例說以連續(xù)自然數(shù)平方根為邊長(zhǎng)的三角形在物理中的應(yīng)用

丁岳林

(江蘇省常州高級(jí)中學(xué),江蘇常州 213003)

在我們研究的物理問題中,很多時(shí)候會(huì)與角度有關(guān),而通常為討論問題的方便會(huì)取一些特殊角,如 θ=30°,θ=45°,θ=60°,還有 θ=37°(或 θ=53°))等.其中 θ=37°(或 θ=53°)是討論矢量運(yùn)算時(shí)的平行四邊形定則最好的實(shí)例,即“32+42=52”(滿足勾三股四弦五的直角三角形),而另外的那些大量使用到的特殊角,一般來說都是基于數(shù)學(xué)上的特殊(相應(yīng)的角度三角函數(shù)為簡(jiǎn)單的數(shù)值),而沒有真實(shí)的物理模型為支撐.本文要討論的是基于真實(shí)物理背景的θ=35°(或 θ=55°)的一種特殊角.

圖1

例1.滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)非常刺激的水上運(yùn)動(dòng),如圖1所示,運(yùn)動(dòng)員與滑板的總質(zhì)量為 m,滑板的總面積為 S,水的密度為 ρ.理論研究表明,當(dāng)滑板與水平方向的夾角為θ(板前端抬起的角度)時(shí),水對(duì)板的作用力大小為 N=ρ Sv2sin2θ,方向垂直于板面,式中 v為快艇的牽引速度.求:為使滑板能在水面上滑行,快艇水平牽引滑板的最小速度(忽略水和空氣的阻力).

解析:滑水運(yùn)動(dòng)員在快艇牽引下的滑行過程中,會(huì)經(jīng)常變換姿勢(shì),其實(shí),這既是為使運(yùn)動(dòng)具有觀賞性,也是出于平衡的需要.滑板與水平方向間的夾角θ與快艇的牽引速度v等都是互相聯(lián)系的.要解決“快艇牽引滑板的最小速度”問題,首先需要弄清 S、v、θ等物理量之間的相互關(guān)系.

為此,選取滑板與運(yùn)動(dòng)員作為研究對(duì)象,受力情況如圖2.即滑板與運(yùn)動(dòng)員共受到3個(gè)力的作用:重力G,水對(duì)滑板的作用力N(方向與滑板板面垂直)及繩子對(duì)運(yùn)動(dòng)員的拉力 F.由平衡條件,豎直方向有

圖2

又由題中所給的條件

解得牽引速度為

即在運(yùn)動(dòng)員與滑板總質(zhì)量一定、滑板的總面積S一定時(shí),維持滑板平衡所需的牽引速度大小,僅由滑板與水平方向的夾角θ決定.或者說,快艇對(duì)運(yùn)動(dòng)員與滑板的牽引速度v是滑板傾角θ的函數(shù).當(dāng)θ取某一值時(shí),牽引速度有最小值.下面我們就來討論這一極值.

當(dāng)且僅當(dāng) 2cos2θ=sin2θ,即 θ=arctan 2=54.7°≈55°時(shí),k有最大值.

故快艇最小速度的表達(dá)式為

例2.(2008年江蘇高考題)如圖3所示.一根不可伸長(zhǎng)的輕繩兩端各系一個(gè)小球 a和b,跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細(xì)桿上,質(zhì)量為3m的a球置于地面上,質(zhì)量為 m的b球從水平位置靜止釋放.當(dāng)a球?qū)Φ孛鎵毫偤脼榱銜r(shí),b球擺過的角度為θ.下列結(jié)論正確的是

(A)θ=90°.

(B)θ=45°.

(C)b球擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中,重力對(duì)小球做功的功率先增大后減小.

圖3

圖4

(D)b球擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中,重力對(duì)小球做功的功率一直增大.解析:本題要解決的是兩個(gè)問題,一是b球運(yùn)動(dòng)到何處,繩子上的拉力恰為3 mg?第2個(gè)問題其實(shí)只要討論b球運(yùn)動(dòng)過程中豎直方向的速度如何變化?對(duì)于第1個(gè)問題結(jié)合機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律不難得出,當(dāng)θ=90°時(shí)繩子上的拉力為3 mg,此時(shí)a球?qū)Φ孛鎵毫偤脼榱?現(xiàn)在重點(diǎn)來研究第2個(gè)問題.重力做功的(瞬時(shí))功率可表示為 P=mgvy,其中 vy為豎直方向的分速度,要判斷重力的功率如何變化,只要判斷 vy如何變化.從兩個(gè)極端位置不難做出定性判斷,在B點(diǎn)v=0,vy=0,P=0;到C點(diǎn)速度水平,vy=0,P=0.因此可以確定,重力對(duì)小球做功的功率先增大后減小.現(xiàn)在的問題是物體擺動(dòng)90°過程中vy的極值點(diǎn)唯一嗎?如何確定b球擺動(dòng)90°過程何處最大呢?

通常的討論方法是根據(jù)B→D過程機(jī)械能守恒得出D點(diǎn)的速度,然后求其豎直分速度,得到vy與θ的函數(shù)關(guān)系,最后,計(jì)算 vy的極值,這種方法得到的 vy與θ的函數(shù)關(guān)系與例1中(1)式有同樣的形式,此處不具體展開.

現(xiàn)在,我們從動(dòng)力學(xué)角度來求解這一運(yùn)動(dòng)學(xué)極值問題,如圖4所示,b球繞O2擺過θ角度到達(dá)D點(diǎn),速度為v,繩子上拉力為F,對(duì)于這一過程,由機(jī)械能守恒定律得

式中 l為O2B繩子的長(zhǎng)度,在D點(diǎn),由牛頓第二定律得

解(2)、(3)式得

可見,物體擺動(dòng) 90°過程中,當(dāng) θ由0°變化到35°的過程中逐漸增大,當(dāng) θ由35°變化到 90°的過程中逐漸減小.在當(dāng)θ=35°時(shí)有唯一的極大值點(diǎn).

所以,本道題的正確選項(xiàng)為(A)、(C).

圖5

例3.(2009年安徽高考理綜題)在光滑的絕緣水平面上,有一個(gè)正方形 abcd,頂點(diǎn) a、c分別固定一個(gè)正點(diǎn)電荷,電荷量相等,如圖5所示.若將一個(gè)帶負(fù)電的粒子置于 b點(diǎn),自由釋放,粒子將沿著對(duì)角線bd往復(fù)運(yùn)動(dòng).粒子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的過程中

(A)先做勻加速運(yùn)動(dòng),后做勻減速運(yùn)動(dòng).

(B)先從高電勢(shì)到低電勢(shì),后從低電勢(shì)到高電勢(shì).

(C)電勢(shì)能與機(jī)械能之和先增大,后減小 .

(D)電勢(shì)能先減小,后增大.

解析:本題以一對(duì)等量同種電荷的電場(chǎng)為背景,研究帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),綜合考查牛頓定律、功和能的關(guān)系,其中,選項(xiàng)(A)的錯(cuò)誤是顯然的,因?yàn)檫@是一非勻強(qiáng)電場(chǎng),粒子的運(yùn)動(dòng)一定是變加速的,即不會(huì)是勻加速或勻減速運(yùn)動(dòng).在ac的垂直平分線上,O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零,電勢(shì)為最高,負(fù)電荷在O點(diǎn)電勢(shì)能為最小,粒子運(yùn)動(dòng)過程中受到的電場(chǎng)力始終指向O點(diǎn),即粒子從 b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的過程中,電場(chǎng)力先做正功后做負(fù)功,電勢(shì)能先減小后增大,機(jī)械能則先增大后減小.電勢(shì)能與機(jī)械能的總和保持不變.可見,本題的正確選項(xiàng)為(D).

現(xiàn)在要借題發(fā)揮的是,帶電粒子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的過程中加速度如何變化?

顯然(5)式與例1中(1)式是相同的形式,有著同樣的極值解.作為一種數(shù)學(xué)方法,我們通過微積分知識(shí)再來研究一下這個(gè)函數(shù)的極值.

圖6

(5)式中場(chǎng)強(qiáng)E為θ的函數(shù),將E對(duì)θ求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來討論極值點(diǎn).

圖7

根據(jù)以上分析可知,本道高考題中帶負(fù)電的粒子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的過程中加速度是先增大到某一極大值后逐漸減小到零,粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到d點(diǎn)的過程中加速度是先從零開始增大到某一極大值后逐漸減小.

在本文以上討論的問題中,雖然物理背景各不相同,但卻有著共同的解:即臨界角θ=35°(或θ=55°),聯(lián)系著同一個(gè)直角三角形,如圖7所示.相信一定還會(huì)在其他的物理問題中出現(xiàn)這樣的特殊角,讓我們記住這樣的一個(gè)來自于真實(shí)物理背景的特殊角吧.