系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在中學(xué)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用

葛 洲

(南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校,江蘇南京 210008)

上世紀(jì)60年代,美國(guó)福瑞斯特教授提出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),在其發(fā)展過(guò)程中取得了很多令人矚目的成果,許多學(xué)者紛紛采用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法來(lái)研究各自領(lǐng)域的問(wèn)題,涉及到經(jīng)濟(jì)、能源、交通、環(huán)境、工業(yè)、城市等許多領(lǐng)域.美國(guó)較早在K 12教學(xué)中應(yīng)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué),從小培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思考能力,國(guó)內(nèi)從2002年開(kāi)始了探索系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.在中學(xué)物理的研究性學(xué)習(xí)中應(yīng)用系統(tǒng)思考,既可以讓學(xué)生從系統(tǒng)的角度加深對(duì)所學(xué)物理知識(shí)的理解,也可以培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思考的能力.

應(yīng)用系統(tǒng)思考研究物理問(wèn)題,可以按照如下步驟:(1)認(rèn)識(shí)所研究的問(wèn)題;(2)構(gòu)建問(wèn)題的系統(tǒng)模型;(3)STELLA軟件模擬(STELLA是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的模擬軟件之一);(4)調(diào)試與檢測(cè).

系統(tǒng)思考及其模擬軟件 STELLA為學(xué)生提供了一個(gè)很好的研究性學(xué)習(xí)的平臺(tái),學(xué)生在學(xué)習(xí)物理知識(shí)的同時(shí),培養(yǎng)了他們的系統(tǒng)思考能力.現(xiàn)舉系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在中學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用的實(shí)例如下.

1 自由落體運(yùn)動(dòng)的分析

自由落體運(yùn)動(dòng)是指物體只在重力作用下,由靜止開(kāi)始的下落運(yùn)動(dòng),自由落體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的變量及其關(guān)系如圖1.

圖1

圖2

根據(jù)變量之間的關(guān)系,用STELLA軟件建模如圖2:

設(shè)置變量初始值及變量關(guān)系如下:

初始值:

速度 =0;位移=5m;質(zhì)量=5 kg;力=50 N.

變量間的關(guān)系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

加速度=力/質(zhì)量;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt.

運(yùn)行軟件得到自由落體運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像和位移-時(shí)間圖像如圖3.

圖3

圖3中1線為位移-時(shí)間圖像,2線為速度-時(shí)間圖像,速度-時(shí)間圖像為直線,表明自由落體運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng).

2 考慮阻力落體運(yùn)動(dòng)的分析

如果考慮物體由靜止下落過(guò)程中受到空氣阻力,引入阻力因數(shù),設(shè)空氣阻力與速度成正比,則此系統(tǒng)中各個(gè)變量及其關(guān)系如圖4,比較圖1和圖4,圖4在圖 1基礎(chǔ)上增加了速度對(duì)加速度的反饋,此反饋為負(fù)反饋,即速度的增加會(huì)引起加速度的減小,速度增加變慢.此類問(wèn)題達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)果.

圖4

根據(jù)變量之間的關(guān)系,用STELLA軟件建模如圖5.

常量,變量初始值和變量間的關(guān)系如下:

常量及初始值:

質(zhì)量=5kg;位移=0;阻力系數(shù)=2kg?s-1;

變量關(guān)系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt;

圖5

加速度=力/質(zhì)量;合力=50+阻力;阻力=—速度*阻力系數(shù).

運(yùn)行軟件得到有阻力的落體運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像和位移-時(shí)間圖像如圖6.

圖6

圖6中1線為速度-時(shí)間圖像,2線為位移-時(shí)間圖像,此時(shí)速度圖像不再是直線,而是趨近于某一定值,位移圖像不再是拋物線,變化趨近于線性變化.

圖7

3 彈簧振子的分析

在考慮阻力的落體運(yùn)動(dòng)中,速度對(duì)加速度有負(fù)反饋,而在考慮阻力的彈簧振子模型中,如圖7,不僅有速度對(duì)加速度的負(fù)反饋,位移對(duì)加速度也有反饋,那么振子的運(yùn)動(dòng)情況將怎樣呢?

圖8

此系統(tǒng)中各個(gè)變量及變量間的關(guān)系如圖8.

根據(jù)變量之間的關(guān)系,用STELLA軟件建模如圖9.STELLA軟件給出的變量初始值和變量間的關(guān)系如下.

常量及變量初始值:

勁度系數(shù)=0.5Nm-1;質(zhì)量=5 kg;阻力系數(shù)=0.5 kg?s-1;速度=0;位移 =5 m;

變量之間關(guān)系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;加速度=力/質(zhì)量;

位移(t)=位移(t-dt)+(v)*dt.

合力=彈簧彈力+阻力;阻力=-速度*阻力系數(shù);彈簧彈力=-勁度系數(shù)*位移.

圖9

運(yùn)行軟件得到阻尼振動(dòng)的振子的速度-時(shí)間圖像和位移-時(shí)間圖像如圖10.

圖10

圖11

改變阻力系數(shù)的大小,運(yùn)行軟件可以模擬過(guò)阻尼和臨界阻尼的情況.如圖11.

自由落體運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的勻變速直線運(yùn)動(dòng),如果考慮落體運(yùn)動(dòng)中的阻力對(duì)加速度的負(fù)反饋,運(yùn)動(dòng)將變成變加速運(yùn)動(dòng),如果只考慮到位移對(duì)加速度的反饋,則物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上,再考慮到阻力對(duì)加速度的負(fù)反饋,物體將做阻尼振動(dòng),可通過(guò)STELLA軟件模擬各種阻尼條件下的位移-時(shí)間圖像和速度-時(shí)間圖像.

4 一道高考題的分析

2010年江蘇高考題第8題,其實(shí)也可看做是位移對(duì)加速度反饋的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.

圖12

原題.如圖12所示,平直木板AB傾斜放置,板上的P點(diǎn)距A端較近,小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小.先讓物塊從A由靜止開(kāi)始滑到B,然后,將A著地,抬高B,使木板的傾角與前一過(guò)程相同,再讓物塊從B由靜止開(kāi)始滑到A.上述兩個(gè)過(guò)程比較,下列說(shuō)法中一定正確的有

(A)物塊經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的動(dòng)能,前一過(guò)程較大.

(B)物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過(guò)程中因摩擦產(chǎn)生的熱量,前一過(guò)程較少.

(C)物塊滑到底端的速度,前一過(guò)程較大.

(D)物塊從頂端滑到底端的時(shí)間,前一過(guò)程較長(zhǎng).

圖13

此系統(tǒng)中各個(gè)變量之間的關(guān)系如圖13,由于從A到B動(dòng)摩擦因數(shù)逐漸減小,所以,從A到B運(yùn)動(dòng)位移越大,阻力越小,合力越大,加速度越大,位移對(duì)加速度有正反饋.而從B到A,位移對(duì)加速度有負(fù)反饋.

根據(jù)變量之間的關(guān)系,用STELLA軟件建模如圖14.

圖14

其中速度、加速度、位移、力為下降過(guò)程中的物理量,速度2、位移2、速度2、力2為上升過(guò)程的物理量.

根據(jù)題意,在建模過(guò)程中,設(shè)木板長(zhǎng)度為100 m,摩擦力f=4-0.039x,x為物體離開(kāi)A點(diǎn)的位移.

常量及變量初始值:

速度=0;速度2=0;位移=0;位移2=0;質(zhì)量=1 kg.

變量之間關(guān)系:

速度(t)=速度(t-dt)+(加速度)*dt;

加速度=力/質(zhì)量;

速度2(t)=速度2(t-dt)+(加速度2)*dt;

加速度 2=力2/質(zhì)量;

位移(t)=位移(t-dt)+(速度)*dt;

位移2(t)=位移2(t-dt)+(速度2)*dt;

力=質(zhì)量*9.8*0.5-(4-位移*0.039);

力2=質(zhì)量*9.8*0.5-(0.1+位移2*0.039);

離A距離=100-位移2.

運(yùn)行軟件得到如圖15圖像,其中線1表示從A到B過(guò)程的位移-時(shí)間圖像,線2表示從B到A過(guò)程的位移-時(shí)間圖像.

圖15

從圖15中可以看出,從A到B過(guò)程,完成100 m位移所用的時(shí)間較長(zhǎng).

運(yùn)行軟件也可得到如圖16圖像,其中線1表示從A到B過(guò)程的位移-時(shí)間圖像;線2表示從B到A過(guò)程的位移-時(shí)間圖像;線3表示從A到B過(guò)程的速度-時(shí)間圖像;線4表示從B到A過(guò)程的速度-時(shí)間圖像;線5表示從B到A過(guò)程中,物體離A點(diǎn)的距離.

根據(jù)題意,可設(shè)線1與線5的交點(diǎn)為題中提到的P點(diǎn),在圖中過(guò)P點(diǎn)作時(shí)間軸的垂線,此虛線與線 3、線4的交點(diǎn)分別為C、D.從圖上可以看出 vC＜vD,所以,下降過(guò)程經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度比上升過(guò)程經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度小,所以經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的動(dòng)能,前一過(guò)程較小.

圖16

綜上所述,可選出(A)、(D)選項(xiàng),根據(jù)能量守恒或圖16,不難看出(B),(C)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.