類比法在物理解題中的應(yīng)用

付愛(ài)明

(江西省臨川第二中學(xué),江西撫州 344100)

在用類比法解決物理問(wèn)題時(shí),首先是現(xiàn)象類比,其次是過(guò)程類比、模型類比、方法類比,最后是結(jié)論類比.在用類比法解題時(shí),這幾個(gè)類比環(huán)節(jié)一般都是有可能涉及到的,本文將從這幾個(gè)類比環(huán)節(jié)分別進(jìn)行分析.

1 現(xiàn)象類比

例1.如圖1所示,ab是半徑為R的圓的一條直徑,該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中,場(chǎng)強(qiáng)為E,在圓周平面內(nèi),將一帶正電q的小球從a點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出,拋出方向不同時(shí),小球會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn),在這些所有的點(diǎn)中,到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大,已知∠cab=30°,若不計(jì)重力和空氣阻力,試求:

(1)電場(chǎng)方向與弦ac 間的夾角θ;

(2)若小球在 a點(diǎn)時(shí)初速度與電場(chǎng)方向垂直,則小球恰好能落在c點(diǎn),則初動(dòng)能為多少?

圖1

圖2

解析:乍看此題,簡(jiǎn)直無(wú)從下手.如果用熟悉的重力場(chǎng)與電場(chǎng)進(jìn)行類比,就能找到解題的思路,“到達(dá)c點(diǎn)時(shí)小球的動(dòng)能最大”隱含著重要條件,在重力場(chǎng)中,從環(huán)上a點(diǎn)沿不同方向以相同速率拋出小球,落到圓環(huán)上與環(huán)相碰,與環(huán)相碰前速率最大的球的落點(diǎn)應(yīng)是環(huán)的最低點(diǎn)c,因?yàn)閍和c兩點(diǎn)間的高度差最大,重力做功最多,轉(zhuǎn)化的動(dòng)能也最多(見(jiàn)圖2)與此類似,圖 1中的 c點(diǎn)也就是電場(chǎng)中的最“低”點(diǎn),即電勢(shì)最低點(diǎn),小球到達(dá) c點(diǎn)時(shí)速率最大,由于小球帶正電,所以電場(chǎng)方向應(yīng)是O→c方向.

(1)如圖 3所示,連 Oc并延長(zhǎng),因?yàn)镺c=Oa ,所以∠acO=∠caO=30°,Oc為電場(chǎng)方向.

圖3

點(diǎn)評(píng):重力場(chǎng)是我們熟知的場(chǎng),對(duì)重力場(chǎng)的特點(diǎn)、物體在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)也研究得比較透徹,將重力場(chǎng)來(lái)與電場(chǎng)進(jìn)行類比,再將小球在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)來(lái)與電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類比,就能從重力場(chǎng)強(qiáng)度的方向得出電場(chǎng)強(qiáng)度的方向.

2 過(guò)程類比

當(dāng)兩個(gè)物理現(xiàn)象不相同時(shí),我們可以將它們的物理過(guò)程進(jìn)行類比,發(fā)現(xiàn)它們的物理過(guò)程是相似的或相近的,都遵循相同的物理規(guī)律,這樣就可以將不熟悉的物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為熟悉的物理過(guò)程.

圖4

例2.如圖4所示,光滑圓弧形軌道和一足夠長(zhǎng)的光滑水平軌道相連,水平軌道上方有一足夠長(zhǎng)的光滑桿,上套一光滑金屬圓環(huán),金屬圓環(huán)的中心軸線和水平軌道位置重合,在弧形軌道上高h(yuǎn)的地方無(wú)初速釋放一塊磁鐵B(可視為質(zhì)點(diǎn)),B下滑至水平軌道后繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)向A環(huán)接近,設(shè)A、B的質(zhì)量分別為mA、mB,試求出金屬環(huán)獲得的最大速度和全過(guò)程中金屬環(huán)和磁鐵所獲得的總內(nèi)能.

解析:本題所述的物理過(guò)程可與圖5所示的物理過(guò)程相比較,滑塊 B從高h(yuǎn)的光滑軌道上無(wú)初速下滑,滑至光滑水平軌道上與滑塊 A相碰,相碰后 A、B粘合在一起,求A獲得的最大速度和系統(tǒng)增加的內(nèi)能.

圖5

B下滑時(shí)機(jī)械能守恒,可求出B與A相碰前的速度;B與A相碰,水平動(dòng)量守恒,A、B系統(tǒng)損失的機(jī)械能就是系統(tǒng)增加的內(nèi)能.圖4中,磁鐵 B下滑機(jī)械能守恒,進(jìn)入水平軌道與 A環(huán)相互作用,產(chǎn)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象,由于A和B的相互作用力是內(nèi)力,水平方向動(dòng)量守恒,A、B組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)的電能,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為焦耳熱.磁鐵B下滑到水平軌道時(shí)的速度為

磁鐵B與A環(huán)相互作用,水平動(dòng)量守恒,mBvB=(mA+mB)v,則 A環(huán)的最大速度為

金屬環(huán)和磁鐵中一共獲得的內(nèi)能為

點(diǎn)評(píng):圖5所示的物理過(guò)程是我們非常熟悉的過(guò)程,但本題所述的過(guò)程可能比較生疏.通過(guò)類比,發(fā)現(xiàn)兩者過(guò)程相似,遵循的規(guī)律、運(yùn)用的方法都一樣.生題也就不生了,類比也是以“新”比“老”,以“老”帶 “新”的一種研究問(wèn)題的方法.

3 模型類比

如果能從兩個(gè)物理問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的物理模型中所具有的一些明顯相同的特性出發(fā),經(jīng)過(guò)類比,由此可以推斷出它們具有更多的相同的特性,這就是模型類比.模型類比是將事物的本質(zhì)屬性進(jìn)行類比,是更高層次的類比.在類比時(shí)要注意:有的物理模型形異而質(zhì)同,而有的模型形同而質(zhì)異,切忌不加分析濫用類比,引起知識(shí)的負(fù)遷移.

例3.如圖6所示,在光滑絕緣水平面上有兩個(gè)帶正電的小球,A球質(zhì)量為m,B球的質(zhì)量為2m,開(kāi)始時(shí)兩球相距很遠(yuǎn),今 A球以初速度v0向B球接近,求:

(1)當(dāng)兩球距離最近時(shí),兩球速度的大小.

(2)當(dāng)兩球距離又變得最遠(yuǎn)時(shí),兩球速度的大小.

解析:這是一個(gè)點(diǎn)電荷相互作用的運(yùn)動(dòng)模型,又是 A向B靠近,然后由于斥力,又分開(kāi)最遠(yuǎn).這與彈簧連接體的運(yùn)動(dòng)模型極為相似.

不妨先來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題:在光滑的水平面上有質(zhì)量分別為 mA和mB的兩個(gè)物體A和B(圖7),它們用一彈簧相連,開(kāi)始彈簧處于自由狀態(tài),今給 A一個(gè)向右的瞬時(shí)水平?jīng)_量,使 A獲得速度v0,進(jìn)而壓縮彈簧,使B也開(kāi)始運(yùn)動(dòng).求:

(1)系統(tǒng)具有最大的彈性勢(shì)能;

(2)當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí),A和B速度的大小.

圖6

圖7

圖7所示模型的特點(diǎn)是:A通過(guò)彈簧和B相互作用,系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒,同樣圖6所示的電荷相互作用的運(yùn)動(dòng)模型也具有類似的特點(diǎn):A和B通過(guò)電場(chǎng)相互作用,系統(tǒng)的機(jī)械能(這里是動(dòng)能)和電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,且電場(chǎng)力是內(nèi)力,兩電荷組成的系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒.

再進(jìn)一步分析可以看出,圖7中當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí),系統(tǒng)彈簧彈性勢(shì)能最大,A和B的速度相等;當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí),彈性勢(shì)能又轉(zhuǎn)化為A、B的動(dòng)能,從彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)開(kāi)始,經(jīng)壓縮到最大,又再次恢復(fù)到原長(zhǎng),這相當(dāng)于兩個(gè)物體經(jīng)歷了一次彈性碰撞,可以用彈性碰撞的有關(guān)知識(shí)解出 A和B的速度.同樣,圖6中當(dāng)兩電荷相距最近時(shí),系統(tǒng)具有的電勢(shì)能最大,兩小球速度相等;當(dāng)兩球又相距最遠(yuǎn),電勢(shì)能可以不考慮時(shí),這一過(guò)程中電勢(shì)能又轉(zhuǎn)化為兩小球的動(dòng)能,從 A和B相互作用開(kāi)始,直到 A、B相距最遠(yuǎn),類似一次彈性碰撞過(guò)程,同樣可以用彈性碰撞的知識(shí)求解A、B的速度.能夠搞清圖7中彈簧連接體模型的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),能量、動(dòng)量轉(zhuǎn)化關(guān)系,會(huì)解該題的話,也一定能分析出圖6所示的電荷相互作用運(yùn)動(dòng)模型的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),能量、動(dòng)量轉(zhuǎn)化關(guān)系.

該題中 A、B兩球距離最近時(shí),兩球具有相同的速度,由水平動(dòng)量守恒有

由此解出共同速度

這一過(guò)程中,A球的動(dòng)能減少,有一部分轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的電勢(shì)能.由于靜電斥力作用,A球減速,B球加速,兩者相距越來(lái)越遠(yuǎn),當(dāng)它們相距很遠(yuǎn)時(shí),系統(tǒng)電勢(shì)能可視為零,以 A剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)為初狀態(tài),以兩球相距很遠(yuǎn)為末狀態(tài),A、B速度分別為vA和vB.由能量守恒和動(dòng)量守恒有

解得 A和B的速度分別為

點(diǎn)評(píng):本題和圖7所示的彈簧連接體問(wèn)題,雖然外形不同,表述不同,但模型是相似的,物理本質(zhì)和兩小球的彈性碰撞模型相似.外力不做功,內(nèi)力是保守力,系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒,系統(tǒng)中能量相互轉(zhuǎn)化,沒(méi)有熱損失,有了模型的類比,會(huì)解一道題,就會(huì)解答一類題目.模型的類比起到了“以一當(dāng)十”的作用.

4 方法類比

過(guò)程相似,模型相似的物理問(wèn)題其解題方法也可能相似,我們也可以用類比的方法,將相似問(wèn)題的方法進(jìn)行類比,從而迅速找到解題的途徑.

圖8

例4.在無(wú)引力作用的宇宙空間里的環(huán)形空間實(shí)驗(yàn)室(宇宙科研基地)中,要認(rèn)為模擬地球上的重力,可以采取使其自轉(zhuǎn)的辦法,如圖8所示,外側(cè)壁就是“地板”,若要使“地板”上的物體和地球上有同樣的重力,自轉(zhuǎn)角速度 ω應(yīng)為(其中 g為地球表面的重力加速度,R為環(huán)形實(shí)驗(yàn)室的外半徑)

點(diǎn)評(píng):本題可以這樣理解:如果環(huán)形空間實(shí)驗(yàn)室不自轉(zhuǎn),人將會(huì)漂浮起來(lái),完全失重.而我們?cè)诘厍蛏鲜怯兄亓?是因?yàn)槿烁杏X(jué)到地面的支持力,通過(guò)方法類比,環(huán)形空間實(shí)驗(yàn)室無(wú)非是讓人感覺(jué)到環(huán)形空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)人的支持力.

5 結(jié)論類比

將不同物理問(wèn)題的結(jié)論進(jìn)行類比,發(fā)現(xiàn)它們有時(shí)竟有驚人的相似,人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是天體的宏觀運(yùn)動(dòng),電子繞核做圓周運(yùn)動(dòng)是微觀世界的運(yùn)動(dòng),但兩者在現(xiàn)象、過(guò)程、運(yùn)動(dòng)模型,甚至結(jié)論都十分相似,人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),總能量為勢(shì)能(這里是引力勢(shì)能,中學(xué)中尚未提及)和動(dòng)能之和;電子繞核做勻速圓周,總能量也為電勢(shì)能和動(dòng)能之和.運(yùn)動(dòng)半徑增大,人造衛(wèi)星的運(yùn)行速度減小,周期變大;同樣電子軌道半徑增大,電子運(yùn)行的速率也減小,旋轉(zhuǎn)周期變大.所不同的是,人造衛(wèi)星的軌道半徑是任意的,而電子軌道半徑是特定的,量子化的.將這些結(jié)論進(jìn)行類比后,就可以倒過(guò)來(lái)套用某個(gè)已知的結(jié)論,從而達(dá)到迅速作答,從簡(jiǎn)解題的目的.

例5.人造衛(wèi)星在運(yùn)行過(guò)程中由于受到電磁阻力和稀薄空氣的阻力作用,其總機(jī)械能逐漸減小,因此

(A)離地高度降低,運(yùn)行速度變大.

(B)離地高度降低,運(yùn)行速度變小.

(C)離地高度增加,運(yùn)行速度變大.

(D)離地高度增加,運(yùn)行速度變小.

解析:我們只知道人造衛(wèi)星的總機(jī)械能等于勢(shì)能和動(dòng)能之和,限于知識(shí),只能判斷出(C)明顯不對(duì),其他3個(gè)答案難以定奪,我們將人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)與電子繞核運(yùn)轉(zhuǎn)類比,電子運(yùn)行時(shí)總能量為電勢(shì)能(為負(fù))和動(dòng)能(為正)之和,總能量是負(fù)值,總能量減小時(shí),軌道半徑變小,(量子數(shù) n變小),電子處于低軌道上,處于低能態(tài),但電子的動(dòng)能變大.由此類比,可知人造衛(wèi)星的總機(jī)械能減小時(shí),其軌道半徑減小,即離地高度降低,但低軌道上的運(yùn)行速度要比原軌道(高軌道)的速度大,故選(A).

點(diǎn)評(píng):通過(guò)人造衛(wèi)星與電子繞核運(yùn)動(dòng)進(jìn)行類比,把電子繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)論直接運(yùn)用到人造衛(wèi)星上,選項(xiàng)立即可判斷出來(lái).

類比是一種知識(shí)遷移,它對(duì)學(xué)生的思維能力,分析問(wèn)題能力的培養(yǎng),大有裨益.許多形式不同的物理習(xí)題具有相同或相似的特征,只要理解、掌握了一個(gè)問(wèn)題的特征和解法,應(yīng)用類比,這類問(wèn)題就迎刃而解了.從一定意義上說(shuō),這是一個(gè)把學(xué)生從題海戰(zhàn)術(shù)中解放出來(lái)的一種有效方法.