基于Simulink的直流伺服電機(jī)PID控制仿真

李沁生 于家鳳

（ 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學(xué)院輪機(jī)工程系，南京 211170 ）

1 引言

輪機(jī)自動(dòng)化中，無論是機(jī)械式，模擬式還是數(shù)字式控制器，普遍采用PID控制算法。PID控制參數(shù)整定的優(yōu)劣直接決定著控制過程動(dòng)態(tài)性能的好壞。通過計(jì)算機(jī)仿真來整定PID控制參數(shù)的傳統(tǒng)方法要用到大量控制理論和計(jì)算機(jī)編程方面的知識(shí)，比較抽象，不易被輪機(jī)員所掌握?？梢暬幊汰h(huán)境為解決此類困難提供了便捷的手段。所謂可視化編程，指的是無須編寫或只須編寫很少的程序代碼，隨時(shí)可以看到運(yùn)行結(jié)果，程序與結(jié)果的調(diào)整同步，這樣能夠極大提高工作效率[1]。

MATLAB是一個(gè)適用于科學(xué)計(jì)算和工程用的數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)，歷經(jīng)多年的發(fā)展，已是科學(xué)與工程領(lǐng)域應(yīng)用最廣的軟件工具[2]。該軟件具有以下特點(diǎn)：數(shù)值計(jì)算功能強(qiáng)大；編程環(huán)簡單；數(shù)據(jù)可視化功能強(qiáng)；豐富的程序工具箱；可擴(kuò)展性能強(qiáng)等。Simulink是MATLAB下用于建立系統(tǒng)框圖和仿真的環(huán)境。Simulink環(huán)境仿真的優(yōu)點(diǎn)是：框圖搭建方便、仿真參數(shù)可以隨時(shí)修改、可實(shí)現(xiàn)完全可視化編程。

本文以工程控制中常用的直流伺服電機(jī)控制為例，演示了在Simulink環(huán)境下PID參數(shù)可視化整定及動(dòng)態(tài)仿真的過程，為PID參數(shù)整定提供參考。

2 直流伺服電機(jī)模型[3]

2.1 直流伺服電機(jī)的物理模型

本文采用的直流伺服電機(jī)的物理模型與參數(shù)如圖1所示。圖中：ua—電樞輸入電壓（V）；uq—感應(yīng)電動(dòng)勢（V）；ia— 電樞電流（A）；Ra— 電樞電阻（Ω）；La— 電樞電感（H）；θ— 電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角（rad）；Tg—電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩（N·m）；J—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2）；B—粘性阻尼系數(shù)（N·m·s）

2.2 直流伺服電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

2.2.1 基本方程組

根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律對圖1所示的電機(jī)列基本方程組：

圖1 直流伺服電機(jī)的物理模型

2.2.2 電機(jī)的傳遞函數(shù)

對式（1）—（4）進(jìn)行拉普拉斯變換，得

消去方程組的中間變量，整理得電機(jī)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

其中：J=3.23 mg·2m ，B=3.51μN(yùn)·m·s，Ra=4 Ω，La=2.75 μH，K t=K e=0.03(N·m)A

3 PID控制簡介[4]

PID控制是將設(shè)定值r(t)與輸出反饋值C(t)的偏差e(t)=r(t)-C(t)，按比例、積分、微分運(yùn)算后，并通過線性組合構(gòu)成控制量u(t)，對控制對象進(jìn)行控制，如圖1所示，所以簡稱為P(比例)、I(積分)、D(微分)控制器。

圖2 PID 控制原理

（1）PID控制器的微分方程

式中：Kp為比例系數(shù)，TI為積分時(shí)間，TD為微分時(shí)間

（2）PID控制器的傳遞函數(shù)

4 Simulink仿真

4.1 仿真系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求

本文所述電機(jī)系統(tǒng)（式（9））要求在電壓輸入端輸入單位階躍電壓（1 V）后，直流伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)軸應(yīng)能輸出1 rad轉(zhuǎn)角，且應(yīng)同時(shí)滿足下列要求：系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間ts＜0.04 s，最大超調(diào)量Mp＜10﹪，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。

4.2 系統(tǒng)階躍輸入響應(yīng)仿真

在Simulink中搭建圖3所示方框圖，設(shè)置仿真環(huán)境的參數(shù)。運(yùn)行后顯示如圖4所示開環(huán)系統(tǒng)對單位階躍輸入的響應(yīng)，即直流伺服電機(jī)輸入單位階躍電壓時(shí)，電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)角呈直線性上升。仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)沒有達(dá)到預(yù)期的設(shè)計(jì)要求。

圖3 開環(huán)系統(tǒng)階躍輸入響應(yīng)方框圖

4.3 PID校正

為了使系統(tǒng)能夠達(dá)到設(shè)計(jì)要求，在圖3的前向通道上設(shè)置一個(gè)PID控制器，基于Simulink構(gòu)建如圖5所示的閉環(huán)系統(tǒng)來校正直流伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速。分別雙擊3個(gè)“Gain”元件，在其對話框里填入相應(yīng)的Kp，Ki和Kd數(shù)值，即可構(gòu)成P、PI、PID控制器.

圖4 開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

4.3.1 比例（P）控制校正

為使在要求的時(shí)間內(nèi)達(dá)到設(shè)定的角位移，比例增益應(yīng)盡可能大，以提高比例作用的強(qiáng)度，但必須同時(shí)考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性。采用單純的比例控制，其調(diào)整時(shí)間和超調(diào)量是一對矛盾，無法同時(shí)滿足，要縮短調(diào)整時(shí)間，就要加大比例增益，但超調(diào)量也同時(shí)加大了。經(jīng)過多次參數(shù)選擇，當(dāng)Kp=10、Ki=Kd=0時(shí)，運(yùn)行后，得到圖6，階躍響應(yīng)曲線較為理想，呈現(xiàn)接近75%衰減率的振蕩過程。由圖6可知0.04 s時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.2044，超調(diào)量接近50%，均不能滿足設(shè)計(jì)要求，特別是調(diào)節(jié)過程0.08 s后才能逐步進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。

圖5 PID校正系統(tǒng)階躍輸入響應(yīng)方框圖

圖6 P校正系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

由上述分析，對圖6所示的動(dòng)態(tài)過程，首先要采取措施縮短調(diào)整時(shí)間，減小超調(diào)量。

4.3.2 比例微分（PD）控制校正

微分作用具有超前控制能力，可抑制最大動(dòng)態(tài)偏差，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但微分作用又不能單獨(dú)使用，因?yàn)樗妮敵鰞H與偏差的變化速度有關(guān)，如果偏差存在而不變化，微分作用是沒有輸出的?，F(xiàn)將比例和微分控制結(jié)合使用，控制作用互補(bǔ)，組成PD控制器。令Kp=10，Kd=0.2，Ki=0，運(yùn)行后，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖7所示，由圖可知，此時(shí)動(dòng)態(tài)過程的品質(zhì)指標(biāo)大幅度提高，其超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間等均能滿足設(shè)計(jì)要求，只是在調(diào)整時(shí)間范圍內(nèi)的穩(wěn)態(tài)誤差尚需進(jìn)一步減小。由于加入微分了作用，系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高了，可適當(dāng)增加比例增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。令Kp=14，Kd=0.2，Ki=0，運(yùn)行得到圖8的響應(yīng)曲線，和圖7相比，在0.04 s時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差由0.0136減小到0.0029。

圖7 PD校正系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖8 改進(jìn)比例系數(shù)后PD校正系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖9 PID校正系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

3.3.3 PID控制器校正

從比例、微分作用的原理[5]可知，PD作用無法完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，而積分作用主要用于消除靜差[6]。為此，在PD作用的基礎(chǔ)上加入積分作用，設(shè)Ki=200，以使穩(wěn)態(tài)誤差減至0。

運(yùn)行得到如圖9所示的階躍響應(yīng)曲線，由曲線可知其響應(yīng)過程產(chǎn)生了超調(diào)，在0.04 s處的穩(wěn)態(tài)誤差為0.024，未達(dá)到設(shè)計(jì)要求。究其原因，是積分作用太強(qiáng)而產(chǎn)生了過調(diào)，考慮到此時(shí)其穩(wěn)態(tài)誤差已很小，稍有積分作用即可，于是令Ki=20，運(yùn)行后得到圖10所示的曲線，超調(diào)量為0%，在0.039 s處的穩(wěn)態(tài)誤差已為0，性能高于設(shè)計(jì)要求，穩(wěn)定、準(zhǔn)確、快速達(dá)到了完美的統(tǒng)一。

5 結(jié)論

通過上述實(shí)例的演示可知，在Simulink仿真環(huán)境下，建模簡潔，修改參數(shù)方便，無須編寫或只須編寫很少的程序代碼，就能準(zhǔn)確、清晰地測繪出直流伺服電機(jī)對單位階躍的輸出響應(yīng)曲線圖，且有很高的量化精度。這種預(yù)見性，為系統(tǒng)PID控制規(guī)律的選擇和參數(shù)整定提供了可視化而精確的依據(jù)。

圖10 滿足要求的 PID校正系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

[1] 龐中華，崔紅. 系統(tǒng)辯識(shí)與自適應(yīng)控制MATLAB仿真[M]. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2009.

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