隨機三角級數(shù)收斂性與Paley－Zygmund定理的推廣

朱志鋒，余 瀾，黃 臻

(1.孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 孝感432000;2.湖北大學(xué) 物電學(xué)院，湖北武漢430062;3.武漢鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，湖北武漢430205)

1 預(yù)備知識

不等式1如果正項隨機變量X∈L1(Ω)，且a＞1，則:

不等式2如果正項隨機變量X∈L2(Ω)，且0＜λ＜1，則:

引理2［3］設(shè)

2 主要結(jié)果

定理1［4］設(shè){Xn}是獨立隨機變量序列，且

推論1設(shè){Xn}是獨立隨機變量序列，，且，若，則若，則這就是Paley－Zygmund定理。

推論2設(shè){Xn}是獨立正隨機變量序列，，且，則若

推論3設(shè){Xn}是正項同分布隨機變量序列，且，則:

證明Xn是同分布的，若E(Xn)=0，則Xn=0 a.s.，從而E(Xqn)=0與0＜E(Xqn)＜+∞矛盾。因此，0＜E(Xn)＜+∞，記0＜E(Xn)=M(M＞0)，當an≠0時(an=0此項anXn去掉)，E(anXqn)·

E－q(anXn)=E(Xqn)E－q(Xn)＜+∞［8］。由推論2可知:

推論4設(shè){Xn}是正項同分布隨機變量序列，且0＜E(Xqn)＜+∞，q＞1，則:

由推論3和推論4易得:

推論5設(shè){Xn}是同分布隨機變量序列，且，則［9］:

其中:xn和 Φn為給定的實數(shù);{εn}為Rademacher序列。

顯然式(1)是Rademacher級數(shù)［10］。

引理3{xn}和{Φn}是兩個實數(shù)序列，則對幾乎每個

引理5［11］，則式(1)幾乎處處收斂。

當q=2時，可得以下特殊情形:

［1］張宏志.隨機級數(shù)的收斂性［J］.數(shù)學(xué)雜志，1999(19):408－410.

［2］J·P·卡昂.函數(shù)項隨機級數(shù)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，1993:14－19.

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