功率譜曲線求得系統(tǒng)阻尼.在縱坐標(biāo)上尋找半功率點(diǎn)，即取峰值(令對(duì)應(yīng)頻率為ωr)的并過此值作一條水平線，它與功率譜曲線的交點(diǎn)稱為半功率點(diǎn)，假設(shè)兩個(gè)半功率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率分別為ωa和ωb(ωa＜ωb)，則求得系統(tǒng)該階模態(tài)阻尼比ζ為

此方法簡(jiǎn)單易用，在工程中應(yīng)用極廣，但是在小阻尼的情況下，即使低頻段的峰值頻率存在很小的誤差也會(huì)給阻尼計(jì)算帶來較大誤差［10］.

3 數(shù)值模型與模態(tài)試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)橋梁概述

東莞東江大橋是一座三桁剛性懸索鋼桁梁雙層公路特大橋，在該類橋型中是國(guó)內(nèi)首座.東江大橋主橋全長(zhǎng)432m，上部結(jié)構(gòu)為三跨連續(xù)鋼桁梁，跨度布置為112m+208m+112m.主桁立面采用有豎桿的華倫式桁架，桁高10m，節(jié)間長(zhǎng)度8m，中間支點(diǎn)處上加勁弦中心到上弦中心高度為28 m，上加勁弦采用二次拋物線，上弦桿與加勁弦桿之間用吊桿連接.主桁橫向采用三桁結(jié)構(gòu)，桁間距為18 m×2.主桁三片桁間僅在中間支點(diǎn)上加勁弦與上弦間的大豎桿處設(shè)有橫向聯(lián)結(jié)系，其他位置將豎桿與橫梁聯(lián)結(jié)成橫向框架.主桁桿件為箱型截面整體節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，桿件之間采用高強(qiáng)度螺栓連接，預(yù)制橋面板與縱、橫梁栓接.全橋布置如圖1所示.

3.2 數(shù)值模型

由于自然環(huán)境激勵(lì)能量有限，難以獲取大橋的高階振動(dòng)頻率.在試驗(yàn)過程中，主要目的是拾取豎彎、橫彎和扭轉(zhuǎn)的低階模態(tài)，這些模態(tài)振型一般能夠代表大橋的主振型.為提高測(cè)點(diǎn)的拾振效率，在模態(tài)試驗(yàn)之前，用橋梁專用有限元軟件MIDAS/CIVIL 2006建立3種三維計(jì)算模型(編號(hào)分別為模型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)分別進(jìn)行初步仿真計(jì)算.3種模型均按設(shè)計(jì)的連續(xù)梁約束(中桁支座施加豎向和橫向約束，兩邊桁支座施加豎向簡(jiǎn)單支撐，另靠莞城側(cè)的3個(gè)次邊墩再添加縱向約束)，3片主桁及平聯(lián)均選用梁?jiǎn)卧M，其不同之處為:模型Ⅰ為梁系模型，把各主桁及平聯(lián)桿件以剛性連接模擬，預(yù)制栓接橋面板按等效節(jié)點(diǎn)荷載施加于該梁系結(jié)構(gòu)上，而不另建橋面板單元;模型Ⅱ按實(shí)際尺寸建立橋面板單元，組成梁殼模型，上下弦桿和剛性懸索采用固接，桁架桿件與橋面板采取鉸接;模型Ⅲ同模型Ⅱ一樣建立梁殼模型，不同的是各構(gòu)件間的連接方式均采用剛性連接.其中計(jì)算模型Ⅰ如圖2所示.

圖1 全橋布置圖(單位:m)Fig.1 Arrangement of the whole bridge(Unit:m)

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element model

3.3 模態(tài)試驗(yàn)

通過計(jì)算，能夠獲得結(jié)構(gòu)的理論自振頻率和振型.依據(jù)初始計(jì)算結(jié)果和橋梁的結(jié)構(gòu)特征布置拾振測(cè)點(diǎn):在主橋上下兩層橋面的邊跨中桁和兩邊桁的L/4(L為大橋邊跨的跨度)、L/2、3L/4處，以及中跨的l/6(l為大橋中跨的跨度)、l/3、l/2、2l/3、5l/6 處布置豎向振動(dòng)的測(cè)點(diǎn)，共計(jì)66個(gè)豎向測(cè)點(diǎn)，拾振點(diǎn)及其編號(hào)如圖3所示;在主橋上層橋面的中桁兩邊跨的支座，跨中以及中跨的l/4、l/2、3l/4處布置水平橫橋向振動(dòng)的測(cè)點(diǎn)，共計(jì)9個(gè)橫向拾振測(cè)點(diǎn)，從石碣至莞城方向依次編號(hào)為H1至H9.

圖3 豎向拾振點(diǎn)布置示意圖(單位:m)Fig.3 Arrangement of vertical frequency pickup points(Unit:m)

由于測(cè)點(diǎn)數(shù)量較多，宜采用移動(dòng)分組采樣測(cè)量方式，每組測(cè)點(diǎn)采樣時(shí)都同時(shí)對(duì)固定的基準(zhǔn)參考測(cè)點(diǎn)(豎向?yàn)镈R8測(cè)點(diǎn)、水平橫橋向?yàn)镠6測(cè)點(diǎn))進(jìn)行采樣.采用哈爾濱工程力學(xué)研究所出產(chǎn)的941-B型水平向和垂直向伺服加速度傳感器(頻率為0.25～80.00Hz，靈敏度為10－5g)進(jìn)行拾振，采樣頻率取為20.00Hz，持續(xù)測(cè)試0.5h.傳感器拾得橋面隨環(huán)境激勵(lì)的加速度振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，通過放大器放大并濾波，再由多通道采集儀(北京東方振動(dòng)和噪聲技術(shù)研究所DASP 2006)采集并存儲(chǔ)，然后選擇平穩(wěn)段進(jìn)行模態(tài)識(shí)別分析.

4 結(jié)果與分析

把測(cè)試結(jié)果轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行模態(tài)識(shí)別分析，對(duì)于隨機(jī)信號(hào)的處理，通常選用漢寧窗以減少功率譜泄漏，這也是文中的加窗方法，并采用3/4的重疊系數(shù).先初步讀取功率譜的峰值和頻率，然后再把各動(dòng)節(jié)點(diǎn)與固定節(jié)點(diǎn)進(jìn)行互譜分析.其中DM1和DR8的時(shí)程曲線及其自譜曲線如圖4所示，兩者的互譜曲線、相干系數(shù)和相位差如圖5所示.

圖4 DM1和DR8的響應(yīng)時(shí)程及頻譜曲線Fig.4 Response time and frequency spectrum curves of DM1 and DR8

圖5 DM1和DR8互譜分析Fig.5 Cross-spectrum analysis of DM1 and DR8

從圖4中的時(shí)程曲線可以看出，外部激勵(lì)較穩(wěn)定，可選出一平穩(wěn)段進(jìn)行分析.在功率譜圖中有很多峰值點(diǎn)，但所對(duì)應(yīng)的頻率未必都是固有頻率.通過互譜分析(見圖5)發(fā)現(xiàn)，在極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率1.719Hz處，DM1和DR8的相位差為－176.2°，相關(guān)系數(shù)為0.995，這樣就進(jìn)一步確定了1.719 Hz為結(jié)構(gòu)的某一階固有頻率.依此方法，低階固有頻率一般都能識(shí)別出來，所感興趣的豎彎、橫彎、扭轉(zhuǎn)低階頻率及其相應(yīng)的阻尼比如表1所示.

由3種理論模型計(jì)算所得的自振頻率和實(shí)測(cè)振動(dòng)頻率見表2.從表2中可以看出:3種模型所計(jì)算的各階自振頻率值相差較大，模型Ⅰ和模型Ⅱ的計(jì)算結(jié)果均比模型Ⅲ小，且各階相應(yīng)頻率的差值均在6.5%以上;模型Ⅲ的理論自振頻率比相應(yīng)實(shí)測(cè)結(jié)果略小，特別是前4階，其誤差在4%以內(nèi)，屬工程可接受范圍.對(duì)比結(jié)果表明:在建模計(jì)算時(shí)，不能只計(jì)栓接橋面板的質(zhì)量，而忽略其對(duì)整體剛度的貢獻(xiàn);各構(gòu)件間的連接方式對(duì)整體計(jì)算結(jié)果影響較大，受整體節(jié)點(diǎn)加強(qiáng)作用的影響，三桁整體受力性能較好，栓焊桿系連接方式更接近于固結(jié);對(duì)于成橋后整體靜動(dòng)力受力分析，剛性懸索和主桁桿件能用梁?jiǎn)卧獊砟M計(jì)算.模型Ⅲ的計(jì)算結(jié)果較實(shí)測(cè)值略小的主要原因是:在大橋的桿件連接中，采用了整體節(jié)點(diǎn)連接技術(shù)，且大節(jié)點(diǎn)板較多.如圖6所示，在整體節(jié)點(diǎn)連接區(qū)域的桿件截面存在加大、加厚等復(fù)雜現(xiàn)象，而在理論模型中選用的梁?jiǎn)卧茨芸紤]到這一特點(diǎn).

表1 實(shí)測(cè)振動(dòng)頻率及阻尼比Table 1 Tested modal frequencies and damping ratios

表2 理論自振頻率和實(shí)測(cè)振動(dòng)頻率比較Table 2 Comparison of theoretical natural vibration frequencies with the tested ones

圖6 整體節(jié)點(diǎn)Fig.6 Integral joints

對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行處理分析后，根據(jù)式(9)，可得到各移動(dòng)測(cè)點(diǎn)與固定基準(zhǔn)點(diǎn)在所獲得的固有頻率處功率譜的比值，再把這些比值歸一化就可得到用這些離散點(diǎn)表達(dá)的結(jié)構(gòu)振型.為了獲得主梁完整的三維主要振型圖，根據(jù)振動(dòng)方程式(1)和結(jié)構(gòu)的連續(xù)性假設(shè)，把所有測(cè)點(diǎn)的相對(duì)振幅作為一組強(qiáng)制位移施加于主梁結(jié)構(gòu)上，由靜力計(jì)算的各節(jié)點(diǎn)位移值作為結(jié)構(gòu)振型的插值結(jié)果.通過理論模態(tài)計(jì)算和對(duì)測(cè)試結(jié)果的分析，可以繪出結(jié)構(gòu)的振型，但限于篇幅和直觀性，文中只繪出了鋼桁梁的振型.前2階豎向和扭轉(zhuǎn)的理論模態(tài)和試驗(yàn)?zāi)B(tài)如圖7－10所示.

由于橫向拾振參考點(diǎn)接近橫向第2階模態(tài)振型的節(jié)點(diǎn)位置，即參考點(diǎn)所拾得的橫向第2階信號(hào)的信噪比較低，故只繪橫向第1階和第3階的橫向振型對(duì)比圖.以中軸線中心為原點(diǎn)，縱橋向?yàn)閄軸，經(jīng)平滑處理后的橫向?qū)Ρ日裥鸵妶D11(a)和11(b).

圖7 豎向第1階理論和試驗(yàn)振型Fig.7 Theoretical and experimental first-order vertical mode shapes

圖8 豎向第2階理論和試驗(yàn)振型Fig.8 Theoretical and experimental second-order vertical mode shapes

圖9 扭轉(zhuǎn)第1階理論和試驗(yàn)振型Fig.9 Theoretical and experimental first-order torsional mode shapes

圖10 扭轉(zhuǎn)第2階理論和試驗(yàn)振型Fig.10 Theoretical and experimental second-order torsional mode shapes

圖11 橫向第1、第3階理論和試驗(yàn)振型Fig.11 Theoretical and experimental first-and third-order horizontal mode shapes

從圖7－11的對(duì)比結(jié)果可以看出:豎向彎曲理論和試驗(yàn)振型吻合得很好，三桁結(jié)構(gòu)整體受力性能較好;由于大橋的扭轉(zhuǎn)剛度較大，扭轉(zhuǎn)的信噪比較低，兩者的大體形狀吻合，實(shí)測(cè)中跨和邊跨的振幅比與相應(yīng)理論計(jì)算的振幅比存在一定差距;橫向振型吻合較好，僅個(gè)別有較大差別，這與理論計(jì)算模型約束和實(shí)際非鉸非固約束有些不符有關(guān)，因此難以真實(shí)地模擬橫向約束.另外，由于試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，白噪聲前提條件不能完全滿足，因而會(huì)給模態(tài)參數(shù)識(shí)別帶來少許誤差.

5 結(jié)語

文中針對(duì)國(guó)內(nèi)首座三桁剛性懸索加勁鋼桁梁雙層公路特大橋，基于環(huán)境激勵(lì)法，采用移動(dòng)分組采樣測(cè)量的方式，較詳細(xì)地介紹了模態(tài)試驗(yàn)過程，并采用頻域識(shí)別法，獲得了東莞東江特大橋所感興趣的模態(tài)參數(shù)，然后直接在有限元模型上添加強(qiáng)制位移，以靜力計(jì)算所得的節(jié)點(diǎn)位移作為振型的擬合值，得到了更加直觀的三維連續(xù)振型.試驗(yàn)測(cè)試頻率與三維有限元計(jì)算值總體上吻合得較好，特別是低階模態(tài)(前4階)，誤差在4%以內(nèi).由試驗(yàn)值和理論值的對(duì)比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，考慮預(yù)制栓接橋面板和將栓焊連接簡(jiǎn)化為剛性連接的模型Ⅲ更符合實(shí)際，三桁結(jié)構(gòu)整體受力性能較好.對(duì)比結(jié)果同時(shí)表明，模型Ⅲ可作為成橋之初的基準(zhǔn)有限元模型，用于大橋日后的健康監(jiān)測(cè)、損傷識(shí)別和抗風(fēng)穩(wěn)定性分析.

［1］譚明鶴，王榮輝，黃永輝，等.剛性懸索加勁鋼桁梁橋特殊節(jié)點(diǎn)模型試驗(yàn)［J］.中國(guó)公路學(xué)報(bào)，2008，21(1):47-52.Tan Ming-he，Wang Rong-hui，Huang Yong-hui，et al.Special joint model test of stiff suspension reinforced steel truss bridge［J］.China Journal of Highway and Transport，2008，21(1):47-52.

［2］顧培英，丁偉農(nóng).模態(tài)試驗(yàn)在梁損傷診斷中的應(yīng)用研究 ［J］.振動(dòng)與沖擊，2004，23(3):60-63.Gu Pei-ying，Ding Wei-nong.Application of modal test in diagnosing damage of beam［J］.Journal of Vibration and Shock，2004，23(3):60-63.

［3］姚志遠(yuǎn).大型工程結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別的理論和方法研究［D］.南京:東南大學(xué)土木工程學(xué)院，2004.

［4］李德葆，陸秋海.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

［5］李愛群，丁幼亮，費(fèi)慶國(guó)，等.潤(rùn)揚(yáng)大橋斜拉橋模態(tài)頻率識(shí)別的環(huán)境變異性［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，37(2):245-250.Li Ai-qun，Ding You-liang，F(xiàn)ei Qing-guo，et al.Environmental variability in modal frequency identification of Runyang Cable-Stayed Bridge［J］.Journal of Southeast University:Natural Science Edition，2007，37(2):245-250.

［6］任偉新.環(huán)境振動(dòng)系統(tǒng)識(shí)別方法的比較分析［J］.福州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001，29(6):80-86.Ren Wei-xin.Comparison of system identification methods using ambient vibration measurements［J］.Journal of Fuzhou University:Natural Science，2001，29(6):80-86.

［7］Lardies J.Modal parameter identification from output-only measurements［J］.Mechanics Research Communications，1997，24(5):521-528.

［8］Wu J R，Li Q S.Finite element model updating for a highrise structure based on ambient vibration measurements［J］.Engineering Structures，2004，26(7):979-990.

［9］Yang Y B，Chen Y J.A new direct method for updating structural models based on measured modal data［J］.Engineering Structures，2009，31(1):32-42.

［10］劉漢夫.鐵路橋梁模態(tài)參數(shù)測(cè)試方法的探討［J］.世界橋梁，2007(3):59-61.Liu Han-fu.Study of modal parameter yesting methods for railway bridges［J］.World Bridges，2007(3):59-61.