溶液型漿體在巖溶裂隙中運(yùn)移的動力學(xué)研究

孫克國，李術(shù)才，仇文革，許煒萍，張俊儒

(1．西南交通大學(xué)土木學(xué)院地下系，成都 610031;2．山東大學(xué)巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，濟(jì)南 250012)

0 引言

注漿法作為一種預(yù)防和處置多種地質(zhì)災(zāi)害的有效方法，在19世紀(jì)初出現(xiàn)以來，隨著近代工業(yè)和材料學(xué)的迅速發(fā)展，注漿設(shè)備和注漿材料都得到了極大的進(jìn)步。得益于工藝的完善和新材料的研制，其應(yīng)用范圍和堵水加固效果也得到了工程界的認(rèn)可。但相對于注漿法在現(xiàn)場實(shí)踐中的快速發(fā)展，其理論層面的研究水平卻相對落后，且進(jìn)展緩慢，已經(jīng)不能有效指導(dǎo)注漿法的發(fā)展。其主要原因是被注介質(zhì)的復(fù)雜性、漿液特征參數(shù)的多樣性和時變性以及注漿過程的隱蔽性［1］。在注漿開始之前、注漿過程之間和注漿結(jié)束之后，隨著漿液特性的改變，技術(shù)人員均難以有效把握被注介質(zhì)在注漿作用下的改變。而且漿體動力學(xué)的研究涉及到牛頓與非牛頓流體動力學(xué)、巖土體力學(xué)和滲流力學(xué)等多門學(xué)科，給相關(guān)的理論研究帶來很大的困難。

正因?yàn)闈{液在注入過程中所表現(xiàn)出來的復(fù)雜特征以及被注介質(zhì)的千差萬別，所以必須對其進(jìn)行分類研究。依據(jù)漿液被注介質(zhì)中擴(kuò)散機(jī)制和作用形式的不同，可以將巖土體中的注漿法分為滲透注漿、充填注漿、壓密注漿、劈裂注漿和噴射注漿5種。注漿工作者以此為基礎(chǔ)，對其進(jìn)行研究，并獲得了諸多的符合實(shí)際工程的有益成果，如Baker［2］和隆巴迪分別推導(dǎo)了牛頓流體和賓漢流體在裂隙中注漿的最大擴(kuò)散半徑。Wittke W等［3］推導(dǎo)出的公式基本與隆巴迪公式相似。楊曉東等［4］與劉嘉材［5］分別推導(dǎo)了未考慮黏度時變性的漿液擴(kuò)散公式。阮文軍［6］通過大量試驗(yàn)證明水泥基漿液的黏度時變性符合指數(shù)函數(shù)分布，假設(shè)漿液在裂隙巖體中的流動符合賓漢流體的層流運(yùn)動，在此基礎(chǔ)上獲得了漿液擴(kuò)散模型。Giovanni Lombardi［7］和楊秀竹等［8-9］基于廣義達(dá)西定律和球形擴(kuò)散理論獲得了賓漢型和冪律型漿液在滲透注漿中的擴(kuò)散半徑計(jì)算公式。郝哲等［10］借助于蒙特卡洛法，以單裂隙漿液擴(kuò)散公式為基礎(chǔ)編制了漿液在巖體裂隙網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散程序;鄭長成［11］通過修正賓漢漿體在光滑裂隙內(nèi)的輻射流運(yùn)動方程，使之適用于漿液在粗糙裂隙巖體中的層流擴(kuò)散。楊米加等［12］采用實(shí)驗(yàn)手段對裂隙張開度、交叉角度和壓力梯度在滲流注漿過程中的影響進(jìn)行了研究。張良輝等［13］通過穩(wěn)定壓水試驗(yàn)反算裂隙參數(shù)，建立平面粗糙裂隙中漿液層流流動的力學(xué)模型。

綜合比較各種注漿工法的理論研究，可以看出在地下水滲流力學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的滲透注漿理論在巖土體注漿理論中最為完備。但是其也僅僅停留在研究連續(xù)介質(zhì)的層流流動層面上，對于更為復(fù)雜的劈裂注漿、充填注漿和壓密注漿理論仍處于半經(jīng)驗(yàn)狀態(tài)。針對巖溶區(qū)的動水注漿理論，本文在研究前人成果及現(xiàn)場實(shí)踐的基礎(chǔ)上認(rèn)為只有從漿液特性、運(yùn)移過程和被注介質(zhì)這3個方面進(jìn)行綜合考慮，才能有效提升巖溶區(qū)的注漿理論水平。因此本文以溶液型化學(xué)漿液為流體模型，在流體動力學(xué)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出漿液運(yùn)移過程中的控制方程并對其離散，以巖溶區(qū)的貫通裂隙或管道作為被注介質(zhì)模型，在此基礎(chǔ)上對漿液在巖溶區(qū)被注介質(zhì)中的運(yùn)移進(jìn)行了開創(chuàng)性研究。

1 裂隙注漿理論研究概況

由于自然界中的一切復(fù)雜流動都可以用Navier-Stokes方程來描述，而漿液在裂隙巖體中的擴(kuò)散也不例外。以x方向?yàn)槔龝r，Navier-Stokes方程可表示為:

式中:f為體積力;τ為附加法向應(yīng)力;vx為x方向的速度;ρ為漿液密度;t為時間;p為壓力。依據(jù)漿液的物理形態(tài)可以分為溶液型和懸浮型2種，從其本構(gòu)關(guān)系上講，均屬于廣義牛頓流體中的賓漢流體和牛頓流體。漿液凝結(jié)或者凝膠前，溶液型漿液多為牛頓流體，懸浮型漿液多為賓漢流體。

1)當(dāng)漿液是賓漢流體時

式中:τ0為驅(qū)動漿液運(yùn)動的最小剪應(yīng)力;μ為運(yùn)動黏度;dvx/dy為剪切速率。

在黏度不變的前提下，可以求得式(1)中的平均流速vx為:

式中y0為賓漢流體的流核高度，當(dāng)y=y0，τ=τ0。

2)當(dāng)漿液為牛頓流體時

在黏度不變的前提下，由哈根-泊肅葉定律可以得到:

式中:p為壓力;Δp為壓差;L為運(yùn)移距離;μ為動力黏度;h為裂隙半寬。當(dāng)流核高度y0等于0時，式(3)中括號里的部分可以轉(zhuǎn)化為1，此時式(3)就轉(zhuǎn)化為式(5)，從而驗(yàn)證了在牛頓流體和賓漢流體本構(gòu)關(guān)系下推導(dǎo)出的平均速度的正確性和合理性。

通過對式(3)和式(5)的合理應(yīng)用，可以獲得漿液在巖體裂隙或者管道中的徑向運(yùn)移規(guī)律。對于裂隙輻向流可以通過對兩式進(jìn)行積分來獲得注漿量、注漿壓力、擴(kuò)散半徑和裂隙開度之間的關(guān)系［18］。但是式(3)和式(5)均是在小管徑內(nèi)液體的徑向流動基礎(chǔ)上推到演化而來，而巖體中的管道和裂隙形狀多變，管道直徑和裂隙開度也千變?nèi)f化，如果簡單以等徑或等寬度的裂隙來計(jì)算，其誤差將會較大的影響計(jì)算分析結(jié)果，所以在復(fù)雜的巖溶地區(qū)需要另辟它徑來完成漿液在巖溶區(qū)裂隙管道中運(yùn)移的研究。

2 漿液擴(kuò)散的動力學(xué)控制方程

2．1 質(zhì)量守恒方程

質(zhì)量守恒方程是連續(xù)介質(zhì)理論的基礎(chǔ)，對于某個微小體積，可以表述為體積內(nèi)的質(zhì)量改變量等于進(jìn)入或者流出該體積的流體質(zhì)量，假設(shè)該體積表面的外法線方向?yàn)檎⒘魅朐擉w積的速度為正。所以質(zhì)量守恒方程可以表示為:

將式(6)在微小體積上積分，可以將其化為積分表達(dá)形式，如下所示:

為了方便后續(xù)的離散工作，將其轉(zhuǎn)化為偏微分形式，如下所示:

2．2 動量守恒方程

動量守恒方程是在牛頓第二運(yùn)動定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，可以表述為某個微小體積的動量隨時間的變化率等于微小體積所受到的外力之和(其中i，j為張量符號)。

2．3 溶液漿體的動力學(xué)擴(kuò)散假設(shè)

1)溶液型漿液在凝膠前一般屬于牛頓流體，由于注漿過程中相對速度較低、外界壓力和溫度變化較小，所以可以將擴(kuò)散期間的溶液型漿液視為不可壓縮的牛頓流體。

2)漿液在運(yùn)移過程中的鋒面不與地下水發(fā)生稀釋，而且其在裂隙或者管道的壁面處滿足無滑移條件，即漿液在壁面上的法向和切向速度均為0。

3)巖溶管道或者裂隙的貫通性好，在漿液注入過程中無堵塞現(xiàn)象發(fā)生。

3 控制方程的離散格式

在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，對式(8)和式(12)進(jìn)行簡化后，得到溶液型漿液在巖溶區(qū)裂隙或者管道中運(yùn)移的動力學(xué)控制方程:

3．1 空間域的離散

3．1．1 擴(kuò)散項(xiàng)

其中:

3．1．2 對流項(xiàng)

φ(r)是一個限幅函數(shù)，相當(dāng)于加權(quán)函數(shù)，當(dāng)φ(r)取不同的值或表達(dá)式時，式(19)可以改寫為不同的插值格式，如圖1和圖2所示。

圖1 Central difference示意圖Fig．1 Central difference

圖2 HQUICK格式示意圖Fig．2 HQUICK format

當(dāng) φ(r)=2(r+|r|)/(r+3)時，為 HQUICK 格式，此時的φf為:

3．2 時間域的離散

為表述簡便起見，動量守恒方程可以改寫為:

式中:l是除去瞬態(tài)項(xiàng)外的所有項(xiàng)的算子，包括對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、源項(xiàng)。在對式(24)左右兩邊進(jìn)行體積積分并完成空間離散后，可以表示為:

式中:L是空間域離散后的算子，包括對流項(xiàng)的離散、擴(kuò)散項(xiàng)的離散以及源項(xiàng)的離散;V代表控制體的體積。從式(25)可以看出，對方程左邊項(xiàng)(瞬態(tài)項(xiàng))的離散不需要與右邊項(xiàng)(對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、源項(xiàng))保持一致，即可以對不同的項(xiàng)采用不同的離散格式。本文對瞬態(tài)項(xiàng)采用中心差分格式，對流項(xiàng)采用Adams-Bashforth格式，擴(kuò)散項(xiàng)采用Crank-Nicolson格式。

綜合瞬態(tài)項(xiàng)、對流項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)和源項(xiàng)的以上各種離散格式，可以得到巖溶區(qū)漿液擴(kuò)散的動量守恒方程在時間域上的離散格式為:

同理對于連續(xù)方程:

式中:G為梯度算子;▽為散度算子;L為拉普拉斯算子;v為速度矢量;p為壓力。

4 離散方程的求解與驗(yàn)證

4．1 離散方程的求解

壓力泊松方程法主要應(yīng)用于瞬態(tài)問題的求解，是時間分裂法的一種。由于巖溶區(qū)漿液的運(yùn)移過程是一個與時間具有直接關(guān)系，具有明顯的瞬態(tài)特征，所以在本文的研究過程中采用壓力泊松方程法來求解vx，vy，vz和p等物理量。其基本思路如下:

1)假定初始壓力p;

2)利用初始壓力p，求解動量守恒方程，得到不滿足連續(xù)方程的速度場S*;

3)假定壓力修正值p*，并用p*和S*來表示符合連續(xù)方程的速度場S，S=S*-ΔtGp*;

4)將S代入連續(xù)方程，從而得到關(guān)于p*的泊松方程，Lp*=DS*/Δt;

5)求得p*，并更新壓力pnew和速度場S，pnew=p+p*，S=S*-ΔtGp*。

6)將pnew作為初始壓力，進(jìn)行下一時間步的計(jì)算。式中:G為梯度算子;D為散度算子;L為拉普拉斯算子。

4．2 有效性驗(yàn)證

筆者以此方法為基礎(chǔ)，采用Matlab高級編程語言編制了漿液在裂隙巖體中的擴(kuò)散程序(GSK)。為了驗(yàn)證該方法的正確性，在有限體積法的基礎(chǔ)上，以方腔頂端驅(qū)動流為驗(yàn)證模型［19］，將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證(如圖3所示)，證明了該方法的正確性和精確性。

5 結(jié)論

1)總結(jié)前人關(guān)于漿液在巖體裂隙中滲流的運(yùn)移形態(tài)規(guī)律，指出該規(guī)律的局限性，并從中發(fā)掘出溶液型漿體在巖溶區(qū)裂隙和管道中進(jìn)行動力擴(kuò)散的理論研究切入點(diǎn)。

圖3 計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比圖Fig．3 Comparison and contrast between calculation results and testing results

2)以需找的理論研究切入點(diǎn)為突破口，基于流體動力學(xué)基礎(chǔ)，在質(zhì)量守恒定律和動量守恒定律的指導(dǎo)下，推導(dǎo)出適用于漿液擴(kuò)散的動力學(xué)控制方程。

3)針對溶液型漿液的基本特征和巖溶區(qū)被注介質(zhì)所獨(dú)有的特性，在對漿液擴(kuò)散過程進(jìn)行合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過簡化漿液擴(kuò)散的通用動力學(xué)控制方程，獲得了適用于牛頓漿體在巖溶裂隙或管道中的擴(kuò)散的動力學(xué)控制方程。

4)采用 HQUICK、Central-Difference、Crank-Nicolson和Adams-Bashforth格式對漿液在巖溶裂隙中運(yùn)移的動力學(xué)控制方程分別在時、空域上完成數(shù)值離散研究，最后采用流場分離變量求解技術(shù)中的壓力泊松方程法完成數(shù)值求解工作，編制求解程序，并完成該程序的正確性和精度驗(yàn)證工作。

5)在流體動力學(xué)的基礎(chǔ)上，對溶液型漿體在巖溶裂隙和管道中的動力學(xué)擴(kuò)散過程進(jìn)行開創(chuàng)性研究。但是此過程沒有考慮漿液的黏度時變性，也沒有對符合懸浮型漿液的賓漢流體的動力學(xué)控制方程進(jìn)行數(shù)值離散求解，這將是下一步的研究重點(diǎn)。

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